基于數(shù)據(jù)賦權(quán)的經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型擬合新方法
——以四川盆地長寧區(qū)塊為例

趙玉龍 賀 戈 劉香禺 張烈輝 吳建發(fā) 常 程

1.“油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國家重點實驗室·西南石油大學(xué) 2.中國石油西南油氣田公司頁巖氣研究院

0 引言

頁巖氣是一種賦存于以富有機(jī)質(zhì)頁巖為主的儲集巖系中的天然氣。根據(jù)EIA的全球調(diào)查，我國頁巖氣儲量約為31.6×1012m3[1]，是全球頁巖氣資源最豐富的國家之一。自2010年實現(xiàn)第一口頁巖氣井壓裂以來，現(xiàn)已成為全球第二個掌握頁巖氣開發(fā)核心技術(shù)的國家[2]。目前，長寧—威遠(yuǎn)國家級頁巖氣示范區(qū)年產(chǎn)量突破了100×108m3，四川盆地成為我國頁巖氣開發(fā)的主戰(zhàn)場[3-4]。

最終可采儲量作為頁巖氣井開發(fā)效果的評價準(zhǔn)則之一，其準(zhǔn)確預(yù)測可以了解頁巖氣井生產(chǎn)情況，合理調(diào)節(jié)頁巖氣井工作制度，充分挖掘頁巖產(chǎn)氣潛力，降低開發(fā)成本。目前，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種頁巖氣井EUR評價方法：經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型[5-9]、現(xiàn)代產(chǎn)量遞減模型[10-12]、解析模型法[13-15]、數(shù)值模擬法[16-18]和機(jī)器學(xué)習(xí)方法[19-23]。其中，經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型僅需氣井生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)即可快速預(yù)測氣井EUR和生產(chǎn)動態(tài)，在現(xiàn)場得到廣泛應(yīng)用。現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析基于不穩(wěn)定試井理論，對生產(chǎn)動態(tài)資料質(zhì)量要求較高，以井口壓力折算的井底流壓存在誤差，降低了該方法的可靠性[12]。解析模型法考慮頁巖氣藏復(fù)雜滲流機(jī)理，如吸附解吸、表面擴(kuò)散以及應(yīng)力敏感等，所需參數(shù)較多，模型求解復(fù)雜、易出現(xiàn)多解性，且假設(shè)條件過于理想化，無法反映儲層的真實情況。數(shù)值模擬法需要詳細(xì)的儲層地質(zhì)和工程施工參數(shù)進(jìn)行建模，歷史擬合難度大，計算要求高，模擬過程耗時耗力。機(jī)器學(xué)習(xí)方法不需要考慮復(fù)雜的滲流機(jī)理以及嚴(yán)格的理論公式推導(dǎo)，通過建立各種影響因素與氣井EUR的黑箱模型便可進(jìn)行EUR快速預(yù)測，不足的是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練過程易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，有限的氣井樣本數(shù)量進(jìn)一步限制了模型預(yù)測精度。

1945年，Arps[24]首次針對常規(guī)油氣藏總結(jié)3類遞減模型。在隨后的幾十年里，學(xué)者們提出了不同的經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型[25-26]。1980年，F(xiàn)etkovich[24]將不穩(wěn)定滲流理論引入遞減曲線分析中，論證了Arps模型僅適用于邊界控制流狀態(tài)，同時建立了類似于試井分析的雙對數(shù)產(chǎn)量遞減圖版擬合方法，即現(xiàn)代產(chǎn)量遞減分析。1993年，Palacio和Blasingame[28]引入規(guī)整化產(chǎn)量和物質(zhì)平衡時間，從而能夠考慮井底流壓生產(chǎn)情況。隨著常規(guī)氣藏的不斷衰竭，非常規(guī)頁巖氣成為了開發(fā)重點。頁巖氣藏開發(fā)中以多級壓裂水平井為主，氣藏長期處于線性流動階段，而常規(guī)經(jīng)驗遞減模型多適用于邊界控制流動階段，在頁巖氣井遞減分析中適用性不佳。針對上述情況，學(xué)者們提出了PLE模型[29]、SEPD模型[30]和Duong模型[31]。此外，考慮頁巖氣藏遞減過程中出現(xiàn)的早期快速遞減和晚期緩速遞減特征，國內(nèi)外學(xué)者[32-34]開展了組合模型的研究。組合模型的實質(zhì)是分段擬合，頁巖氣井EUR基于后段遞減規(guī)律預(yù)測得到，顯然頁巖氣井生產(chǎn)歷史后期數(shù)據(jù)應(yīng)該得到更多的重視。

受上述思想啟發(fā)，提出一種基于數(shù)據(jù)賦權(quán)的頁巖氣井經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型擬合新方法。新方法考慮了氣井生產(chǎn)異常數(shù)據(jù)點識別、刪除和填補(bǔ)，通過歐氏距離賦予不同生產(chǎn)階段數(shù)據(jù)在模型擬合中的權(quán)重，形成經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型擬合完整工作流程。利用四川盆地長寧區(qū)塊60口頁巖氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)開展了新方法適用性驗證和應(yīng)用研究，結(jié)果表明，該新方法可為四川盆地頁巖氣井生產(chǎn)動態(tài)和EUR預(yù)測提供支撐，促進(jìn)四川盆地頁巖氣藏經(jīng)濟(jì)高效開發(fā)，助力川渝“氣大慶”建設(shè)。

1 經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型

經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型是基于生產(chǎn)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行油氣井遞減規(guī)律預(yù)測研究的一種實用方法，該方法僅考慮產(chǎn)量與時間的關(guān)系，模型擬合計算簡便，在現(xiàn)場得到廣泛應(yīng)用。總的來看，經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型可分為4類：①經(jīng)典Arps遞減模型及其修正遞減模型；②針對頁巖氣流動特征建立的遞減模型，如RB-LGM遞減模型[9]、PLE遞減模型[29]、Duong遞減模型[31]；③組合模型，如Duong+Arps遞減模型[33-34]；④結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)方法的經(jīng)驗?zāi)Ｐ停築P+LSTM+Arps遞減模型[35]。表1總結(jié)了目前常用的7種經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型表達(dá)式、應(yīng)用現(xiàn)狀及適用范圍。

表1 7種經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型應(yīng)用現(xiàn)狀及適用范圍表

目前，常用于擬合生產(chǎn)數(shù)據(jù)確定遞減模型參數(shù)的算法可分為線性回歸法和非線性回歸法。如：線性最小二乘法[7]、非線性最小二乘法[39]和單純形法[40]。

假設(shè)有n個實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)，對于ti時刻的月產(chǎn)氣量為qi，將實際數(shù)據(jù)與模型計算數(shù)據(jù)q(ti)的誤差定義為f(ti)=q(ti)-qi。

根據(jù)該誤差函數(shù)，可得到上述回歸算法的目標(biāo)函數(shù)：

式中‖f(t)‖22表示歐幾里得范數(shù)的平方，(104m3/月)2；q(ti) 表示經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型計算得到的第i月產(chǎn)氣量，104m3/月；qi表示第i月的實際產(chǎn)氣量，104m3/月。

上述7種經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型在運(yùn)用線性回歸算法擬合時的步驟如表2所示。

2 遞減模型擬合新方法

如表2所示，線性最小二乘法在擬合時需對遞減模型進(jìn)行線性化處理，若遞減模型形式復(fù)雜，該算法求解較為困難。此外，相關(guān)研究[7-8]表明，線性最小二乘法和非線性最小二乘法的擬合效果雖好，但兩種算法均注重頁巖氣井早期快速遞減階段的數(shù)據(jù)，在中、后期預(yù)測時會出現(xiàn)較大的偏差（圖1）。

表2 7種經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型的擬合步驟表

圖1 常規(guī)算法擬合頁巖氣井生產(chǎn)資料示意圖

針對上述常規(guī)擬合分析方法的不足，結(jié)合實際頁巖氣井?dāng)?shù)據(jù)分析，提出了一種基于數(shù)據(jù)賦權(quán)的頁巖氣井經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型擬合新方法，具體包括如下步驟：

1）對頁巖氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。

①刪除產(chǎn)量為0時的數(shù)據(jù)點。在頁巖氣井生產(chǎn)過程中，難免出現(xiàn)臨時關(guān)井等特殊情況，導(dǎo)致頁巖氣井產(chǎn)量為0。這樣的數(shù)據(jù)點不能真實反映氣井遞減規(guī)律，同時對遞減模型擬合會產(chǎn)生較大影響，應(yīng)將其刪除。②使用局部離群因子檢測法識別并剔除生產(chǎn)數(shù)據(jù)中的離群點。局部離群因子檢測法是一種基于密度的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，通過計算每個點領(lǐng)域內(nèi)點的密集程度，密集程度低的即為異常點。Chaudhary和Lee[42]的研究表明局部離群因子檢測法的閾值范圍介于1.1～1.6時，可有效識別頁巖氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)中的異常點。

2）利用指數(shù)平滑方法對剔除后的生產(chǎn)數(shù)據(jù)點進(jìn)行填補(bǔ)。

指數(shù)平滑方法[43]由Brown于1961年提出，該方法除廣泛用于時序數(shù)據(jù)的短期預(yù)測外[44-45]，還可用于數(shù)據(jù)降噪和數(shù)據(jù)填補(bǔ)工作[46]。

式中S(ti)表示ti時刻的填補(bǔ)值；S(ti-1) 表示ti-1時刻的填補(bǔ)值；q(ti-1) 表示ti-1時刻的實際產(chǎn)氣量，104m3/月；α表示平滑系數(shù)，取值0.5。

如圖2所示，指數(shù)平滑法可以有效描述時序數(shù)據(jù)趨勢，并合理修正異常值。

圖2 指數(shù)平滑方法示意圖

3）將產(chǎn)量遞減階段的初始點視為參考點，利用歐式距離公式計算參考點與遞減階段各個點的距離。

式中ρi表示點(x1，y1)與點(xi，yi)間的歐式距離；點(x1，y1) 表示參考點，即產(chǎn)量最大值所處的位置(t0，qmax)；點(xi，yi) 表示遞減階段中的各個生產(chǎn)數(shù)據(jù)點，即 (ti，qi)。

4）將步驟3）中計算的歐式距離作為遞減階段各個生產(chǎn)數(shù)據(jù)點的權(quán)重，并利用加權(quán)最小二乘法對各經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型的參數(shù)進(jìn)行擬合。

（1）權(quán)重計算公式如下：

式中ω表示遞減階段各個生產(chǎn)數(shù)據(jù)點的權(quán)重，無因次；下標(biāo)i表示第i天，i=2, 3, …,n。

（2）加權(quán)最小二乘法是在最小二乘法的基礎(chǔ)上引入權(quán)重矩陣，此時將得到新的目標(biāo)函數(shù)：

求解該目標(biāo)函數(shù)即可得到考慮權(quán)重下的經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型參數(shù)。

3 擬合新方法應(yīng)用與討論

3.1 不同遞減模型中擬合效果對比

為評價新方法在不同類型遞減模型中的應(yīng)用效果，采用長寧區(qū)塊真實頁巖氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合對比分析。Liang等[6]對長寧區(qū)塊頁巖氣井的研究表明，遞減模型擬合效果與生產(chǎn)時間存在良好的正相關(guān)性；Tang等[7]對Barnett和Marcellus頁巖區(qū)塊的研究中同樣證實該觀點，并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)擬合時間高于3年時，模型預(yù)測精度減弱。因此，以生產(chǎn)時間超過3年為標(biāo)準(zhǔn)，選取了四川盆地長寧區(qū)塊共60口頁巖氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)用于擬合對比分析。

為驗證新方法的有效性，將原始數(shù)據(jù)按8∶2的比例分為擬合集和驗證集。擬合集用于確定模型參數(shù)，驗證集用于比較不同算法的預(yù)測精度。分別采用本研究提出的新方法、非線性最小二乘法和線性最小二乘法，在前述7種不同遞減模型下進(jìn)行擬合和預(yù)測驗證。利用相關(guān)指數(shù)（R2）描述3種算法下7個經(jīng)驗?zāi)Ｐ驮跀M合集中的擬合度，R2越大，擬合效果越好；利用均方根誤差（RMSE）描述3種算法下7個經(jīng)驗?zāi)Ｐ驮隍炞C集中的擬合度，RMSE越小，擬合效果越好。如表3所示，7個模型在3種算法下的擬合R2均高于0.7，表明7個模型均具有較好的擬合效果。從圖3可以看出，3種算法下得到的驗證集RMSE大小關(guān)系為：新方法＜線性最小二乘法＜非線性最小二乘法，這表明本研究提出的新方法可以使得遞減模型具有更好的預(yù)測效果。非線性最小二乘法受迭代初值和迭代步長的影響，一般僅能搜索到局部最優(yōu)點，預(yù)測可靠程度最低。圖4展示了采用不同算法時各遞減模型在長寧區(qū)塊部分典型井中的擬合和預(yù)測效果對比。可以看出，即使是相同的遞減模型和擬合數(shù)據(jù)，采用不同的擬合算法時得到計算效果可能存在較大差異，顯然這一點在以往的研究中未得到足夠的重視。

圖3 3種擬合算法下7個遞減模型的R2和RMSE分布圖（長寧區(qū)塊60口井）

圖4 7種經(jīng)驗?zāi)Ｐ驮?種擬合算法下的擬合圖

表3 不同擬合算法下7個常用經(jīng)驗?zāi)Ｐ推骄`差分析表（針對長寧區(qū)塊60口井）

圖5統(tǒng)計了60口頁巖氣井采用不同算法和遞減模型時得到的EUR結(jié)果，3類算法的EUR結(jié)果大小關(guān)系為（PLE和Duong模型除外）：線性最小二乘法＞新方法＞非線性最小二乘法。

圖5 3種擬合算法下7種經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷钠骄鵈UR圖（長寧區(qū)塊60口井）

為進(jìn)一步說明新方法的可靠性，開展不同生產(chǎn)時間下各擬合方法的擬合效果對比研究。擬合集為頁巖氣井開井生產(chǎn)6、12、18和24個月。同樣利用擬合集R2描述經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛿M合程度，利用驗證集RMSE描述經(jīng)驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測精度。如圖6所示，頁巖氣井開井生產(chǎn)6、12、18和24個月時，不同擬合算法下，7個經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型的平均相關(guān)指數(shù)R2均高于0.7，展現(xiàn)出較好的擬合效果。圖7所示，在頁巖氣井不同生產(chǎn)時間和遞減模型下，采用新方法得到的驗證集平均RMSE總是小于采用非線性最小二乘法獲得的結(jié)果，這表明在經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型預(yù)測效果上新方法優(yōu)于非線性最小二乘法。當(dāng)采用線性最小二乘法時，絕大多數(shù)情況下得到的驗證集平均RMSE要大于新方法獲得的結(jié)果；針對頁巖氣井產(chǎn)量遞減分析中常用的PLE遞減模型、SEPD遞減模型和Duong遞減模型，在不同開井生產(chǎn)時間下新方法始終展現(xiàn)出優(yōu)越性。圖7-e由圖7-a～d中數(shù)據(jù)求平均值獲得，展示了3種算法在不同生產(chǎn)時間下的驗證集平均RMSE大小關(guān)系，即：非線性最小二乘法＞線性最小二乘法＞新方法。因此，在使用經(jīng)驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測頁巖氣井EUR時，可優(yōu)先選擇本文提出的新方法。

圖6 不同生產(chǎn)時間下3種擬合算法的R2分布圖（長寧區(qū)塊60口井）

圖7 不同生產(chǎn)時間下驗證集的平均RMSE分布圖（長寧區(qū)塊60口井）

3.2 基于新方法的遞減模型優(yōu)選研究

四川盆地為我國頁巖氣主要開發(fā)區(qū)域，每年新增井?dāng)?shù)較多，早期快速、準(zhǔn)確的EUR評價有助于開發(fā)方案的制訂與調(diào)整。為此，開展新方法在不同生產(chǎn)時間下的遞減模型優(yōu)選研究，提出以下遞減模型優(yōu)選標(biāo)準(zhǔn)：

1）針對長寧區(qū)塊頁巖氣藏單井，根據(jù)驗證集擬合效果判斷遞減模型是否適用。

基于上文3.1篩選的60口頁巖氣井，利用遞減模型擬合前6、12、18和24個月的實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)，根據(jù)剩余數(shù)據(jù)（即驗證集）的擬合效果判斷遞減模型是否適用。

2）針對長寧區(qū)塊，根據(jù)遞減模型的適用井?dāng)?shù)判斷遞減模型是否適用。

不同生產(chǎn)時間下，若某一模型的適用井?dāng)?shù)低于總井?dāng)?shù)的50%，則認(rèn)為該模型不適用；若某一模型的適用井?dāng)?shù)為總井?dāng)?shù)的50%～75%，則認(rèn)為該模型較適用；若某一模型的適用井?dāng)?shù)高于總井?dāng)?shù)的75%，則認(rèn)為該模型適用。

3）利用相對誤差RE表征遞減模型預(yù)測EUR可靠程度。

式中EURmethod表示不同生產(chǎn)時間下各模型的計算EUR值，108m3；EURstandard表示單井平均EUR，108m3。

基于上文3.1新算法的計算數(shù)據(jù)，利用各遞減模型的預(yù)測EUR計算頁巖氣單井平均EUR，將各井平均EUR視為標(biāo)準(zhǔn)值。計算不同生產(chǎn)時間下各模型預(yù)測EUR與平均EUR的相對誤差（RE），RE大于0代表遞減模型預(yù)測EUR偏高，RE小于0代表遞減模型預(yù)測EUR偏低，RE的絕對值越小代表模型預(yù)測EUR越可靠。

基于上述標(biāo)準(zhǔn)，優(yōu)選模型的篩選步驟為：根據(jù)適用井?dāng)?shù)判斷遞減模型是否適用，若遞減模型較適用或適用，再比較RE的絕對值，最小者即為最優(yōu)模型，其余均為建議模型。

據(jù)圖8可知，Arps模型和Duong模型預(yù)測EUR偏高，PLE、SEPD、廣義K模型、ML和Li遞減模型預(yù)測EUR偏低。結(jié)合表4可知，生產(chǎn)時間越久，可用于頁巖氣井遞減規(guī)律分析的遞減模型越多且頁巖氣井EUR預(yù)測精度越高。結(jié)合圖9、表4可知，針對長寧區(qū)塊頁巖氣井，生產(chǎn)時間為6個月時，僅有廣義K模型的適用井?dāng)?shù)達(dá)到了總井?dāng)?shù)的一半，因此建議使用廣義K模型；生產(chǎn)時間為1年時，即可使用Duong、廣義K模型和Li遞減模型進(jìn)行產(chǎn)量遞減分析，其中Duong模型相對誤差的絕對值最小，為優(yōu)選模型；當(dāng)生產(chǎn)時間達(dá)到18個月后，除PLE模型外，其余6個模型均較為適用，其中SEPD和Duong模型為優(yōu)選模型；當(dāng)生產(chǎn)時間達(dá)到2年后，7種遞減模型均可用于頁巖氣井遞減分析，其中SEPD和Duong模型為優(yōu)選模型。

圖8 7種遞減模型預(yù)測EUR平均相對誤差圖（長寧區(qū)塊60口井）

圖9 7種遞減模型預(yù)測EUR平均相對誤差的絕對值圖（長寧區(qū)塊60口井）

表4 不同生產(chǎn)時間下各模型的適用性表

4 結(jié)論

1）針對同一頁巖氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)，即便是采用相同的經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型，使用不同的擬合算法時得到的擬合精度和預(yù)測效果也會存在較大差異。

2）以長寧區(qū)塊60口頁巖氣井為例開展的應(yīng)用分析表明，本研究提出的基于數(shù)據(jù)賦權(quán)的頁巖氣井經(jīng)驗產(chǎn)量遞減模型擬合新方法在模型擬合和EUR預(yù)測方面具備優(yōu)勢，尤其是針對頁巖氣井遞減分析中常用的PLE遞減模型、SEPD遞減模型和Duong遞減模型，在不同開井生產(chǎn)時間下新方法始終展現(xiàn)出優(yōu)越性。

3）針對長寧區(qū)塊頁巖氣井，在不同開井生產(chǎn)時間下，Arps模型和Duong模型預(yù)測EUR偏高，PLE、SEPD、廣義K模型、ML和Li遞減模型預(yù)測EUR偏低。生產(chǎn)時間越久，遞減模型的預(yù)測精度越高，預(yù)測EUR越可靠。

4）針對長寧區(qū)塊頁巖氣井，生產(chǎn)時間達(dá)6個月時，建議使用廣義K模型；生產(chǎn)時間達(dá)1年時，Duong模型為優(yōu)選模型；當(dāng)生產(chǎn)時間達(dá)到18個月后，SEPD和Duong模型為優(yōu)選模型；當(dāng)生產(chǎn)時間達(dá)到2年后，SEPD和Duong模型為優(yōu)選模型。