多策略融合的改進螢火蟲算法

雍 欣，高岳林，2，赫亞華，王惠敏

（1.北方民族大學 計算機科學與工程學院，銀川 750021；2.寧夏智能信息與大數據處理重點實驗室（北方民族大學），銀川 750021）

0 引言

受到生物智能群體行為的啟發提出的智能優化算法在解決全局優化問題中具有重要的地位，近年來逐漸發展并得到了廣泛應用，成為了優化領域的熱點研究問題之一。針對傳統優化算法在實際工程領域中的應用存在的算法規模龐大和復雜度過高等問題，群智能優化算法通過智能個體的群體行為進行移動尋找全局最優解，擁有更為強大的計算能力和解空間的搜索能力，因此能夠用于解決諸多應用問題且已得到了豐富的研究成果［1-4］。典型的群智能優化算法有模擬鳥群飛行覓食行為的粒子群優化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［1］、模擬蟻群尋找最優路徑的蟻群優化算法［2］、模擬灰狼群體捕食行為的灰狼優化算法［3］等，對于群智能算法的研究主要集中在對現有算法的改進和應用，以及模仿生物群體行為的新型算法的提出和理論研究。

螢火蟲算法（Firefly Algorithm，FA）是群智能優化算法的一種，由Yang［5］于2008 年提出。該算法通過模擬自然界中螢火蟲的發光行為進行尋優，將螢火蟲個體的亮度同目標函數值相關聯。在算法中，螢火蟲的飛行行為抽象為僅由亮度吸引彼此，它們之間的吸引度則和距離密切相關，螢火蟲們總是趨向于最亮的個體，即最終收斂到最優解。自提出以來，螢火蟲算法得到了領域內廣泛的應用和研究［6-11］，取得了豐富的研究成果；然而，傳統的螢火蟲算法仍存在一些不足，例如易陷入局部最優、收斂速度慢且收斂精度低等問題。

針對以上問題，本文把萊維飛行、精英參與的交叉算子及精英反向學習機制融入到傳統的螢火蟲算法中，提出了一種多策略融合的改進螢火蟲算法LEEFA（Levy flight-Elite participated crossover-Elite opposition-based learning Firefly Algorithm）。引入萊維飛行機制能夠有效地進行全局搜索，提升解的多樣性；精英參與的交叉算子提供的跳出局部最優的能力和優良個體保留的能力能夠避免螢火蟲算法陷入局部最優，進而提升算法的表現和收斂精度等；引入精英反向學習機制能夠在算法陷入局部最優區域時，通過構建反向解保留精英個體使得種群解的多樣性增加和收斂精度提升，讓算法朝著最優解的方向進行進化。

本文在基準測試函數上進行了對比仿真實驗，結果表明所提算法相比傳統智能優化算法及其他改進螢火蟲算法提升了螢火蟲算法的性能，在收斂速度和精度上表現均優于對比算法。

1 相關工作

螢火蟲算法自提出以來便受到國內外學者的廣泛關注，為了解決螢火蟲算法存在的局部開發能力不足、容易陷入局部極值、收斂精度低且過早收斂的問題，近年來不同的改進和優化方向的提升算法不斷被提出。相關研究提出的算法在螢火蟲算法的基礎上，不同程度提升了算法的全局搜索能力和局部尋優能力，且對于兩方面的能力如何平衡做出了改進。

何櫟等［6］提出了一種基于萊維飛行和變異算子的螢火蟲算法（Levy flight and Mutation operator based Firefly Algorithm，LMFA），該算法側重于在傳統螢火蟲算法陷入局部最優時增加跳出局部最優解的概率，當種群無法通過初始尋優算法提升解的質量時，萊維飛行和變異算子將被用來進行種群解的更新；然而，直到相對停滯再進行種群更新極大地影響了種群多樣性的提升速度，因此也限制了算法收斂速度和精度一定程度的上升空間。值得注意的是，針對螢火蟲算法的研究不僅注重提升其局部尋優能力，也關注如何平衡并盡可能同時提升全局搜索能力和局部尋優能力，這也是當下的研究熱點。Wu 等［7］使用自適應開關的方式在迭代中進行選擇以平衡萊維飛行進行全局探索及對數螺旋路徑進行局部開發的兩種模式，提出了自適應對數螺旋-萊維飛行螢火蟲優化算法（ADaptive logarithmic spiral-Levy Improved Firefly Algorithm，ADIFA），取得了一定的成果，但在某些問題上表現不足。Wang 等［8］提出了基于性別差異的改進螢火蟲算法（improved Firefly Algorithm based on Gender Difference，GDFA），其中，雄螢火蟲通過隨機選擇和方向判斷進行全局搜索，雌螢火蟲通過局部搜索找到高質量的解，有效地平衡了算法的全局和局部尋優，算法引入的混沌搜索進一步提高了搜索能力。Yelghi 等［9］將潮汐力公式引入螢火蟲算法框架，其靈活性為算法平衡全局和局部搜索提供了新的見解。劉振等［10］提出的混合螢火蟲算法通過調節參數在算法迭代前期進行全局范圍內的搜索，后期則聚焦于局部收斂區域；該算法提升種群多樣性的方式是構造分布式協同進化種群框架，引入優良精英個體進行指導，采用兩階段混沌進化方式，提升了收斂精度，但仍然存在進化速度的缺陷。劉磊等［11］提出了基于精英個體劃分的變步長螢火蟲優化算法（Elite-individual-dipartition Dynamic Step Firefly Algorithm，EDSFA），對精英和非精英個體采用不同的步長調整策略，兼顧了算法在解搜索空間的全局搜索和局部開發能力并提升了種群的多樣性，然而個體差異造成的收斂效果仍然存在不穩定性。

本文提出了一種引入萊維飛行、精英參與的交叉算子和精英反向學習機制多策略融合的改進螢火蟲算法（LEEFA）。通過在基準函數上的實驗結果表明，本文提出的改進螢火蟲算法能夠增強算法的全局搜索能力并且有效地避免算法陷入局部最優值和過早收斂，算法的收斂速度和精度得到了提升。

2 傳統螢火蟲算法

螢火蟲算法通過模擬自然界中螢火蟲的發光行為來尋找最優解。算法本身僅抽象化螢火蟲的發光特性來搜索解空間區域，在這過程中不斷向解空間內位置較優的螢火蟲遷移，最終收斂到最優解。

螢火蟲算法的關鍵在于螢火蟲的亮度和吸引度，其中：螢火蟲的亮度決定種群中每個個體的移動方向，吸引度決定其移動距離。在算法迭代過程中，螢火蟲自身所在位置解的質量越好，亮度就越高；然而在每只螢火蟲視野中所看見的其他螢火蟲的亮度亦受到相對位置距離的影響，因此螢火蟲之間相對距離越短相對亮度越高，即相對亮度與螢火蟲個體之間的距離成反比。螢火蟲種群通過亮度交換信息并通過吸引度移動尋覓最優解，每只個體對于其他螢火蟲的吸引度和相對亮度有關且與距離成反比，即對每只螢火蟲來說更容易受周圍的亮度較高的螢火蟲吸引而向其靠近，通過這種機制最終收斂到最優位置。

算法具體描述如下：假設有N只螢火蟲，搜索空間的維度為D維，那么第i只螢火蟲在D維空間中的初始位置可表示為Xi=[xi，1，xi，2，…，xi，n] 。

定義1第i只螢火蟲的熒光亮度。

其中：f(Xi)表示第i只螢火蟲對所在位置的目標適應度值。

定義2第i只螢火蟲的相對亮度。

其中：γ表示光強吸引因子，其取值與區域面積有關，一般設置為常數；rij=|Xi-Xj|，表示第i只螢火蟲與第j只螢火蟲之間的空間距離的大小。

定義3螢火蟲的吸引度。

其中β0表示最大吸引度因子。式（3）描述了最大亮度的螢火蟲對其他螢火蟲的吸引度隨著距離的增大而減小。

定義4尋優過程位置更新。

其中：α為步長因子，rand為[0，1]上服從均勻分布的隨機因子。對于某螢火蟲個體i來說，若螢火蟲個體j吸引了它，則采用式（4）進行更新，循環執行每個螢火蟲個體。為了加大搜索域空間范圍，防止算法陷入過早收斂，式（4）中加入了α·(rand-12)。

3 多策略融合的改進螢火蟲算法

本文提出的改進螢火蟲算法作出了以下改進：1）在傳統螢火蟲算法的尋優基礎上添加了篩選機制，僅對能夠引導某螢火蟲個體趨向更優位置的移動進行保留，從而逐步提升解的質量；2）引入萊維飛行機制，增加種群多樣性并提升種群解的質量；3）采用精英參與的交叉算子，使用精英個體進行交叉且在獲得優于原有解的子代解后選擇優良個體留在原有種群內；4）引入精英反向學習機制，在算法陷于局部最優區域時，提供反向解增加可能解的選擇范圍，并從中選擇精英個體進行下一次迭代。通過以上改進，讓算法朝著更好的進化方向進行，最終收斂到全局最優解。

3.1 篩選機制的螢火蟲移動行為

在傳統螢火蟲算法中，熒光亮度較高的螢火蟲個體一般情況下只對相對距離較小的螢火蟲個體具有較強的吸引效果，使鄰域內的螢火蟲改變移動方向和距離，從而更趨向自己。然而，這種共同的吸引作用往往存在引導周圍的螢火蟲移動到解的質量不佳的位置上，容易導致傳統螢火蟲算法收斂精度不高且易陷入局部最優解而過早收斂的問題。因此，本文通過添加篩選機制保證進入下一次迭代的螢火蟲個體都是改善后的優良個體。以求解極小值問題為例，螢火蟲位置更新公式改進如下：

3.2 萊維飛行

萊維飛行是一種模擬自然界隨機現象行為的行走方式，已經廣泛被用于優化算法研究的改進策略中，例如與PSO 算法［12］、灰狼優化算法［13］、原子搜索算法［14］等結合的算法設計都在一定程度上提升了算法表現。萊維飛行特點在于其步長服從萊維穩定分布，是一個非高斯隨機過程。

本文中符合萊維分布的隨機步長通過式（6）進行計算：

其中μ和v服從正態分布：

其中σμ和σv定義如下：

其中：β的取值范圍為[0，2]，通常取β=32。此前的文獻研究表明萊維飛行的搜索路徑能夠提升算法在全局搜索空間的搜索能力，擴大搜索范圍，讓算法更容易跳出局部極值點。Yang［15］在2010 年提出的萊維飛行螢火蟲算法（Levy Flight Firefly Algorithm，LFFA）通過將萊維飛行引入到螢火蟲算法中，增強了螢火蟲算法的全局探索能力，且保留了部分原算法局部空間勘探能力。引入萊維飛行的螢火蟲算法更新公式如下：

其中：式（4）中的α·(rand-12)隨機步長由萊維分布生成的隨機步長代替，故式（7）中的sign(rand-12)作用為給出一個隨機方向；Levy表示由式（6）生成的隨機步長，此時螢火蟲的運動即為基于重尾概率分布的隨機行走。Levy 隨機步長相較于早先使用的隨機步長有效提高了算法跳出局部最優解的概率，從而整體上提升算法全局搜索的能力及獲得最優解的能力。數值實驗結果表明LFFA 表現更優，具有更高的成功率和更少的計算時間。本文引入的萊維飛行機制正是基于以上改進算法，然而萊維飛行的引入會在提升算法全局搜索能力的同時，在算法迭代后期一定程度上削弱算法的局部尋優能力，即在需要更小區域搜索時算法仍可能處于全局搜索狀態，導致收斂精度降低。

3.3 精英參與的交叉算子

為解決引入的萊維飛行機制導致的局部最優解欠佳問題，引入精英參與的交叉算子。對于群智能優化算法來說，種群中的精英個體具有重要的指引作用和尋找最優解的潛力，種群越趨向于迭代中產生的精英個體，越容易接近最優解，例如灰狼優化算法中的金字塔尖個體的作用；然而過度的趨同性同樣也會導致算法停滯于局部最優解。考慮遺傳算法中通過精英策略選擇較優個體交叉并保留較優個體的策略，增加了種群解的多樣性，提供了跳出局部最優解的可能，同時也保留了優良個體使得種群向著最優解的位置進化。考慮到精英個體的解的優勢在于相較于非精英個體部分基因表達位置的效果更佳，使用精英個體參與交叉運算散播其優勢基因片段相較于傳統在迭代過程中僅保留精英個體直接應用于交叉算子，收斂速度將大幅提升。通過擴大含有精英個體的基因在種群中的比例，將更有可能獲得一個產生最大限度提升解的質量的種群。鑒于此，本文提出了精英參與的交叉算子，將種群中的非精英個體與現有的最佳精英個體進行交叉，在獲得的子代和父代中保留較優個體，替代原有非精英個體的螢火蟲。該算子實現簡易且效果顯著，能夠較快地更新螢火蟲個體的位置，易獲得相對更優解。算法具體描述如下。

設所求問題為求解極小值問題，種群中有N個螢火蟲個體，則種群中的精英個體為，其定義為：

步驟4 通過將子代個體的基因型代入目標函數求解f(c1)和f(c2)。

步驟5 對比子代與父代函數值，選擇較優個體進入種群替代原有非精英個體。

3.4 精英反向學習機制

Tizhoosh［16］在2005 年提出 并驗證 了反向 學習機 制（Opposition-Based Learning，OBL）的擴展對原有算法的有效性，該方法指出反向解比當前解逼近最優解的概率高于50%。反向學習機制能夠提升算法迭代過程中解的質量，其具體定義如下。

定義5反向解。設在D維搜索空間中，當前種群的某個個體 所在位 置的一 個可行解為=[x1，x2，…，xD]，xk∈[ak，bk]，(k=1，2，…，D)，其反向解定義為其中是[0，1]的隨機數。

在此基礎上，為應對反向學習機制可能帶來的部分解的質量不升反降的現象，精英反向學習機制被提出并用于優化算法的改進，諸多研究顯示引入精英反向學習能夠有效提升算法的搜索能力［17-19］，提高種群解的多樣性和質量。

設待優化問題為最小問題，適應度函數為f(X)，若存在某個可行解X，其反向解為。

精英反向學習機制具體更新步驟如下。

步驟3 排序完成后，選取前N個個體作為下次迭代使用的新種群。

在傳統螢火蟲算法中，迭代一定次數后，螢火蟲種群將會出現較為密集的狀態，此時螢火蟲的收斂速度將逐漸遲緩，甚至讓算法陷入局部極值點。為應對此問題而引入的精英反向學習機制，通過構建反向解并保留精英個體的方法增加了種群的多樣性，提高了存留解的質量，為算法提供了跳出局部最優解的可能性。

3.5 算法具體描述

螢火蟲算法的有效性在于某螢火蟲個體受到其他比自身亮度更高的螢火蟲吸引而獲得的多次一定程度上進行修正的移動方向和位移，這就有可能造成在初始階段的迭代中，部分表現次優但距離更近的螢火蟲個體會對某些個體的移動造成影響，導致收斂速度的降低。

基于以上問題的考量，引入相當于貪婪算法的篩選機制能夠有效降低這種影響，但這種機制卻有可能造成解的多樣性，減少導致算法全局搜索能力降低而陷入局部最優值的后果。而已知萊維飛行機制的引入能夠有效提升算法的全局搜索能力，因此在螢火蟲添加篩選移動后通過萊維飛行的改進來擴大算法的搜索范圍，彌補此前可能損失的潛在搜索范圍的解。然而萊維飛行仍存在無法隨著算法迭代次數的增加而自適應地降低精度的問題，局部搜索能力較差，具體表現為隨著算法到達迭代后期，萊維飛行更新的個體無法再提升解的質量。此時考慮到精英個體的領導作用，使用精英參與的交叉算子更新個體，使得有更大的可能性獲得相對優解。進一步考慮該算子，伴隨著與精英個體相像或精英個體本身的個體在螢火蟲群體中逐漸占優，可能會在迭代后期陷入局部最優解且無法跳出。因此設置閾值判斷群體中若存在超過閾值限度比例的個體的更新都停滯時則認為有可能陷入了局部最優狀態，此時應用精英反向學習機制進行更新，則更容易使算法突破局部最優狀態，最終收斂到最優解。

算法具體步驟表述如下。

步驟3 通過目標函數值求解螢火蟲個體的亮度，使用添加篩選機制的移動公式（5）移動各螢火蟲位置。

步驟4 設置未能成功改善的螢火蟲數目count=0，對每只螢火蟲個體應用萊維飛行機制，應用式（7），若得到的個體未能改善解的質量，則執行步驟5；否則，轉至執行步驟6。

步驟5 使用精英參與的交叉算子對螢火蟲個體進行運算，應用式（8），用得到的較優子代個體更新該個體所在的位置和解，若得到的個體仍未能改善解的質量，則count+=1，且原螢火蟲個體保持不變。

步驟6 判斷count≥ethreshold·N，若滿足則認為種群移動不活躍，有陷入局部最優值的可能，使用精英反向學習機制進行種群的更新；否則不進行操作。ethreshold代表未能獲得更新的種群內個體數目占種群總體規模的比例閾值，一旦超過此數值，則進行精英反向學習機制的更新。

步驟7 重新根據目標函數進行計算，更新精英個體，判斷是否滿足迭代結束條件，若滿足則輸出f()；否則，返回步驟3。

3.6 算法復雜度分析

時間復雜度是衡量算法運算效率的重要指標。設種群規模為N，問題維度為D，最大迭代次數為Titeration，計算適應度函數所需時間為f(D)。

步驟1～2 初始化階段設置算法參數需要時間為x1，隨機生成種群個體的位置需要時間為O(N×D)，計算適應度函數值需要時間為O(N×f(D))，找到最優解個體并設置為精英個體需要時間為O(N)，則此階段時間復雜度應為O((D+f(D)+1)N+x1)。

步驟3 移動篩選階段的篩選判斷機制需要時間O(N)，移動需要的總時間與傳統螢火蟲算法相同，即O(N2)，則此階段時間復雜度應為O(N2)。

步驟4～5 設對一只螢火蟲進行萊維飛行操作需要的時間為l(D)，執行一次精英交叉算子需要的時間為x2，此時，根據獲得結果的差異，螢火蟲可能的狀態有三種：1）更新為萊維飛行的結果；2）拒絕萊維飛行結果，執行精英交叉算子并更新；3）拒絕萊維飛行和精英交叉算子結果。狀態1）執行結束需要O(l(D))，狀態2）和3）執行結束需要O(l(D) +x2)，最好情況下所有螢火蟲迭代過程中都只進入狀態1），即此階段需要O(l(D) ×N)，最壞情況下所有螢火蟲迭代過程中都進入狀態2）或3），即此階段需要O((l(D) +x2) ×N)。

步驟6 反向精英學習機制階段判斷是否執行步驟需要O(1)。根據判斷結果，種群的狀態有兩種：1）執行精英反向學習策略，更新種群；2）不執行精英反向學習策略，進入下一步驟。執行反向精英學習機制共需要計算反向解、合并初始種群和反向解種群和更新種群3 個步驟，易知此3 個步驟的時間都取決于N的大小，故設置為g(N)。易知步驟4～5 的最好狀況下一定進入步驟6 的最好狀況，步驟4～5 的最壞狀況下一定進入步驟6 的最壞狀況，其他情況介于兩者之間則最好情況下進入狀態1），此階段需要O(1)，最壞情況下進入狀態2），此階段需要O(1 +g(N))。

步驟7 判斷及輸出需要的時間為常數時間x3，則時間復雜度為O(1)。

綜上，LEEFA 的時間復雜度最好情況下為：

而該算法在最壞情況下為：

即最好 情況下O(Titeration×N2+q1(D) ×N)，最壞情況下O(Titeration×N2+q2(D) ×N)（q1、q2為某關 于D的某函 數）。傳統螢火蟲算法的時間復雜度為O(Titeration×N2)，LEEFA 相較于傳統螢火蟲算法增加了N數量級的復雜度。本文通過實驗驗證了所提算法實施的可能性，盡管一定程度上增加了復雜度但算法能夠極快地收斂到精度合適的最優解，在實際應用中具有較大的價值。

4 仿真實驗與結果分析

4.1 實驗環境配置及測試函數

本文實驗環境配置為Intel Core i7-6700 CPU @3.40 GHz 3.40 GHz，8.00 GB，Windows 7 旗艦版 64 位操作系統，軟件環境為PyCharm 2018.2.4 Python 3.7（64-bit）。

為了驗證算法的有效性，這一節將以求如表1 所示的基準測試函數［20］的最小值為例，通過計算機仿真來評價比較所提LEEFA 以及傳統智能優化算法和其他改進螢火蟲算法的性能，對比算法為：PSO 算法、遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）、人工蜂群算法（Artificial Bee Colony algorithm，ABC）、FA、LFFA、LMFA 和ADIFA。實驗均選取種群規模為100，研究問題維度為30 維，最大迭代次數設置為1 500，函數區間設置參考表1。LEEFA 的參數設置由仿真實驗進行設置，傳統PSO算法和GA的參數遵循慣例設置，其他算法的參數設置均遵循相應文獻，具體如表2 所示。其中，LEEFA 中α表示式（5）和式（7）中的步長因子，β0和γ分別代表基本螢火蟲算法中的最大吸引度因子和光強吸引因子，ethreshold表示步驟6中用于判斷算法是否陷入局部最優的閾值參數。

表1 基準測試函數Tab.1 Benchmark functions

表2 參數說明Tab.2 Parameter description

4.2 算法閾值參數選取

基于對LEEFA 的復雜度分析可知，參數對于LEEFA 的時間復雜度可能存在重要的影響：ethreshold值設置過大將導致算法在陷入局部最優解時無法及時跳出，降低收斂速度；ethreshold值設置過小則會導致ethreshold的作用失效，算法復雜度提升。然而以上對于算法的分析僅在算法初次到達接近最優解的地方才可能產生影響，由于LEEFA 能夠極快地收斂到最優解附近，導致種群中存在較多接近最優解而較難通過更新策略提升解的質量的個體，因此隨著迭代次數的增加ethreshold值將很容易被達到，且算法本身存在一定的隨機性，以上分析的前期影響存在被抵消的可能。

鑒于此，首先需要通過實驗確定ethreshold的數值設置及其對算法的影響。基于初步的實驗觀察發現，當種群中超過一半的個體都無法再獲得更新時，算法已經處于停滯狀態。為達到提前預測并避免陷入局部最優區域從而提升算法運行效率的目的，將閾值分別設置為0.05、0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、0.35、0.4、0.45，而其他參數的值保持不變。在實驗選擇的基準測試函數上連續運行30 次取得函數全局最優解的平均值，不同參數的設置對于LEEFA 的影響如圖1 所示，其中，橫軸表示閾值參數的取值，縱軸表示函數連續運行找到的全局最優解均值的lg（函數值）。所選函數最優解均為0，圖1 中可以看出算法在設置為不同值時獲得的最優解平均值在基準測試函數上的表現相近，在部分函數如f1(x) 和f4(x)上存在波動，但從整體上來看，ethreshold的取值對算法的收斂精度影響較小。根據前文分析ethreshold的選擇也在一定程度上影響算法的時間復雜度，因此經過綜合考量實驗結果和算法的時間復雜度，本文實驗中將其設置為0.1。

圖1 閾值參數的選擇Fig.1 Threshold parameter selection

4.3 對比實驗

為避免隨機性帶來的誤差，將連續運行30 次所得函數全局最小值的平均值作為評價算法收斂性能的衡量指標，實驗獲得的結果展示在表3，其中表現最好的用粗體表示。

從表3 可以看出，LEEFA 在所有基準測試函數f1～f8上的表現都優于其他對比算法，從算法最終得到的最優值可以看出LEEFA 尋優能力優良，標準差則說明算法尋優的穩定性也較好。以f2為例，該函數存在多個局部極小值點，是典型的非線性多模態函數，通常被認為是優化算法很難處理的復雜多模態函數；而它的全局最小值為0，本文以10-4為誤差的容忍度判定算法成功。可以看出LEEFA 能夠成功地收斂到需要的精度，相比之下其他算法均無法跳出該函數的一些局部最優值的位置。對于較難優化的測試函數，LEEFA 都取得了較好的收斂結果，對比LEEFA 與傳統FA 可以看出，LEEFA 相較于FA 獲得了顯而易見的提升效果。然而，LEEFA 在f2、f5上的最優值和最差值差距較大，算法仍有一些不穩定的情況出現。對比f6、f7上的實驗結果，LEEFA 在獨立運行的過程中，偶爾會取得無法達到收斂精度的解，在此類函數上表現仍有待提升。

表3 所提算法與其他改進算法的實驗結果對比Tab.3 Experimental results comparison of the proposed algorithm and other improved algorithms

續表

為了更好地對比LEEFA 與其他算法的收斂能力，繪制了以上8 個算法在30 維尋優問題進行1 500 次迭代的收斂曲線，如圖2 所示。為便于說明，圖2 中橫軸表示迭代次數，縱軸表示適應度值（lg）。

從圖2 中可以看出，LEEFA 在運行過程中以極快的速度收斂，迅速到達最優解附近開始搜尋，并且能夠收斂到最優解。如圖2 所示的迭代曲線顯示，對比算法大多在迭代次數為200 代時就陷于局部最優解，而LEEFA 引入的改進策略能夠幫助算法跳出局部最優區域，獲得更高收斂精度的最優解，顯然LEEFA 相較于對比的傳統群智能優化算法及改進的螢火蟲算法表現更好，驗證了提出的改進算法的有效性。

圖2 基準測試函數上的收斂曲線對比Fig.2 Comparison of convergence curves on benchmark functions

5 結語

本文將萊維飛行機制引入傳統的螢火蟲算法中，提升算法的全局搜索能力；融合精英交叉算子，提升個體解的質量，保留優良個體；增加篩選機制，引導算法朝著更優的方向進化；引入精英反向學習機制，提升種群解的多樣性，提升算法跳出局部最優的能力。隨著進化過程的進行，精英個體逐漸占據重要地位并引導算法的迭代，算法生成差解的概率逐漸減小，從而提高了收斂性能。所提算法增強了螢火蟲算法的全局尋優能力，提高了算法的進化速度，提高了收斂精度。計算機測試仿真結果表明，所提算法的性能優于傳統群智能優化算法PSO、GA、ABC、FA 及改進的螢火蟲算法如LFFA、LMFA 和ADIFA；然而所提算法在某些函數問題上仍存在進一步提升的空間，可能的原因是此類函數存在大量的局部極值點，存在一定的尋優難度。未來將針對提升算法的穩定性和時間復雜度進行研究工作。