應用GeoGebra軟件研究函數性質的實踐探索
——以“對勾”函數為例

?海南熱帶海洋學院附屬中學 楊春雨 齊立艷

1 應用GGB軟件探索函數性質的思考

在初中只是從宏觀上了解函數的簡單性質，對高一學生來說，剛剛接觸函數的“對應說”，突然要轉變觀念從微觀上用符號語言來具體刻畫函數的性質，不僅陌生而且抽象，再加上函數性質應用的靈活性，則更顯得茫然.學生認為函數難懂、難學，信心受挫，望而卻步.

“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”為解決抽象性這一難點，我們將GGB軟件融于數學教學.GGB是基于我們熟悉的描點作圖法，能夠便捷迅速地繪制各種函數的圖象的計算機軟件，對數與形給予了科學的完美結合.借助該軟件生成圖象的動態過程可以猜想、驗證函數的圖象與性質.同時該軟件嵌有代數區給與數據支撐，使問題的解決直觀化、動態化、數據化，形成其獨特的美感.因此通過GGB軟件，用運動與變化的觀念，用數學的眼光發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，進而達到對函數性質的本質深入地理解.GGB軟件可以將直觀的定性分析與利用數據定量刻畫相結合，為學生研究函數的性質提供了研究思想和方法，并為形成統一的研究路徑提供理論支持.

2 將GGB軟件融入問題式課堂教學

2.1 問題設計的目標

以問題串穿針引線，引導學生用數學的眼光發現問題、分析問題，有邏輯地思考，能“跳一跳摘到果子”，逐級遞進，層層深入，能夠用數學的思維解決問題.

2.2 問題設計的原則

(1)在知識形成過程的“關鍵點”上設置問題，利用GGB軟件促使學生建立函數表達式與圖象間的聯系.明確是什么函數？要解決什么問題?

(2)在運用數學思想方法產生解決問題的“關節點”上，思考運用什么樣的方法解決問題?

(3)在數學知識之間的“聯結點”上，在學生思維的“最近發展區”內，設計細小、具體并體現思維的嚴謹性、多元化、發展性的問題.

(4)在數學問題變式的“發散點”上， 體現問題的探索性、發散性和主題性.

(5)亦可考慮問題的趣味性，為激發學生的興趣而設.

問題是數學的心臟，基于問題鏈的課堂教學可以引導學生有層級、逐步深入地思考，還為學生思維上的探索提供了可能性[1].恰當的問題，對學生數學思維有適度啟發的作用，引導學生思考和自主探索，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，體會數學研究方法、積累數學活動經驗.

3 應用問題設計探索“對勾”函數性質的研究路徑實例

3.1 觀察結構，確定問題

問題1聯想前面冪函數的研究內容，你認為可以從哪些方面研究這個函數？

問題2聯想前面研究冪函數的路徑和方法，你認為可以按照怎樣的路徑研究這個函數？

問題3按照你構建的路徑研究你想到的問題.

用GGB軟件研究函數是觀察具體函數圖象上點的運動與數據的關系，觀察其變與不變性.回顧已有研究冪函數的路徑：

具體函數—圖象特征—數量刻畫—符號語言—定性分析—抽象定義.

經過這個環節學會“用數學的眼光觀察世界”，確定要研究的問題.

3.2 畫圖觀察,數量刻畫

圖1

經歷畫函數圖象，形成直觀認識；跟蹤點的變化趨勢，微觀上刻畫變化規律.這樣，不僅積累了相關數學基本活動經驗而且加深了認識，建構了新知識，符合學生的認知規律，形成初步的感性認識.

詳見：https://www.GGB.org/classic/xgqyszvr

學生活動：分組討論，互助學習.可以根據軟件中提出的問題，逐步回答，得到規律.

3.3 定性分析，總結規律

應用GGB軟件呈現動態圖象的靈動效果，成為感性認識的源泉.結合問題串，運用數據進行定性分析，形成理性判定.

數學是思維的體操，需要經驗的歷練，需要用聯系的眼光思考和分析問題，培養學生思維、遷移能力并使之逐步成為數學素養.

3.4 抽象總結,符號表達

3.5 循環檢驗,形成路徑

學生利用GGB軟件經歷了探索函數性質的研究過程.其中，思維靈敏的學生一眼就能看出變化規律，但也只是感性的，沒有注意到中間的觀察順序，思維較慢的學生可能并非自己所思，只是順勢完成.所以，探究中要做到兩個循環.一是循環看動態圖象，這個變化規律是否具有任意性，讓學生懂得知識的完備性.(回答問題6(1).)二是要求學生回顧研究的路徑，把握問題的思考順序和方向，讓思維形成一個完整的鏈條而非碎片化.(回答問題6(2).)

圖象可點擊GGB軟件網址：https://www.GGB.org/classic/xgqyszvr

3.6 解決問題,實際應用

問題7“對勾”函數模型的應用價值是什么？

例題要建造一個容積為1 200 m3，深為6 m的長方形無蓋蓄水池，池壁的造價為95元/m2，池底的造價為135元/m2，如何設計水池的長與寬，才能使水池的總造價控制在7萬元以下，何時造價最低？

關鍵點：體會利用對勾函數模型解決實際問題.

本問題可解且可用軟件“取極值點”工具進行驗證.

解答見對勾函數應用(最省問題)-GeoGebra

本例題說明對勾函數模型的應用很廣泛，可以解決很多最優化問題，讓學生了解此模型的應用價值，體現數學模型的工具作用.

4 應用GGB軟件探究函數性質的研究路徑

數學是模式的科學，通過探究對勾函數的圖象與性質，將探究對勾函數的圖象與性質的過程和方法加以總結并推廣，形成探索一般函數性質的研究路徑.

在這個路徑中，首先培養學生用數學的眼光觀察函數的結構，產生聯想，與前面所學的知識產生聯系，哪些知識可用，哪些知識是相似的，采用類比的方法觀察、分析，實施實驗.在這些過程中要了解學生的思維發展進程，為了讓學生的思維得以延續，所以要借助教師的問題串搭建階梯，讓學生能夠拾階而上，完成數學“三種語言的轉換”，能夠自己嘗試解決問題.最后設置實際應用問題，讓學生感受數學來源于生活，又反過來可以指導生活，體現數學的應用價值和育人價值.這也是由過去教師教轉變為現在借助軟件促成學生學的研究路徑，也是順應學生思維發展規律的探索，如圖2.

圖2

5 啟示

史寧中教授說：“信息技術正在通過與學科的融合來改造我們的教學，形成一種全新的教學模式.”[2]數學核心素養是新課程教學改革深化的重大成果，基于GGB軟件進行數學可視化教學是提升數學核心素養的重要途徑之一，有著巨大的應用空間，只有將信息技術深度融合于教學內容中，并將可視化操作從教師手中轉移到學生手中，才能實現從形式到內涵的轉變[3].“多維+互動+實踐”是一種實驗式教學模式，它讓教學活動更生動，能夠促使學生深入地理解問題，促進學生的有效學習，提高課堂效率.