“1”的10用技巧

?浙江省杭州市蕭山第二高級中學 吳葉芳

“1”真是個神奇的數字，從小學開始我們就知道，“1”是一個自然數，是最小的正整數，是奇數，“1”既不是質數也不是合數，還學會了設“單位1”的解題思路與方法[1].到了中學階段，又學會了更多更巧妙地利用“1”的各種性質來解題的方法與技巧.下面我們通過實例來歸納“1”在數學解題中的10種靈活用法.

1 “1”的正用與逆用

例1求證：tan2α+cot2α+1=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1).

證明：右邊=(tan2α+tanα+1)(cot2α-cotα+1)

=cotα(tan2α+tanα+1)·tanα(cot2α-cotα+1)

=(tanα+1+cotα)·(cotα-1+tanα)

=(tanα+cotα)2-1

=tan2α+cot2α+1

=左邊.

所以原式得證.

點評：在三角函數中，“1”可以變換為“tanα·cotα”，本題正是反復正用和逆用了“1=tanα·cotα”這一性質，使證明過程變得簡捷.

2 巧用“1”求概率

例2某縣選派甲、乙兩所中學的12名學生組隊參加市創客大賽決賽，其中甲中學推薦了3名男生、2名女生，乙中學推薦了3名男生、4名女生.兩校隊員在市教育局集中培訓了2天后，因參賽名額限制，決定從兩校隊員的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人，組成代表隊參加決賽.求甲中學至少有1名學生入選的概率.

點評：本題的思路是利用概率的性質從反面求解；因為所有事件概率的總和等于1，所以可先求出事件A的反面“甲中學無學生入選”的概率，再用1減去這個概率即可.

3 妙用“1”化簡求值

4 換用“1”求極值

5 作中間變量比較大小

例5比較a=ln 2，b=20.3，c=0.32的大小.

解：ln 20.32，所以c

點評：“1”作為中間變量，在比較大小的運算中具有橋梁的作用[2]，很多數的大小都以0,1為臨界點.

6 解決橢圓的相關問題

點評：本題為了避免求a,b,c的值，將方程中的a設為1，再根據橢圓中a2=b2+c2的關系將b2寫成b2=1-c2，然后將上述方程轉換成一個關于e的方程，最后解出e的值即為所求的離心率.

7 化歸構造公式

例7已知A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)，試求A-2 003的末尾數是多少？

解：原式左邊乘(2-1),得A=(2-1)·(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)·(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1.

因為21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，個位數的特點是每4個一循環，而16÷4=4，所以216的末位數字是6，那么A的末尾數字是5，A-2003的末尾數是2.

點評：運用化歸思想，巧用“1”乘任何數結果不變的特點把“1”變成(2-1)的形式，靈活地構造出能夠運用平方差公式的式子.

8 用代換法解方程

例8解方程：4x-3=1.

解：因為a0=1(a≠0)，則4x-3=40，所以x-3=0，解之得x=3.

點評：本題主要是靈活代換了a0=1(a≠0),將指數方程轉化為一元一次方程，進而輕松獲解.

9 解決函數恒過定點的問題

例9函數y=loga(x-4)的圖象恒過定點______.

解：由對數函數y=logax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(1，0)，得x-4=1，則x=5.

所以函數y=loga(x-4)的圖象恒過定點(5，0).

點評：指數型函數與對數型函數圖象恒過定點問題是高考常考的一個知識點，解答這類題型經常會用到常數“1”的轉化技巧.

10 求動點的軌跡方程

例10設A(x1，y1)，B(x2，y2)為拋物線y2=4px(p>0)上原點以外的兩個動點，若OA⊥OB,OM⊥AB，求動點M的軌跡.

解：(1)當直線AB垂直于x軸時，M(4p,0).

兩邊同除以x2，整理得

y=k(x-4p).

①

又因為OM⊥AB，所以直線OM的方程為

②

由①×②消去k，得y2=-x(x-4p)，即(x-2p)2+y2=(2p)2，且M(4p,0)也滿足這個方程.

所以，動點M的軌跡是以(2p,0)為圓心，2p為半徑的圓.

事實上，“1”的用法何止10種！上述舉例只是窺其一斑而已，要知“全豹”，學習和掌握更多的“1”的妙用技巧，還需要我們在解題過程中不斷探索、不斷反思、不斷總結，學以致用，不斷提高.