師范類專業認證背景下“常微分方程”課程教學改革探討

◇信陽師范學院數學與統計學院 周學勇

分析師范類專業認證背景下常微分方程課程教學存在的問題，根據師范類專業認證理念以及數學與應用數學專業（師范類）培養目標，對微分方程課程的教學內容、教學方法、課程評價方式等方面的改革進行了探究。注重常微分方程與初等數學的融合、案例分析融入課程教學、“課程思政”融入課堂，采用線上線下混合式教學，改革對學生學習的評價方式，以提高師范生的綜合素質，達到培養骨干教師的目標。

1 引言

2017年10月，教育部印發了《普通高等學校師范類專業認證實施辦法（暫行）》，發布國家認證標準，分級分類開展師范類專業認證。師范類專業認證以“學生中心、產出導向、持續改進”為基本理念[1]。師范類專業認證（中學教育第二級）圍繞“培養目標”“畢業要求”“課程與教學”“合作與實踐”“師資隊伍”“支持條件”“質量保障”“學生發展”等8個一級指標和39個二級指標開展。師范類專業認證對任課教師提出了新的要求[2]：要參與任教專業培養目標的制定，能夠熟知專業培養目標與畢業要求；基于畢業要求，了解本專業課程設置和結構，熟練掌握課程目標對畢業要求的支撐關系；根據畢業要求設定自己所承擔課程的課程目標及其對畢業要求的支撐；根據設定的課程目標，確立課程內容和教學環節；根據課程特點、課程目標、學情、教學內容等靈活設立有針對性的課程考核方式；在教學實施中，堅持過程性評價和結果性評價相統一且指向課程目標的達成；有具體可行的、基于課程評價的課程持續改進方案并實施等。

常微分方程是數學與應用數學專業（師范類）（以下簡稱數學師范專業）的必修課程，也是專業核心課程。常微分方程表述自然科學和社會科學中各種基本規律的根本工具之一，也是數學與實際問題建立聯系的重要手段之一。根據常微分方程課程內容、在數學師范專業中的地位作用、培養目標、畢業要求與師范類專業認證理念、學生學情等要素，確定信陽師范學院數學師范專業常微分方程課程的課程目標。根據常微分方程課程內容、課程目標和信陽師范學院數學師范專業畢業要求指標點的內涵，確定課程目標對畢業要求指標點的對應支撐關系。

2 《常微分方程》課程教學中存在的問題

以學生發展為中心的認證標準要求要求教學模式要從以“教”為中心向以“學”為中心轉變，要求遵循師范生成才成長規律，要求專業把培養目標和全體學生的畢業要求達成情況作為評價的核心。基于產出導向的教育（Outcome Based Education，英文縮寫OBE）關注師范生“學到了什么”和“能做什么”。因此，在面向基礎教育改革發展需求方面，數學師范生的人才培養需要按照數學師范專業畢業要求科學合理設置課程體系和教學內容，構建起全新的課堂教學模式。然而原來的常微分方程課程并不能滿足這些要求，主要存在以下幾個方面的問題。

2.1 課程教學內容沒有考慮與中學數學教學內容的銜接

2020年版普通高中數學課程標準注重數學本質，提升數學素養，培養學生邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等六個方面數學核心素養[3]。培養中學生邏輯推理、數學建模等素養需要數學教師具備較強的邏輯推理能力、理性思考和問題解決能力等，這要求在數學師范生培養中要潛移默化地將數學核心素養融入課程教學?！冻Ｎ⒎址匠獭氛n程在培養師范生的邏輯推理、數學建模等素養方面發揮重要作用。然而，目前數學師范專業《常微分方程》課程使用的教材和課堂教學中并未體現該特點，課程一開始就直接進入微分方程的定義教學，并沒有把中學所學的代數方程的定義及其解決問題的方法作為切入點進行引入，與中學數學教學的脫節問題凸顯。另外，教師在《常微分方程》課程授課過程中也沒有注意課程內容與中學數學教學內容的銜接。

2.2 教學內容比較陳舊，教學模式相對單一

由于學時限制，在《常微分方程》教學中，教師過多重視一階微分方程、高階微分方程、線性微分方程組的解法、一階微分方程的解的存在定理和非線性微分方程穩定性等理論的教學，很少將常微分方程在自然科學和社會科學中應用的最新成果引入課堂，教學內容比較陳舊。在課堂教學中，大多數任課教師仍舊照本宣科，采用傳統的填鴨式教學，學生對知識還是被動的接受者，而不是積極主動的學習者、思考者、探究者，這與師范類專業認證中的“學生中心”理念相違背。

2.3 課程考核和評價方式較單一

專業認證前，《常微分方程》課程雖然采用平時成績（占30%）+期末考試成績（占70%）的方式進行評價，但是平時成績占比較少，僅采用作業、考勤等方式，方式單一，不注重“學生中心、產出導向”，輕視過程性考核。試卷分析僅針對考試情況進行分析，缺少課程目標達成情況分析。另外，為了開展師范專業認證工作，認證前專業對課程教學大綱進行了重新修訂。但是新修訂的課程大綱在實施中，課程體系合理性和課程目標達成度的定期評價方面尚未開展起來，有的評價中雖然有學生的參與，但學生的主體性發揮并不到位，評價與修訂過程利益相關方參與不夠，影響課程評價的效果。

3 常微分方程教學改革與實踐

以信陽師范學院數學師范專業《常微分方程》課程為具體實施對象，以師范類專業認證理念為抓手來推動數學師范專業課堂教學改革，將師范類專業認證理念和標準落實到日常教學活動中，不斷改進教學內容及教學方法，持續提高課堂教學質量，培養師范生的邏輯推理、數學建模等素養，具體教學改革措施如下。

3.1 教學內容注重與中學數學的融合，體現與師范認證要求的統一

方程是中學數學中最重要的內容，包括代數方程（整式方程、分式方程和根式方程）、函數方程等。常微分方程也是方程，是代數方程、函數方程的自然引伸和發展。它與代數方程、函數方程聯系密切，傳承了中學代數方程的一些本質特征，在研究內容、方法上有許多相似之處。但同時它們之間又存在著許多本質上的差異。在《常微分方程》課程教學過程中，應當緊緊地抓住這個特點，從提出問題、分析問題、解決問題、歸納問題等方面始終注意與中學數學中的方程進行聯系和比較。

例如水池注水問題：一個水池，裝有一個進水管和一個放水管。單開進水管3小時可將空水池注滿，單開放水管4小時可將水池排空。現兩管同時放、進水，問多少小時才能把水池注滿？

我們可以利用初等數學思想和微分方程思想分別對該問題進行解答。

微分方程思想解法：實際上，進水量可以是衡定的，而排水量會隨水位下降不斷減少。首先給出模型假設：注水速度是勻速的、水從池底大小一定的出水孔流出。設水池高度為水位高度為，則可建立如下微分方程：

利用微分方程解決水池注水問題不僅能直接解答特殊問題，還能通過對一般問題的解決最終解釋事物的本質，加強了學生對代數方程和常微分方程間的內在聯系的認識。

用常微分方程定義初等函數能比較直接地反映出該函數所描述的運動過程的某種本質屬性。如一階微分方程初值問題的解定義指數函數可以從整體上揭示出指數函數反映的是物質運動的位移在時刻的變化率與該時刻的量成正比的變化規律。這比中學數學教材中的指數函數的定義更具有優越性，也建立了中學數學與常微分方程的聯系，促進了數學師范生學習數學的興趣。

3.2 案例分析融入課程教學，培養師范生合作交流與實踐動手能力

在傳統教學中，我們往往注重微分方程（組）的解法、解的存唯一性定理、解的延拓定理等理論部分的教學，而微分方程在實際生活中的應用鮮有涉足。這使得課堂枯燥、無趣，讓學生覺得理論知識與實際相距甚遠，從而挫敗了學生的學習積極性。我們知道，常微分方程在生物、物理、化學、醫學、經濟學等領域都有著廣泛的應用。將教材中經典的“探照燈鏡面形狀問題”“降落傘下降問題”“人造衛星發射速度問題”[4]以及熱點的“傳染病傳播”“生態-流行病”“化學反應”“經濟”等問題作為案例，培養學生的數學建模思想。課后，讓學生建立相關常微分方程模型并利用數學軟件求解微分方程來解決實際問題，培養師范生的合作交流與實踐動手能力，培養師范生從數學的角度描述社會和自然現象能力，體會數學的奧秘。

3.3 思政元素融入專業教學課堂，培養師范生的教育情懷

《常微分方程》課程中蘊含大量思政元素，為培養師范生的教育情懷，建議教師深挖課程中的“思政元素”，將課程中豐富的思政元素與課程內容有機融合。例如，在緒論中講解微分方程的產生和發展史，教育學生要有科學探索，勇于鉆研的奮進。通過講解牛頓、萊布尼茲、伯努利、黎卡提等科學家的故事，培養學生的數學情感、端正學習態度和樹立正確的數學價值觀。在講緒論和第六章時，筆者引入新冠肺炎傳播的微分方程模型[5]。介紹該模型的動力學性質和在疫情防控方面的作用，讓學生領略微分方程建模在新冠肺炎疫情防控中的作用，激發學生的學習興趣。

3.4 以學生發展為中心，開展線上線下混合式教學

線上線下混合式教學模式是利用現代信息技術把傳統課堂教學的優勢和網絡在線教學的優勢結合起來的教學方法。為了從時間和空間上延展教學，發揮學生學習自主性，實現以學生發展為中心的目標，常微分方程課程構建了“兩角色（教師、學生）三階段（課前、課中、課后）”的線上線下混合式教學模式。

（1）課前準備階段。利用超星學習通平臺建設課程，為學生自主學習提供重要的途徑。開課前做好常微分方程課程整體設計，在學習通課程平臺上搭建課程整體框架。選用北京師范大學袁榮的《常微分方程》MOOC視頻或錄制的視頻作為線上資源。每次上課前，提前兩周將課件、課程視頻、電子教材、討論問題等上傳到平臺，將學習任務及討論的問題提前發給學生。學生帶著問題自主觀看學習視頻，并分組討論線上學習所產生的問題，培養自主學習能力。

（2）課堂教學階段。課堂教學采用線下授課，教師重點講解學生前期觀看課程視頻時遇到的問題及相應的知識點，采用隨機提問、分組討論、學生上臺講解等方式，實施“問題解決式”的翻轉教學模式，鍛煉學生課堂教學能力。

（3）課后提升階段。課堂教學結束后，教師在學習通發布作業，限定同學提交作業時間，并在同學提交后認真批改，通過批改作業，能掌握學生們對課堂知識的理解程度。在討論區發布優秀同學作業，方便同學參照修改。同時主題討論完區發布問題，同學們有問題也可以在問答區提問，教師進行在線答疑。

3.5 建立促進學生全面發展的學業評價體系，持續改進教學

積極探索課程考試方式改革，在考試內容和形式上努力做到與課程“高階性”“創新性”和“挑戰度”相匹配，強化“結果”+“過程”多元性評價與“個體”+“小組”過程性評價相結合，實施全過程學業評價考核（見圖1）。線上線下各類測試有區分度、難易適度，能科學考評學生自主學習與個性化學習效果，同時將學生的學習行為規范納入到平時考核中，引導學生誠實自主學習。

（1）“結果”+“過程”多元性評價。綜合評價由“結果性評價”和“過程性評價”組成。將個體、小組和教師融為一體，充分體現評價主體的多元化，提高學生學習積極性，具體組成如圖1所示。

圖1 《常微分方程》課程評價考核方式

（2）“個體”+“小組”過程性評價。過程性評價由“個體”+“小組”評價相結合。在觀看視頻、章節檢測、作業及作業互評等進行“個體”單獨評價。在主題討論、小組研課、數學建模、課堂互動進行“小組”整體評價，將小組成員融為一體，互助學習，提高學習積極性。

4 結束語

本文以數學與應用數學專業（師范類）的專業基礎課常微分方程為例，分析了《常微分方程》課程教學存在的問題，基于師范類專業認證，在常微分方程與初等數學的融合、案例分析融入課程教學、“課程思政”融入課堂、線上線下混合式教學、學生學習的評價方式等方面對《常微分方程》課程教學進行改革。希望通過教學改革增強學生的學習積極性，改善教學效果，提高師范生的綜合素質，達到培養“四有”好教師的目的。