軸-板耦合系統振動主動控制

彭 杉

（海軍駐704所軍事代表室，上海 200031）

對于船舶推進軸系，螺旋槳脈動力通過軸承傳遞至殼體，誘導其產生水下聲輻射，污染海洋環境和影響魚類生長，因此抑制推進軸系振動傳遞對降低船體輻射聲功率具有重要意義[1]。在機械結構中，振動傳遞實際為振動能量的傳播，而功率流可描述機械結構中振動能量傳播的過程[2]。

對于功率流分析方法，國內外已經有較多研究，其包括導納法、直接動剛度法和波傳播法等。史冬巖等[3]基于導納法分析雙層隔振系統傳遞的功率流，并研究隔振系統的傳遞效率。Langley[4]基于直接動剛度法分析了飛機面板結構中的功率流，并推導出結構軸向、扭轉和彎曲剛度以及功率流的表達式。Miller 等[5]基于波傳播法對由桿和梁組成的網絡結構中的構件和節點進行局部和全局功率流分析，提出了局部能量耗散機理。

由于機械結構的振動強度隨著外界注入功率增加而增大，因此減少功率流輸入對抑制振動具有重要意義。Miller 等[6]利用最優控制來減少由梁組成的網格結構中的結點功率流，改變結點處功率流的反射和傳輸特性，以使輸入功率能夠被最大限度吸收。Pan 等[7]提出采用前饋主動控制抑制有限寬度的半無限板振動功率流，數值結果表明，在沿寬度方向的某個位置，布置一排控制力能在較寬頻率范圍內顯著降低板內功率流傳輸。Tang等[8]利用波傳播方法建立大型索架結構的動力學模型，利用振動波隔離器和吸收器增加結構中功率流的損失，達到抑制振動的目的。

本文基于哈密頓原理建立軸-板耦合系統動力學模型，對該系統進行功率流分析，識別振動從軸傳遞至板的主要路徑。在路徑上布置主動作動器，研究該方案可行性，并通過自適應控制分析計算主動作動器對板振動抑制效果。

1 軸-板耦合系統動力學建模

軸-板耦合系統示意圖如圖1 所示，其中X、Y和Z分別表示縱向、垂直和水平方向。軸與圓盤（螺旋槳）和彈性聯軸器剛性連接。3個軸承均簡化為彈簧阻尼和集中質量。主動作動器簡化為彈簧質量系統，安裝在軸承集中質量處，產生主動控制力抑制振動從軸至板傳遞。在本文所建模型中，軸為圓形橫截面的鐵木辛柯梁，板的邊界條件為四邊簡支，并只考慮該系統的垂向振動傳遞。

圖1 軸-板耦合系統示意圖

1.1 軸的動力學建模

Timoshenko梁任意時刻的勢能Us和動能Ts可以表示為[9]：

其中：Ls和As表示軸長度和橫截面積，κs、ρ、E和G表示Timoshenko 梁形狀系數、材料密度、彈性和剪切模量，Is為截面慣性矩，w和θ為垂向位移和轉角。

令ws(x,t)=Ws(x)cosωt，θs(x,t)=Θs(x)cosωt，ω為圓頻率。根據Ritz 法，Ws(x)和Θs(x)可用帶輔助多項式的余弦傅里葉級數展開：

1.2 板的動力學建模

根據Kirchhoff板理論，板任意時刻的勢能Up和動能Tp可以表示為[9]：

其中：ap、bp和hp是板長度、寬度和厚度，wp是板中平面垂向位移，且wp(xp，zp，t)=Wp(xp，zp) cos(ωt)。對于簡支板，Wp(xp，zp)用傅里葉級數表示為：

1.3 系統動力學方程

整個系統最大動能可以表示為：

其中：mb為軸承質量，ma為主動作動器質量，Wb為軸承質量的位移，Wa為主動作動器質量的位移。

系統最大勢能為：

其中：ka為主動作動器彈簧剛度。

系統阻尼耗散的最大能量為：

外力做功為：

根據哈密頓原理：

可得系統的動力學方程為：

其中：K、M和C分別為系統的剛度、質量和阻尼矩陣，X=[qws，qθs，Wb1，Wb2，Wb3，Wa，qp]T是未知系數，Fd=Fd|Hq x=0，Fd和Fa分別表示干擾力和控制力，系統響應可以通過求解這些線性方程來獲得。

2 功率流分析與振動主動控制

2.1 功率流分析

基于建立的動力學模型，對軸-板耦合系統進行功率流分析，軸-板耦合系統參數見表1。

表1 軸-板耦合系統參數

在圓盤處垂直施加單位垂向干擾力，計算各支承輸入板的功率流，如圖2所示，實線代表功率流的絕對值，○表示負值，正值表示功率從軸承流向板，負值表示功率從板流向軸承。可以看出，在大多數頻率下，軸承1是振動功率從軸流向板的主要通道。因此，主動作動器應安裝在軸承1，以抑制振動從軸向板傳遞。

圖2 各支承向板輸入的功率流

2.2 振動主動控制可行性

將加速度傳感器放在軸承1 的集中質量處，測量誤差信號。對軸-板系統分別施加單位擾動力和單位控制力，誤差點的加速度響應與干擾力和控制力之間的頻率響應函數曲線如圖3所示。

圖3 控制通道和干擾通道頻率響應函數曲線

根據最優控制方法，控制力可以將誤差點加速度響應抑制為零，即HdFd+HaFa=0，其中Hd和Ha分別表示干擾和控制通道的頻響函數。控制前后3個軸承向板輸入的功率流之和如圖4 所示，板的加速度如圖5所示。由于振動傳遞主要通道被主動作動器阻斷，軸向板傳輸功率流受阻，流入板的總功率和板加速度在大多數頻率下均被抑制。

圖4 控制前后3個軸承向板輸入的功率流之和

圖5 控制前后板加速度

控制前后3 個軸承向板輸入的功率流如圖6 至圖8所示。

圖6 軸承1向板輸入的功率流

圖7 軸承2向板輸入的功率流

圖8 軸承3向板輸入的功率流

由于軸承1集中質量的加速度被抑制到0，功率流不能通過軸承1從軸傳遞至板，相反，功率流從板傳遞至軸承1，從而被軸承1中的阻尼耗散。控制后軸承2 向板傳遞的功率流均為正，與軸承1 和3 相比，軸承2成為振動從軸到板傳遞的主要通道。

2.3 多線譜自適應振動抑制

最優控制的性能僅在理論上代表可實現的最大振動衰減。本節通過自適應控制方法抑制螺旋槳干擾力引起的軸-板系統振動傳遞[10]。假設干擾力頻域中包含90 Hz、120 Hz、150 Hz 和180 Hz 等4 根線譜以及0～300 Hz 白噪聲，這些線譜頻率為任意選擇，并且位于靠近或遠離共振頻率的位置。

控制前后板各頻率對應的加速度幅值如圖9所示，板在這4個頻率處的加速度幅值均被抑制，與最優控制的結果一致。控制前后板0～300 Hz 內加速度均方根值如圖10和圖11所示。

圖9 控制前后板各頻率對應的加速度幅值（參考值10-6 m/s2）

圖10 控制前板加速度幅值（參考值10-6 m/s2）

圖11 控制后板加速度幅值（參考值10-6 m/s2）

可以看出，板的大部分區域加速度均下降，從而驗證了主動作動器抑制軸-板系統振動的有效性。

3 結語

基于哈密頓原理建立軸-板耦合系統的動力學模型，對該系統功率流進行分析，發現軸承1為振動傳遞主要路徑，并在軸承1 處安裝主動作動器抑制振動傳遞。通過最優控制驗證該控制方案的可行性，板的加速度在大部分頻率處降低，3個軸承向板流入的功率流之和減小，并且功率流在軸-板系統的流向改變。進一步采用自適應控制方法進行仿真，結果與最優控制一致，板加速度幅值在實施控制后降低，從而驗證了主動作動器抑制軸-板耦合系統振動傳遞的有效性。