數學課程與教學中的跨學科與綜合實踐活動

張維忠 趙千惠

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》首次提倡在綜合與實踐領域落實跨學科主題活動及項目學習的教與學新范式，呈現出“從無到有”“自泛化細”“由表及里”三個方面的主要變化。為了有效貫徹新課標理念，文章建議教師應均勻分配各年級課時，合理擴充跨學科主題范疇；深入理解內容板塊的價值內涵，以學習任務單的形式具體呈現；正確把握教師角色的變化，關注跨學科活動過程，聚焦不同的評價側重點。

【關鍵詞】跨學科；綜合與實踐；數學課程；數學教學；義務教育數學課程標準（2022年版）

一、問題提出

為了積極回應數學課程改革發展的迫切訴求，助推新時代全面育人教育理念的落地扎根，有效落實立德樹人的根本任務，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《義務課標2022年版》）［1］應運而生。“以核心素養為導向”是此次義務教育課程改革的主旋律，其既保留了《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《義務課標2011年版》）［2］的合理內核，又延續了《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》倡導的數學核心素養主張，實現了基礎教育階段核心素養的一致性和階段性表達［3］。更進一步來看，面對現有義務教育階段綜合與實踐領域教學整體偏離既定設置初衷的情形，在對四大領域的主題進行結構化調整的過程中，綜合與實踐領域注重加強學科實踐和跨學科主題活動或項目學習，運用跨學科的思維培育學生整體認知世界的能力，是本次數學課程標準修訂的重點。跨學科學習不僅是對分科課程的解蔽和補充，更是對未來社會所要實踐的創新活動的模擬預演與雛形實驗，彌補了傳統學科課程教學遠離真實社會生活的缺陷［4］。其學習過程和結果的不確定性恰到好處地對現實和未來的不確定性做出了回應，形成一種學生、學科和社會之間相互交融、相輔相成的和諧關系。

誠然，這種在承認并保障分科課程設計合理性的前提下，能夠在具體實施過程中釋放綜合化和實踐化價值的積極穩妥的課程設計，對一線數學教師而言是極具挑戰性的。教師究竟該如何真正理解并落實具有前瞻性的跨學科與綜合實踐活動領域的教學改革理念，這是一個值得關注、探討并亟待獲得解決思路的熱點話題。

二、《義務課標2022年版》中跨學科與綜合實踐活動的主要變化

（一）從無到有：豐富了課程內容、教學方式，明晰了知識范圍、學段要求

《義務課標2022年版》最為顯著的特征是在“課程內容”部分大幅度擴容，明確界定了綜合與實踐的內涵，首次加入“跨學科”這一概念并將其作為此領域的重要議題。自“綜合與實踐領域”被囊括至數學課程改革的范疇以來，其設置初衷大抵是在于如何為學生提供適宜研究與應用的課程內容，提高學生對數學的本質理解與實踐能力，發展學生應用與創新意識。但是，縱觀兩輪義務教育數學課程改革，《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《義務課標（實驗稿）》）和《義務課標2011年版》更多強調的是學科內部的知識綜合和知識實踐，并不是主動跨界以真正達到解決現實問題的目的。聚焦最新一輪的課程改革，“以培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力為目標”替換了《義務課標2011年版》中“學生將綜合運用‘數與代數‘圖形與幾何‘統計與概率等知識和方法解決問題”的表述。可見，新課程改革不僅局限于數學學科內部知識的有效綜合，還傳達了基于主體學科的跨界思維的重要性。跨學科主題學習的增加，豐富了綜合與實踐領域的課程內容，暢通了學科間的協同增效之路，彌補了分科課程所帶來的不足。

《義務課標2022年版》旨在以跨學科主題學習為主，推出了主題式學習和項目式學習，并根據學段目標的不同要求，建議前三個學段主要采用主題式學習，第四學段可采用項目式學習，充分考慮學生知識儲備的累積和能力發展的過程，任務難度由淺入深，循序漸進。此外，《義務教育課程方案（2022年版）》明確指出，各門課程用不少于10%的課時設計跨學科主題學習［5］，相對于《義務課標2011年版》中要求“綜合與實踐”教學活動應當保證每學期至少一次，新課程改革的要求更具靈活性，也使得在將“綜合與實踐”與“數與代數”等領域并稱為課程內容的一部分時顯得不突兀而被普遍接受。同時，尤其是在第一、第二學段，部分數學知識的學習被納入綜合與實踐中，譬如量、方向與位置等，這也從另一角度防止了綜合與實踐領域被邊緣化的情況。

（二）自泛化細：提供了精細化教學案例，凸顯了針對教學實踐過程的指導意義

《義務課標2011年版》在課程設計思路、課程內容等部分中均對綜合與實踐領域的設計與實施進行了闡述。從“了解要解決的問題和解決問題的辦法”到“經歷設計解決具體問題的方案，進一步獲得數學活動經驗”，雖然每個不同學段都在逐級強化對于學生的要求，但是細究來看，均歸屬于原則性說明。由于缺乏精細化的解構和引導，給人以較為抽象、難以具體操作之感。《義務課標2022年版》歷經十年積淀，結合一線教師在落實綜合與實踐領域的實際教學困境，廣泛吸納優秀經驗，凸顯了更為務實、更具有操作性的指導意義，即每個領域的課程內容按“內容要求”“學業要求”“教學提示”三個方面呈現，形成一個立體的動態化結構。其中，“內容要求”回答了“學什么”的問題，以防止知識內容被虛化，以及跨學科主題活動流于形式；“學業要求”即“學到什么水平”，體現了素養導向的整體質量觀；“教學提示”則強調“怎么學”，引導學生經歷基本的典型活動完整過程，從主題活動的設計、實施、評價及活動實施的設備、資源保障等進一步展開說明。

更細化來看，課程內容中的教學提示及附錄部分提及的、佐以開展教學的跨學科綜合與實踐案例也發生了較大幅度的革新。不僅有大量的新增案例（例61 體育中的數學、例62 營養午餐等），也包括對原有案例的調整，即部分案例保持原有主題不變，完成了修正和擴容［例58 制訂旅游計劃（原例43）、例60 校園平面圖（原例42）等］，也有部分案例經改編后被挪至前面三個領域中，更針對部分案例給出了詳細的課時安排建議（例15 曹沖稱象的故事、例48 歡樂購物街等）。精彩紛呈的跨學科主題活動及項目學習案例，賦予了綜合與實踐領域的活力，總體呈現出以下主要特征：強調中國元素和世界元素的平衡，除普世文化之外，還關注了中華民族傳統文化的渲染（例55 土圭之法的故事、例57 度量衡的故事等）；加強學段銜接，尤其是幼小銜接，注重活動化、游戲化、生活化的學習設計（例47 數學游戲分享等），還在小學和初中階段設置了同一主題但不同層級要求的案例，體現學習目標的進階性（例61 體育中的數學和例89 體育運動與心率）；提升問題情境的真實性，讓學生融入社會生活并觸及實際問題，牢固樹立社會責任意識。

（三）由表及里：揭示了核心素養導向的本質蘊含，強調了“教—學—評”一致化的愿景

《義務課標2011年版》將《義務課標（實驗稿）》中的“實踐與綜合應用”更名為“綜合與實踐”并沿用至今，名稱的順序調換表明了數學知識習得、內化與外顯過程中的層次感，即學生應在知識關聯、綜合化的基礎上再進行高要求的實踐和應用。辨析綜合與實踐在實體層面和意識層面的意義，不僅可廣泛地以課程內容的形態出現并承擔相應的具體化課程任務，亦可將其視為一種課程理念，以此指導數學教學高效地培育學生核心素養的發展。作為課程理念，綜合與實踐在課程性質、課程理念、課程目標等部分一以貫之，這與《義務課標2011年版》一脈相承。《義務課標2022年版》更加明確地指明了跨學科綜合與實踐領域以核心素養為目標導向的本質蘊含，涵蓋了數學眼光有高度、數學思維有深度與數學語言有力度三個方面。跨學科主題活動或項目學習具體的實施過程如下。首先，以現實的、跨學科的情境引入并引導學生通過小組合作或獨立思考，經歷發現問題和提出問題的過程，思考如何從數學的角度審視問題，即會用數學的眼光觀察現實世界；其次，發現問題的本質與規律，用數學的概念、定理或公式予以表達，建立適切的數學模型，即會用數學的思維思考現實世界；最后，視模型結論的合理程度發起調整，以是否有悖于現實生活為準則進行考量，用簡潔與精確的表達解釋數學結論的現實意義，即會用數學的語言表達現實世界。可見，跨學科與綜合實踐活動的全過程與“三會”一一呼應，有力印證了“素養本位”的教育觀念。

此外，《義務課標2022年版》觀點鮮明地表達了“教—學—評”一致化的愿景，尤其加強了對評價的重視。在“課程實施”章節的“教學建議”部分，把《義務課標2011年版》中對“合理把握‘綜合與實踐的實施”的表述調整為“進一步加強綜合與實踐”，并根據明確教學目標、設計教學活動、關注教學評價的主線展開，更具邏輯性，裨補了前者缺乏對評價部分建議的闕漏。一直以來，綜合與實踐領域的教學沒有受到重視。細究來看，主要原因之一就是中考不考，沒有紙筆考試的評價壓力。教育部辦公廳頒布的《關于做好2022年中考命題工作的通知》指出：2022年將迎來“雙減”政策實施后第一次中考，做好2022年中考命題工作，對于引導深化義務教育教學改革、促進減負提質、鞏固“雙減”成果具有重要意義，要根據不同學科特點，合理設置試卷試題結構，減少記憶性試題，增加探究性、開放性、綜合性試題，堅決防止偏題怪題，促進有效考查學生綜合素質［6］。其后，《義務課標2022年版》在學業水平考試的命題規劃中又提出：主觀題要探索命制問題解決及多學科融合類試題（例93 樣題：公司招聘職員），試卷呈現避免套路化。政策文件對于學業水平考試的推動，必將使以核心素養為導向的綜合性活動得到足夠重視。如此趨勢其實也已在近年來的中考試題中得以顯現，透露了未來基礎教育階段數學紙筆評價的命題走向［7］。

三、教學建議

（一）均勻分配各年級課時，合理擴充跨學科主題范疇

首先，需要澄清的是，由于主題活動或項目學習和現實生活情境高度關聯，迫使一些教師形成一種“年級越高，學生積累的學習和生活經驗越豐富，活動案例越易設計，情境越加逼真，問題越能被學生理解并解決”的刻板印象。事實上，依據《義務課標2022年版》的課時要求，“跨學科主題學習不少于總課時的10%”，這并不意味著此類教學活動應集中在高年段，而應保證以“每個學期至少6～7個課時，即呈現2個跨學科主題學習案例”的比重被均勻分配到不同年級。七年級的學生相較于九年級的學生而言，同樣也會面對一些復雜的、綜合的現實問題，譬如，如何設計班級閱讀角等在校園中遇到的問題。而關鍵就在于該如何基于七年級所學的知識和思想方法使問題得以解決。可想而知，不同年級、不同階段的跨學科主題學習的要求是不同的，總體呈階段性、層次性螺旋上升的趨勢，教師需要對此提供學習方式上的保障。

其次，在案例的跨學科主題選取方面，既要做到符合課程總體目標及內容要求，呼應函數、幾何、統計等領域內容的特殊功能與目標定位，又不能毫無止境地超出學生最近發展區的范圍，增加學生學業負擔。總體而言，需滿足以下主要性質：真實性（與學生的現實生活密切相關）、綜合性（需融合多門學科知識以解決問題，綜合考量技能、情感、能力等多方面指標）、包容性（適宜不同學生參與，展示不同思維水平）、多維性（存在且適宜用多種不同方法及途徑解決問題）和實踐性（強調動手實操、團隊分工協作的能力）。

秉持上述設計原則，教師在教學中除了可以靈活借鑒《義務課標2022年版》提供的現成案例，還應合理擴充跨學科主題范疇，嘗試編創案例，進一步拓寬學生的視野，具體如下。第一，重視中華優秀傳統文化的教育，譬如，日晷中的數學、奇妙的七巧板、探索勾股數的生成公式［8］等。第二，關注人文因素長期在數學學科中的匱乏，嘗試以音樂、藝術等學科為切入口設計案例。譬如，借助音符時值、光學藝術達成小學階段的分數教學［9］；利用“曲線縫合”藝術，實現以“直”造“曲”，大膽探索拋物線和直線這兩種平面圖形之間“不可思議”的關系，并用紙筆、GGB軟件、織物或電腦編程等方式實操創造曲線［10］。第三，從家庭生活或校園生活中挖掘素材。譬如，校園勞動教育中所涉及的數學問題，學校稼園的整體設計、果蔬收成效益及高效分裝問題等；選擇最優零用錢協定方案，即利用技術軟件的公式計算指令分析不同方案的利弊并預見更長遠的規劃；等等。第四，緊跟當前社會發生的時事熱點，增強社會責任意識。譬如，結合政府部門出臺的階梯水價制度或節電計劃，收集、統計居民用水量數據或探究家用電器在使用及待機狀況下的耗電量，制訂多樣化節約水電的方案以緩解現存問題［11］；穿插空間科學的背景，設置如何用數學來發現宇宙中其他智慧生命的存在并與之交流的問題，從而使學生明白理解數字之間的關系及本質特征（質數、因數、倍數等），有助于人類實現這一愿望等［12］。

（二）深入理解內容板塊的價值內涵，以學習任務單的形式具體呈現

目前，有關數學學習活動的類別名目繁多，譬如，主題式學習、項目學習、研究性學習、探究學習等。從設計宗旨、基本流程等方面來看，這些概念是極其相似的，但又存在差別。以主題式學習和項目式學習的比較為例，前者以內容為導向，屬于跨學科背景下的數學內容學習，而后者則是以問題為導向，用數學方法解決現實問題為主，注重問題的主動提出與對應解決方案、策略的規劃建構，涉及的學科知識更為寬泛，學習方式和路徑更為多元。那么，究竟該如何擇定學習活動的類別呢？其實，教師無須去刻意迎合活動類別的名稱，雖然教學實施因活動任務的復雜程度而有所不同，但其活動流程是具有高度一致性的。基本包括創設問題情境、發現問題、提出問題、制訂計劃、方法指導、活動實施（查找資料、組建小組、中期交流、撰寫報告等）、解決問題、展示交流、評價反思。這些環節不是機械的，可靈活調整步驟次序，在堅守學科立場的同時又要做到不過分執著于活動形式。

因此，教師可選擇沿襲并適當改編人教版高中數學新教材的做法，在教學過程中以學習任務單的形式給出關鍵性文本提示，提供詳細的學法指導，如“數學建模的一個實例、選題、要求、研究報告參考形式；數學探究的內容、要求、研究報告參考形式”等［13］。跨學科綜合與實踐活動的學習任務單主要可由活動情境介紹、主干問題、活動要求、方法或延拓知識提示、研究報告參考形式五大部分構成。其中，“活動情境介紹”遵循問題導向的原則，旨在引出項目主題，明確需要解決的驅動性問題；“主干問題”要立足于學生視角，由已有信息，預設學生能夠主動提出什么問題，并給出相應的師生活動指引，同時又留有一定空白，保證發現問題、提出問題環節的完整性；“活動要求”的提出是為了規范各小組的基本研究路徑（組建合作團隊—明確問題—開展研究活動—撰寫研究報告—交流展示），統一最終研究成果的基本形式；“方法或延拓知識提示”是針對研究過程中的難點和關鍵點進行必要的表述，為學生提供適當的幫助；“研究報告參考形式”包括研究計劃、研究過程、研究結果、收獲與體會、評價等部分，主要是為了讓學生學會總結反思整個研究過程，除可視化的實體成果之外，研究報告中還需要撰寫在數學思想方法、解決同類拓展問題的思路等方面的收獲。

（三）正確把握教師角色，關注跨學科活動過程，聚焦不同的評價側重點

在跨學科活動實施階段，教師身兼多重身份，所承擔的任務、所扮演的角色是極為重要的。教師既可以是活動的指導者、協助者、評價者，也可以是活動的協調者、參與者和示范者，但唯獨不是控制者。教師不能投入過多的干預，而應鼓勵并支持活動中產生的每一個鮮活問題和解決方案，為學生搭建釋放思維的舞臺。但是，這也可能會引發一系列理想教學與實際教學相互矛盾的問題：跨學科綜合與實踐活動，尤其是針對其中的項目學習而言，享有高強度的自主探究性，導致無法全面預判學生所有的想法，這也就對教師提出了更高的要求。為了能同時保證教學效率和效果，面對學生提出的、偏離既定預設的、思路迥異且具有一定挑戰性的研究問題，教師該如何從容應對？其實，于內容層面而言，學習內容不再只是外在于學習主體的客觀實在，也有學生在活動過程中生發出來的新內容；于過程層面而言，學習過程不全是由教師事先設計的預想流程，而是學生在完成任務過程中生成的現實過程，雖然終究只能經歷某一過程，但學生知道有無限可能的路徑和過程，體會到選擇、決策的重要性，意識到需要承受選擇的后果；于體驗層面而言，學習體驗不再是被框定的教學目標，而是隨機的、豐富的、復雜的［14］。可見，正是出于跨學科活動過程的不確定性，為數學教學追求確定性元素帶來了更多的可能。因此，上述問題必然是有解的。教師應持有一種積極的眼光，將隨處可見的不確定性視為一種教學資源，可以以參與者的身份入駐到一個或幾個研究問題頗具挑戰性的小組，協助其在課內、課外均能順利完成任務。這樣不僅化解了效率和質量之間的沖突，又充分肯定了學生思考的積極性，添置了一個解構現實問題的維度，充實了教學研究成果。當然，除了需關注執行方案、數學模型、分析報告、展示成果等外顯元素，還應遵照過程性評價的指引，觀察學生在活動實施過程中的行為、情緒情感、參與程度、努力程度，關注認識和體驗變化等內隱要素，這也是核心素養的有機組成部分。

在評價階段，跨學科綜合與實踐活動的教學評價維度是多重的，但這并不意味著這些詳細的評價指標必須要在同一個活動中都被納入評價范圍中。教師可根據開展數學綜合與實踐主題活動的整體設計安排，在不同層級但歸屬同一基本主題的跨學科活動中，聚焦不同的評價側重點。譬如，第三學段的“例60 校園平面圖”旨在通過實地測量，引導學生經歷相對復雜的測量過程，知道事先規劃、分步實施的重要性，體會測量誤差的取舍及其現實意義，側重于積累數學實踐活動經驗，發展量感。因此，在教學評價中，教師應著重關注學生是否積極參與了完整的活動過程及其在各個步驟中的實際表現。而第四學段的“例90 繪制公園平面地圖”與前者共享相同的主題，密切結合圖形的變化、圖形與坐標等主題，利用數學、地理、美術等融合知識，將空間中的景物關系抽象為平面圖形及其位置關系，聚焦創造性、開放性行為的發生。在評價過程中，教師應著重關注學生提出的問題、解決方案及最終輸出作品的新穎程度。因此，根據不同活動的主題、目標及內容的特征，均衡評價指標，界定不同活動的評價側重點，方能保證跨學科綜合與實踐活動評價的可行性與有效性。

參考文獻：

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［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

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［6］教育部辦公廳.關于做好2022年中考命題工作的通知［EB/OL］（2022-03-25）［2022-07-20］.http：//www.gov.cn/zhengce/zhengceku/2022-04/06/content_5683705.htm.

［7］黃凱，張維忠.中考數學試題中的跨學科內容分析：以2017年—2021年浙江省中考試題為例［J］.中學數學教學參考，2022（17）：53-55.

［8］趙千惠，張維忠.一節體現數學聯系與歷史的教學課例：勾股數的生成公式［J］.中學數學雜志，2021（10）：35-38.

［9］趙千惠，張維忠.數學與音樂藝術的完美嫁接：小學分數教學的反思與重構［J］.教學月刊小學版（數學），2021（7/8）：82-85.

［10］趙千惠，張維忠. STEAM理念下的數學拓展課教學研究：以“曲線縫合：以‘直造‘曲”為例［J］.中小學課堂教學研究，2022（6）：18-24.

［11］趙千惠，張維忠.真實生活情境視角下的統計教學課例探究：以“總體百分位數的估計”為例［J］.中學數學教學參考，2022（16）：27-30，34.

［12］張維忠，趙千惠.澳大利亞初中數學教科書中的跨學科內容［J］.浙江師范大學學報（自然科學版），2022（2）：233-240.

［13］張維忠，徐佩雯.高中數學新教材中的數學建模［J］.浙江師范大學學報（自然科學版），2020（3）：349-354.

［14］郭華.項目學習的教育學意義［J］.教育科學研究，2018（1）：25-31.

（責任編輯：陸順演）