脈搏波本構關系實驗研究的探索*

王禮立，王 暉，丁圓圓，陳霞波，楊黎明，龔文波，浣 石，繆馥星

（1. 寧波大學沖擊與安全工程教育部/浙江省重點實驗室，浙江寧波 315211；2. 寧波市中醫院王暉工作室，浙江寧波 315000；3. 季華實驗室，廣東 佛山 528200）

由連續介質力學波動理論[1]，按中醫整體觀思路，我們為脈搏波系統建立了一個等價的一維波力學模型[2-3]。問題的控制方程組由如下3 個守恒方程（動量守恒、質量守恒和能量守恒）加上系統本構方程（廣義的狀態方程）組成。

動量守恒方程為：

式(1)～(4)中：X為物質坐標，t為時間；p為壓力，V為比容（與密度互為倒數），v為質點速度，e為比內能，均為(X，t)函數。本構方程p=p(V) 一般為非線性函數。

對上述脈搏波系統的控制方程組（式(1)～(4)）進行分析，并展開進一步研究[2-6]后，可知：

(1)脈搏現象包含著血液的流動和在血液中傳播的攜帶能量（內能e+動能）及整體信息的脈搏波。前者是人眼易見的實體血液本身的物質流；后者是人眼不易見、以波形式傳播的能量信息流，可以分別理解為中醫的“血”和“氣”。中醫的“氣”是什么？目前并無共識。按上述分析并聯系中醫氣血觀可知：血是氣傳播的物質載體（媒介），氣是以波形式傳播、攜帶能量和生命體整體信息、推動血運行的波；即脈搏波不只是反映心臟、血液和血管等循環系統本身局部實體器官的信息。血液物質流與脈搏波能量信息流兩者既互有區別，又密切相關耦合。這與中醫“氣為血之帥，血為氣之母”的觀點一致。

(2)脈搏波所包含的壓力波p(X,t)、質點速度波v(X,t)、比容波V(X,t)和內能波e(X,t)等不同形式的擾動，以波速C傳播：

式中：K(p)= - dp/(dV/V0) 為非線性體積壓縮模量。可見，波速C由非線性本構方程p=p(V) 的局部斜率（dp/dV）決定（見圖1），隨p而變，不是恒值。要注意區分脈搏波傳播速度C和血液質點的流動速度v，前者（100～101m/s 量級）以比后者（10-1m/s 量級）快得多的速度，把心臟施加給循環血液的擾動（脈動載荷），攜帶著能量和信息，由近及遠地傳遞到生命體的各部分，不到1 s 即已傳遍全身。因此，心臟實際上并非像目前教科書所述那樣，簡單地理解成把血液以流速v泵向全身的泵，而是脈搏波發生器[6]。

圖1 波速C 取決于本構方程p-V 曲線的局部斜率（dp/dV）Fig. 1 The wave velocity C depends on the local slope(dp/dV) of the p-V curve

(3)式(1)～(4)共同組成脈搏波系統的控制方程組，其中的3 個守恒方程是普適的，反映了各種脈搏波的共性方面；而非普適的系統本構方程則反映了不同脈搏波的不同特性。可見，不同脈搏波系統的傳播特性主要由脈搏波系統的本構關系決定，而各種病態可以看作偏離常態本構關系的不同反映。聯想到近年來引人注目的中醫體質學[7-8]，就體質的重要性和地位而言，相當于前述量化的脈搏波系統中的本構關系。

需要強調，脈搏波本構關系的研究涉及對脈搏波性質的理解。目前很多研究者（例如費兆馥[9]、Luo 等[10]）把脈搏波理解為脈搏壓力波（縱波），也有研究者（例如Xue 等[11]）把脈搏波理解為沿固體血管傳播的徑向位移波（橫波），而實際上脈搏波是流-固耦合和縱波-橫波耦合的復雜波[5]，其波速依賴于2 個無量綱參數：血液-血管模量比Kb(p)/Ev(p)和血管徑厚比D(p)/h0，前者是本構關系的反映。對于這樣的脈搏波系統的本構關系，迄今未見有關研究報導。

既然脈搏波的傳播特性取決于本構關系，問題的研究核心之一就在于如何通過實驗研究來確定脈搏波本構關系，以及如何采用這些方法從現有文獻數據來獲得脈搏波本構關系，這正是本文中研究的目的。

怎么來確定脈搏波系統本構方程呢？目前可從以下3 個途徑來進行探索：(1)由實測脈搏波波速對壓力的關系C(p)進行反分析；(2)對脈搏波p-V本構關系進行實測；(3)由一系列實測脈搏波波形進行Lagrange 反分析。下面分別加以探討。

1 由實測脈搏波波速與脈壓的關系 C (p) 進行反分析

近年來，有關脈搏波傳播速度C與血壓p的關聯性C(p)之研究，在西醫界倍受重視。

西醫界把脈搏波波速PWV（pulse wave velocity，即本文式(5)所示的C）看作反映動脈彈性和硬化程度的指標。2007 年歐洲高血壓指南將主動脈PWV 高于12 m/s 列為高血壓的危險因素之一[12]。《中國高血壓防治指南（2018 年修訂版）》也將PWV 列為評估高血壓患者心血管風險的重要指標[13]。進一步，人們把實測的C(p)作為無創傷、無袖帶、連續監測血壓的重要途徑之一，加以更廣泛研究。通常從Moens-Korteweg (MK)公式[14-15]和 Hughes 公式[16-17]出發，建立脈搏波波速C與血壓p的關系。

MK 公式[14-15]為：

式中：E、h0和D0(=2R0)分別為血管彈性模量、初始壁厚和直徑，ρb為血液密度，E0為血壓為零時的血管彈性模量，ζ 為血管的材料系數。

Ma 等[18]指出，MK 公式[14-15]包含2 個基本假設：(1)血管是彈性薄壁管（h0/D0＜10）；(2)隨血壓的變化，動脈的厚度和半徑保持不變。然而，對于人類動脈，這2 個假設并不成立；而Hughes 公式[16-17]則完全是經驗的，缺乏任何理論基礎。Ma 等[18]基于Fung 的超彈性模型[19]，建立了一個由以下無量綱公式表征的、無需上述假設和經驗表達式的分析模型（以下簡稱RH 模型）：式中：α 和β 為依賴于材料和血管幾何參數的常數。

其實，按照我們的整體觀脈搏波模型給出的波速C表達式（式(5))，可以直接由C(p)反演系統本構關系。事實上，式(5)可改寫為：

可見，RH 簡化式實際上對應于指數形式的p(V)關系或對數形式的V(p)關系。具體的p-V曲線特性取決于本構參數α 和β。能不能利用文獻數據獲得具體的脈搏波本構關系？下面討論2 個實例。

(1)實例1

Ma 等[18]指出，在人類血壓范圍（5～20 kPa）內，若取：

RH 簡化式（式(7b)）能與RH 模型（式(7a)）高度一致，如圖2(a)所示。

圖2 RH 簡化式（式(7b)）與RH 模型（式(7a)）和文獻實測舒張壓數據的比較Fig. 2 Comparison of the RH simplified formula (Eq.(7b)) with the RH model (Eq. (7a))and the measured diastolic blood pressure (DBP) literature data

把式(10a)代入式(9a)，取p0=5 kPa，V0=0.995×10-3m3/kg，或即ρ0=1.005×103kg/m3，可以得出對應的p-V關系式為：

式中：p的單位為kPa，V的單位為10-3m3/kg。相應的曲線如圖3(a)所示。

(2)實例2

Ma 等[18]還指出，若取：

RH 簡化式(7b)能與文獻報道的人體舒張壓實測數據較好吻合，如圖2(b)所示。

把式(11a)代入式(9a)，取p0=6 kPa，V0=0.995×10-3m3/kg (ρ0=1.005×103kg/m3)，可以得出對應的p-V關系式為：

式中：p的單位為kPa，V的單位為10-3m3/kg。相應的曲線如圖3(b)所示。

圖3 不同情況下RH 簡化式（式(7b)對應的p-V 曲線Fig. 3 p-V curves for the RH simplified formula (Eq. (7b)) under different conditions

對比圖3 中兩曲線后可見，圖3(b)曲線陡峭得多，意味著波速C隨脈壓p升高而迅速增大。由此可見，不同的本構參數α 和β 對于本構關系p-V曲線有明顯影響，必然會影響脈搏波波速C以及不同形式脈搏波的波形傳播特征，從而影響脈搏波能量和信息的傳遞。這為我們下一步定量化研究中醫脈診的脈象特征與系統本構關系p-V曲線特征之間的聯系，包括研究常態及病態脈象與系統本構關系p-V曲線之間的定量聯系等等，提供了一個良好開端和基礎。

2 對脈搏波 p-V 關系進行實測

對脈搏波p-V本構關系最直接的實驗研究方法無疑是對其進行實測。為說明這一點，先回顧一下式(6)所示的MK 公式和Hughes 公式。這一在西醫界獲得廣泛認可和采用的公式，從我們的整體觀脈搏波模型的觀點來重新審視的話，MK 公式只是本模型的式(5)在“血管為彈性薄壁管”特定假設下的簡化特例，而Hughes 公式實質是對狗進行體內（in vivo）+體外（in vitro）的脈搏p-V關系實測后所得出的。

事實上，由彈性力學[20]知內壓p下薄壁圓管的環應力σθ和環應變εθ分別為：

至于Hughes 公式，回顧其原文[16-17]可知，Hughes 等在狗的活體體內實驗中，用三軸超聲導管測量了主動脈內外徑隨血壓的變化，如圖4(a)所示。由式(12)的分析可知，由此實際上已得出比容隨壓力的變化V(p)，即相應的活體p-V本構關系。而Hughes 等在死狗體外實驗中，則直接對p-V本構曲線進行了測量，如圖4(b)所示。

圖4(b) Hughes 等[16-17]在死狗體外直接測得的p-V 曲線Fig. 4(b) The p-V curve directly measured in the in-vitro measurements for dogs by Hughes et al[16-17]

圖4(a) Hughes 等[16-17]在狗的活體體內實驗中，用三軸超聲導管測得的主動脈內外徑隨血壓的變化Fig. 4(a) Aortic inner and outer diameters along with aortic pressure recorded simultaneously and continuously with a triaxial ultrasonic catheter in the in-vivo measurements for dogs by Hughes et al[16-17]

Hughes 等[16-17]的實驗研究結果當時以E(p)的形式（式6(b)）表述，而沒有以更具實質意義的p-V本構關系的形式表述，顯然是受到當時已被廣泛認可的MK 公式的影響。其實，由Hughes公式（式(6b)）和式(12c)可導出：

由此可見，MK-Hughes 公式（式(6)）實際上對應于式(14)所示的指數函數形式的V(p)，或對數函數形式的p(V)本構關系，式中的η0和η1依賴于p0、V0、D0/h0、E0和本構參數ζ。

Hughes 等的貢獻常常被歸結于提出了Hughes 公式（式(6b)）。其實，更有價值的貢獻在于對脈搏波p-V本構關系進行體內+體外的直接實測。Hughes 等是開創這方面研究的先驅，雖然尚限于狗的實驗。

把上述脈搏波p-V關系實測法與C(p)關系反分析法兩者相比較，前者屬于直接實測法，其誤差一般可小于后者的間接反演法；但前者屬于有創法，而后者屬于無創法，因而更便于推廣應用。不過，不論是基于RH 簡化式反演的p-V本構關系（式(9)和圖3），還是基于Hughes 等實測結果建立的p-V本構關系（式(14)），都只是提供了一個基于大量實測數據的統計平均結果。從中醫脈診學的觀點來看，脈象因人、因時、因地而異，換句話說，脈搏波的本構關系必定因人、因時、因地而異；甚至于同一個人因測量部位、測量時辰、病況變化而異。原則上，如同中醫體質分類那樣，本構關系也有不同類型，需要因人而定。

如何能夠針對個人、無創地由實測數據來確定其脈搏波p-V關系？本文中建議采用脈搏波反分析法，即通過實測一系列波形進行Lagrange 反分析[2-3,21]，下面作進一步具體討論。

3 由系列實測波形進行Lagrange 反分析

由連續介質力學波動理論[1-3]，Lagrange 反分析基于動量守恒方程（式(1)）和質量守恒方程（式(2)）。前者建立了壓力p(X,t)的偏導數和質點速度v(X,t)的偏導數之間的關系，而后者建立了比容V(X,t)的偏導數和質點速度v(X,t)的偏導數之間的關系。通過求解v(X,t)作為過渡，可以求取脈搏波的p-V本構方程（式(4)）。具體步驟如下：

(1)在設定的測點設置由n(n≥3)個相鄰的測壓元件組成的陣列式壓力傳感器。一旦實測得到p(Xi,t)，i=1, 2 , ··· ,n，就可由式(1)求得 ?v/?t；應用初始條件v|t=0=v0，即可積分求得v(X,t)。

(2)求得v(X,t)后，就可由式(2)求得 ?V/?t；應用初始條件V|t=0=V0，即可積分求得V(X,t) 。

(3)由p(X,t)和V(X,t)消去t，即得p-V本構方程。

根據實測的一系列脈搏波信息去反求系統本構方程，力學上稱為解“反問題”（反演）。其實，中醫的切脈相當于根據脈診信息對病況做出診斷，以便對癥下藥，予以診治，以數理語言來表述，同樣是在解“反問題”。兩者在思維方式上是相通的。

為正確而成功地施行脈搏波的反分析，有必要強調以下2 點：(1)正確選取測點；(2)滿足必需的測量分辨率和精度。

首先，測點取何處？原則上凡能測量到脈搏波的地方都可以，當然以脈搏波信號越強越好。聯系到至今仍指導著中醫臨床實踐的“寸口三部九候診法”， 研究者們顯然會更多關注橈動脈切脈部位“寸、關、尺”3 處。初步容易設想，能不能直接對寸、關、尺3 部的脈搏波進行Lagrange 反分析[2-3]。但實踐發現并不可行，這一方面由于寸、關、尺3 部的間距約為10 mm，達不到反分析差分數值分析的精度要求；另一方面，也是更重要的，由于按照中醫寸口脈分候臟腑學說，左手寸、關、尺分候心、肝、腎，右手寸、關、尺分候肺、脾、命門（右腎），則顯然在寸、關、尺3 處分別確定的本構關系既有基本共性，又分別包含不同的分候特性，不能等同視之。事實上，脈診實踐中常常出現關部脈搏波最強，寸部次之，尺部最弱的情況。由于Lagrange 反分析適用于波強單調變化的簡單波，這樣的強弱起伏的脈搏波分布顯然不符合這一要求。所以就寸口脈而言，應該對寸、關、尺分別測量，在每個測點采用陣列式傳感器測取系列波形后進行反分析。這樣才能更好結合中醫脈診特點，以促進傳統中醫脈診的定量化發展。

其次，在進行Lagrange 反分析時都要經歷數值微分和數值積分運算，從而存在一個如何滿足對于測量分辨率和計算精度等要求的問題。下面通過一個實例來加以討論。

Hu 等[22]采用圖5(a) 所示的電容型陣列傳感器測量了脈搏壓力波的時空分布。陣列傳感器長10 mm，寬7.5 mm，含4 個長度方向和3 個寬度方向共12 個微傳感器。典型的“關”部的測量結果如圖5(b)所示，圖中縱坐標是無量綱壓力波幅值，橫坐標是采樣數。把圖5(b)的中間一列前3 行（即圖中Ch2、Ch5、Ch8）的實測無量綱壓力波形換算為p-t圖，則如圖5(c)所示。圖中波形沿脈搏波傳播方向依次遞減，可滿足Lagrange 反分析的要求。然而，實驗中采用的掃描速率為100 Hz，相當于采樣時間即時間分辨率為10 ms，其精度對于Lagrange 反分析是遠遠不夠的。由于微傳感器中心間距為2.5 mm（參看圖5(a)），如果波速按照10 m/s 計，對應的時間差為0.25 ms。因此，傳感器的時間測量精度至少應該是25 μs，才能保證兩位有效數的測量精度。

圖5(a) Hu 等[22]的實驗中采用的電容型陣列傳感器Fig. 5(a) The capacitor array sensor used in the experiment by Hu et al[22]

圖5(b) Hu 等[22]的實驗中“關”部各通道的實測波形Fig. 5(b) The waveform of each channel at Guan pulse taking position in the experiment by Hu et al[22]

圖5(c) 對應于Hu 等[22]的實驗中電容型陣列傳感器通道2、5、8 的p-t 圖的電信號Fig. 5(c) Electrical signals corresponding to the p-t waveforms measured at Ch2, Ch5 and Ch8 of the capacitor array sensor in the experiment by Hu et al[22]

Hu 等[22]的實驗雖然提供了有益的信息，但因其掃描速率不夠高，尚難以據此進行Lagrange 反分析，由此足以說明測量精度的重要性。今后需要研制具有微秒級別時間分辨率的毫米級陣列傳感器，以推動Lagrange 反分析法在脈搏波本構關系研究中的應用。

這是目前尚無由脈搏波Lagrange 反分析來確定本構關系之實例的主要原因，也是我們正在進行中的研究工作，將另文討論。

4 結 論

脈搏波控制方程組的本構關系決定著脈搏波的傳播特征，但迄今缺乏這方面的有關研究報導。如何通過實驗研究來確定脈搏波本構關系，以及如何通過這些方法從現有文獻數據來獲得脈搏波本構關系，是當前研究的核心之一。

本文中探索了3 個可行途徑：(1)由實測脈搏波波速C對壓力p的關系C(p)進行反分析（無創法)；(2)直接對脈搏波p-V關系進行實測（有創法）；(3)由一系列實測脈搏波波形進行Lagrange 反分析（無創法）。

采用上述方法，根據現有文獻數據，成功地獲得了不同類型的脈搏波本構關系。由C(p) 關系的RH 簡化式實際上可推得指數型p(V)本構關系。由MK-Hughes 式實際上可推得對數型p(V)本構關系。脈搏波傳播特性隨非線性本構參數發生顯著變化。這一研究還為今后從大量已有文獻數據探索其背后更具實質意義的本構關系提供了一個新思路、新途徑。

按照中醫體質分類觀點，脈搏波本構關系必定也有不同類型，具體因人、因時、因地而異；并且對個人還因測量部位、測量時辰、病況變化而異，原則上不存在單一普適的關系。在這個意義上，脈搏波的Lagrange 反分析具有廣闊發展前景，但它對正確選擇測點和提高測量敏感度和精度等方面提出了更高要求。