2016年中科大自主招生不等式試題的證明、變式及推廣

劉遠桃 陳明萬 唐明坤

(貴州師范大學數學科學學院 550025)

1 試題呈現

分析 此題是一道分式不等式證明題，每個分式項的分子都是一個二次單項式，分母都是二項式，由整式和根式組成，各分式項結構對稱.由此入手，想到將根式化為整式，再利用基本不等式、權方和不等式等進行證明．

2 試題證明

證法1由基本不等式和權方和不等式得

評注此證法利用基本不等式將式子中各項的分母代數式有理化，再利用權方和不等式進行放縮，湊出(a+b+c)項，將條件式a+b+c=3代入得到證明．

證法2由柯西不等式得

評注此證法利用柯西不等式將原不等式進行轉化，得到一個新的放縮不等式，再利用三元基本不等式求出放縮值的最小值，從而得到證明．

評注此證法利用基本不等式將式子中各項的分母代數式有理化，結合條件式a+b+c=3將原不等式進行放縮，再利用函數凹凸性和琴生不等式求出放縮后的最小值，從而得到證明．

評注此證法利用基本不等式將式子中各項的分母代數式有理化，結合條件式a+b+c=3將原不等式進行放縮，再利用切線不等式求出放縮后的最小值，從而得到證明．

3 試題變式

分析變式1與變式2是將試題中不等式的分母代數式進行整體輪換得到的，其證明方法與試題的證明完全一致．此外，還可以對試題中不等式的分母代數式進行部分輪換，得到其他的輪換不等式．

4 試題改編

評注此證法利用基本不等式的推廣，結合條件式(a+b)(b+c)(c+a)=1，求出a+b+c的最小值，再利用基本不等式和權方和不等式將原不等式放縮，湊出(a+b+c)項，從而得到證明．

5 試題推廣

推廣1 已知a,b,c,d>0，滿足a+b+c+d=3，求證：

分析將試題中的三元推廣到四元，推廣形式不變．

推廣2 已知a,b,c,d>0，滿足a+b+c+d=3，求證：

分析將試題中的三元推廣到四元，同時將分母代數式變成二元形式得到．注意，后面的推廣仍然可以將分母代數式保持在二元形式，下面不再贅述．

分析將試題中的三元推廣到n元，推廣形式不變．

分析將試題中的三元推廣到n元，條件式的結果從3推廣到t，推廣形式不變．

分析將試題中的三元推廣到n元，各項式子中分子的指數從2推廣到m，條件式的結果從3推廣到t．

推廣1～推廣5的證明方法是一樣的，下面給出推廣5的證明，推廣1～推廣4的證明過程不再贅述．

由n元基本不等式和權方和不等式，待證不等式左邊

推廣是數學學習、數學研究和數學發展的重要手段和途徑．在數學學習中，推廣可以加強對觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發現能力以及創新意識等的培養；在數學研究中，推廣可以加深對問題本身的認識和理解，可以產生新問題和新方法；在數學發展中，推廣可以引導數學發現，可以產生新定理和新理論[1]．