耦合諧振電路系統(tǒng)中的Fano共振現(xiàn)象

廖慧敏，田 廣，李 智

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)

共振是自然界普遍存在的基本現(xiàn)象之一，例如，力學(xué)系統(tǒng)中彈簧振子的共振、弦的共振，電磁學(xué)系統(tǒng)中RLC電路的諧振[1]，光學(xué)系統(tǒng)中各種不同類型的光學(xué)諧振腔，量子系統(tǒng)中的原子能級(jí)躍遷，等等，都是典型的共振現(xiàn)象. 通常最簡(jiǎn)單、最常見(jiàn)的共振是單共振現(xiàn)象，孤立的具有單一共振頻率的阻尼振蕩系統(tǒng)在不同頻率的外界驅(qū)動(dòng)下，表現(xiàn)為典型的單共振現(xiàn)象，其振幅隨外界驅(qū)動(dòng)頻率變化表現(xiàn)為洛倫茲線型的響應(yīng)譜，該線型在系統(tǒng)共振頻率附近呈現(xiàn)近似對(duì)稱的分布，如圖1(a)所示. 與之不同的另一類共振是Fano共振[2-3]，其響應(yīng)譜在系統(tǒng)共振頻率附近呈現(xiàn)明顯的非對(duì)稱分布，如圖1(b)所示.

(a)洛倫茲線型

1935年,Fano共振線型在惰性氣體的吸收譜線中被觀察到，并由Fano給出了理論解釋[4-5]. 這種非對(duì)稱的共振線型源于原子從初態(tài)到末態(tài)的躍遷過(guò)程中不同躍遷路徑之間的干涉效應(yīng)：當(dāng)一條躍遷路徑表現(xiàn)為窄譜共振(對(duì)應(yīng)分立態(tài)到分立態(tài)的躍遷)，另一條躍遷路徑表現(xiàn)為寬譜共振或連續(xù)譜(對(duì)應(yīng)分立態(tài)到連續(xù)態(tài)的躍遷)時(shí)，2條躍遷路徑之間的干涉會(huì)使得系統(tǒng)總的吸收譜線表現(xiàn)出非對(duì)稱的Fano共振線型. 后來(lái)， 人們陸續(xù)在半導(dǎo)體量子阱、量子點(diǎn)等各類量子體系[6-7]以及光子晶體、回音壁微腔等各類經(jīng)典體系中觀察到Fano共振[8-14]，并且發(fā)現(xiàn)了更加特殊的電磁感應(yīng)透明(Electromagnetically induced transparency，EIT)現(xiàn)象[15]，該現(xiàn)象被視為Fano共振的特殊情況. 由于Fano共振線型的非對(duì)稱特征，其響應(yīng)譜相比通常的洛倫茲線型更為陡峭、尖銳，在非線性光學(xué)、光開(kāi)關(guān)、傳感等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用前景，因此Fano共振也成為了近年來(lái)很多前沿領(lǐng)域(如納米光子學(xué)等)的研究熱點(diǎn)之一[16-17].

Fano共振是對(duì)傳統(tǒng)共振現(xiàn)象的重要補(bǔ)充和拓展，本文嘗試在普通物理實(shí)驗(yàn)層次展示Fano共振現(xiàn)象，建立基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)與前沿研究的聯(lián)系，通過(guò)構(gòu)建耦合諧振電路系統(tǒng)，合理地設(shè)置參量，不僅從實(shí)驗(yàn)上很好地展示了Fano共振現(xiàn)象，還展示了類似EIT的現(xiàn)象. 上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以通過(guò)理論公式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行合理解釋.

1 實(shí)驗(yàn)原理和裝置

根據(jù)Fano共振理論，當(dāng)具有窄譜共振的振子和具有寬譜共振的振子發(fā)生弱耦合時(shí)，有可能產(chǎn)生非對(duì)稱的Fano共振線型[17]. 而RLC串聯(lián)諧振電路是典型的共振體系，并且通過(guò)改變電阻取值，可以方便地控制體系的品質(zhì)因子，進(jìn)而改變體系的共振帶寬.因此，可以采用2個(gè)RLC串聯(lián)諧振電路構(gòu)建2個(gè)振子，而2個(gè)振子之間的耦合可以通過(guò)共用元件來(lái)實(shí)現(xiàn)，例如采用互感器，通過(guò)改變互感器的互感值可以控制2個(gè)振子之間的耦合強(qiáng)度.

具體實(shí)驗(yàn)電路如圖2所示，電感L1、電容C1、電阻R1和互感器M的初級(jí)線圈LM1構(gòu)成振子1，由交流信號(hào)源驅(qū)動(dòng)，形成回路1，信號(hào)源向外輸出的路端電壓為US；電感L2、電容C2、電阻R2和互感器M的次級(jí)線圈LM2構(gòu)成振子2，并形成回路2；振子1和振子2通過(guò)互感器M實(shí)現(xiàn)耦合.用振子1和振子2構(gòu)成的耦合系統(tǒng)在回路1中的等效復(fù)阻抗Z的倒數(shù)Z-1表征耦合振子系統(tǒng)的響應(yīng)，等價(jià)于固定信號(hào)源輸出路端電壓US不變的情況下測(cè)量回路1中電流I1的響應(yīng)[1].具體來(lái)說(shuō)，用復(fù)阻抗倒數(shù)的模|Z-1|隨頻率f的變化曲線表征耦合振子系統(tǒng)的幅頻特性，用復(fù)阻抗倒數(shù)的相位arg (Z-1)隨f的變化曲線表征耦合振子系統(tǒng)的相頻特性.實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量信號(hào)源的輸出路端電壓US和電阻R1上的電壓UR1隨f的變化，并利用

圖2 觀察Fano共振現(xiàn)象的耦合諧振電路

實(shí)驗(yàn)中使用的電容為RX7-0A型電容箱，電阻為ZX96型電阻箱，電感和互感器均為自制(使用以軟磁鐵氧體環(huán)為磁芯的線圈). 實(shí)驗(yàn)中的信號(hào)源和測(cè)量?jī)x器可以使用普通正弦波信號(hào)發(fā)生器和示波器，為了提高測(cè)量速度，自主設(shè)計(jì)了自動(dòng)測(cè)量系統(tǒng)，信號(hào)源為DG1022U型可編程信號(hào)發(fā)生器(RIGOL公司)，通過(guò)LabVIEW軟件控制信號(hào)發(fā)生器輸出一定頻率和幅度的正弦波，然后使用LabVIEW軟件控制USB-6343型數(shù)據(jù)采集卡(NI公司)的2個(gè)通道，分別記錄回路1中信號(hào)源的輸出路端電壓US和電阻R1上的電壓UR1的穩(wěn)態(tài)波形，并使用LabVIEW編程處理數(shù)據(jù)，一次性獲得系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果.

2 典型的Fano共振現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)結(jié)果

典型的Fano共振出現(xiàn)在弱耦合區(qū). 過(guò)小的互感值下，2個(gè)振子的耦合太弱，F(xiàn)ano共振現(xiàn)象不明顯；過(guò)大的互感值下，2個(gè)振子的耦合太強(qiáng)，會(huì)導(dǎo)致體系出現(xiàn)復(fù)雜的強(qiáng)耦合現(xiàn)象. 實(shí)驗(yàn)中互感器的互感值M=8 mH，互感器初級(jí)線圈的自感LM1和次級(jí)線圈的自感LM2也都為8 mH，即該互感器的初級(jí)和次級(jí)線圈恰好處于完全耦合，但是這一條件對(duì)于觀察Fano共振現(xiàn)象并非必要.

可以看到，振子1和振子2的幅頻特性曲線都近似為洛倫茲線型，在共振頻率附近共振峰呈現(xiàn)近似對(duì)稱分布. 測(cè)量得到孤立的振子1和振子2的諧振頻率分別約為2 804 Hz和5 551 Hz，而根據(jù)元件參量值計(jì)算得到的理論諧振頻率分別為2 813 Hz和5 627 Hz，實(shí)測(cè)諧振頻率與理論計(jì)算值基本相符，偏差分別為0.3%和1.4%，該偏差主要?dú)w因于各個(gè)元件參量值的誤差.

對(duì)振子1和振子2構(gòu)成的耦合系統(tǒng)(圖2所示的電路)進(jìn)行測(cè)量，得到的幅頻特性曲線如圖3(c)所示. 可以看到，在振子2的諧振頻率附近，耦合系統(tǒng)的幅頻特性曲線迅速地從谷變化到峰，表現(xiàn)出明顯的非對(duì)稱Fano共振線型. 對(duì)應(yīng)耦合系統(tǒng)的相頻特性曲線的測(cè)量結(jié)果如圖3(d)所示，耦合系統(tǒng)的相位變化行為同樣與振幅變化行為相關(guān)聯(lián).

(a)孤立振子的幅頻特性曲線

3 耦合諧振電路中Fano共振現(xiàn)象的理論分析和解釋

對(duì)比圖3(a)和圖3(c)可以發(fā)現(xiàn)，耦合諧振電路中Fano共振線型的非對(duì)稱峰谷所在位置與振子2的諧振頻率接近，這暗示非對(duì)稱峰谷的出現(xiàn)可能與振子2的共振對(duì)振子1的反饋?zhàn)饔糜嘘P(guān). 下面通過(guò)理論公式和相關(guān)計(jì)算結(jié)果對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果作出解釋.

對(duì)于本實(shí)驗(yàn)的耦合電路系統(tǒng)，根據(jù)電路方程可以推導(dǎo)出振子1和振子2構(gòu)成的耦合系統(tǒng)在回路1中的等效復(fù)阻抗的理論表達(dá)式為

(1)

其中，

(2)

(3)

L1′=L1+LM1,

(4)

L2′=L2+LM2.

(5)

(a)|Z1|和|Z21|的頻率特性

結(jié)合上述理論分析，可以總結(jié)出耦合諧振電路系統(tǒng)中Fano共振現(xiàn)象的物理機(jī)制：上述現(xiàn)象源于振子1自身的振動(dòng)與振子2對(duì)振子1的反饋?zhàn)饔眠@2種機(jī)制間的干涉. 其中，振子1由外加激勵(lì)驅(qū)動(dòng)，是大損耗的寬譜共振；而振子2由振子1通過(guò)耦合作用驅(qū)動(dòng)，是小損耗的窄譜共振. 當(dāng)外加激勵(lì)的頻率遠(yuǎn)離振子2的諧振頻率時(shí)，振子2的振動(dòng)可以忽略，耦合系統(tǒng)的響應(yīng)由振子1決定；而當(dāng)外加激勵(lì)的頻率接近振子2的諧振頻率時(shí)，振子2對(duì)振子1有明顯的反饋?zhàn)饔茫⑶矣捎谡褡?的振動(dòng)相位在很窄的頻率范圍內(nèi)有接近π的變化，即上述反饋?zhàn)饔门c振子1自身振動(dòng)的相干疊加相應(yīng)地有從相消到相長(zhǎng)的變化，從而使振子1的振幅出現(xiàn)陡峭的非對(duì)稱的Fano共振線型. 注意：振子2的相位隨頻率的迅速變化是產(chǎn)生非對(duì)稱的Fano共振線型的關(guān)鍵.

4 改變參量時(shí)的Fano共振現(xiàn)象和類似EIT現(xiàn)象

以上實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置電容C2=0.02 μF，即孤立振子2的諧振頻率遠(yuǎn)大于孤立振子1的諧振頻率. 改變振子1和振子2諧振頻率的相對(duì)大小，可以觀察到不同的頻率響應(yīng)行為.

(a)C2=0.16 μF

5 結(jié)束語(yǔ)

本文展示了耦合諧振電路中的Fano共振現(xiàn)象和類似EIT現(xiàn)象，這一簡(jiǎn)單的經(jīng)典電路系統(tǒng)可以從普通物理層面上作出完整的理論描述，從而借助理論公式和計(jì)算結(jié)果對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象給出解釋，幫助學(xué)生理解其物理機(jī)制. 該實(shí)驗(yàn)所需實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)單，測(cè)量方法基礎(chǔ)，可以展示出Fano共振現(xiàn)象和類似EIT現(xiàn)象，與前沿研究建立聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；同時(shí)，對(duì)于學(xué)生理解共振現(xiàn)象的普遍物理規(guī)律，特別是深入理解相位在共振中的物理意義有幫助，適合作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的高階內(nèi)容. 需要特別指出的是，雖然本文只是在耦合諧振電路系統(tǒng)中展示了Fano共振現(xiàn)象和類似EIT現(xiàn)象，但是，上述現(xiàn)象在很多物理系統(tǒng)中普遍存在，利用經(jīng)典的力學(xué)耦合系統(tǒng)、光學(xué)耦合系統(tǒng)，同樣可以用類似的思路實(shí)現(xiàn)Fano共振現(xiàn)象和類似EIT現(xiàn)象.