基于改進組合Kriging模型的變速器噪聲優化研究*

童林軍,曾 威,林小娟,蔡健文,江興洋

(1.佛山職業技術學院 汽車工程學院,廣東 佛山 528137;2.西安石油大學 機械工程學院,陜西 西安 710065)

0 引 言

在變速箱運行過程中,會因齒輪振動產生噪聲,這是其噪音的重要來源之一[1]。國內外學者對此已進行了許多研究。

歐健等人[2]運用多體動力學,建立了變速箱的動力學模型,對其進行了動力學分析,并運用聲學邊界元法預估了箱體輻射噪聲,并通過試驗對結果進行了驗證,最后通過箱體結構優化達到了降噪的目的。劉春玲等人[3]建立了基于脈沖動量關系的變速箱拓撲變化模型,引入正交補碼,研究了換擋拓撲變化引起的速度跳躍。ZHANG Q等人[4]根據變速箱的傳動結構,建立了齒輪系統的動力學分析模型,以齒數、模數、壓力角等宏觀參數和齒廓角偏差、齒向角偏差、齒向鼓形量等微觀參數為設計變量,建立了齒輪參數的優化設計模型,通過計算得到了優化的變速箱齒輪參數,降低了齒輪運行過程中的振動。彭顯昌等人[5]基于殼體結構設計,建立了變速箱有限元模型,對殼體進行了剛度強度計算和約束模態計算,有效降低了殼體發生共振的風險。SON G等人[6]以箱體結構參數為設計變量,以噪聲聲壓強度為優化目標,建立了變速箱箱體結構的優化設計模型,得到了變速箱箱體結構優化結果,達到了減少噪聲輻射、降低變速箱降噪的目的。包英豪[7]根據齒輪嘯叫產生的來源,建立了變速箱殼體的聲學邊界元模型,對變速箱進行了聲學輻射仿真,得到了其噪聲輻射云圖和聲壓數值。蔡文奇[8]建立了兩檔變速箱傳動系統Romax仿真模型,基于齒輪嘯叫產生的原因,通過仿真的方式,得到了不同工況下齒輪的傳遞誤差及軸承的動態響應特性。CAI W等人[9]采用控制齒輪振動優化方式,對其進行了模態分析、諧響應分析和聲學響應分析,得到了不同設計參數對應的目標函數響應值,通過反復計算、尋優,得到了箱體最終的優化結構。

在尋優的過程中,變速箱齒輪系統的諧響應分析、模態分析和場點聲學輻射計算等都需要耗費大量的時間,單次計算可能需要0.6 h以上[10]。而采用優化算法對優化模型進行尋優計算,可能需要反復計算上千次,這導致整個優化過程極為耗時,優化設計效率極低。

Kriging(KG)模型具有良好的非線性擬合能力,能夠精確地擬合不同參數對應的齒輪動力學性能指標響應,尤其適合齒輪系統的非線性振動的動力學響應分析,可以顯著降低目標函數的計算成本,達到提高變速箱優化設計效率的目的。

ZENG W等人[11]采用組合預測方法,提出了一種基于多個KG模型的并行自適應采樣策略,該策略使用多個具有不同相關模型的KG模型,確定了采樣過程中添加的新點,通過2個低維基準函數和1個高維基準函數,對該方法的有效性進行了驗證。

在KG模型的建模方法方面,相關函數是影響該模型擬合精度的關鍵參數,且其中包含多種類型的標準模型。例如,高斯函數(Gassian)、指數函數(Exp)、三次函數(Cubic)、冪函數(Expg)、線性函數(Linear)、球函數(Spherical)和樣條函數(Spline)等,建模前通常需要根據設計經驗選擇合適的相關函數,獲得樣本數據信息,然后建立KG模型,實現對目標函數響應的快速預測。但是,從組合預測理論角度來看,采用單一模型來獲得樣本數據信息,會造成最終建立的KG模型預測精度不高。因此,相關研究對其進行了改進。

曾威等人[12]采用組合預測方法,對KG模型進行了改進,建立了一種改進的組合KG模型,并將之應用到密封結構的優化設計中,取得了較好的效果。然而,該改進型模型在建模過程中,采用了全局固定的權重系數耦合方法,根據各個相關函數模型的全局精度分配一個固定權重,沒有考慮各個相關函數模型的局部精度,導致最終建立的組合KG并非最優模型。

基于此,為提高變速箱的降噪優化效率,筆者引入KG模型,擬合不同設計參數下變速箱的動力學性能指標響應結果,并綜合考慮各個單一相關函數模型全局精度和局部精度,對組合模型預測精度的聯合影響,對組合KG模型進行改進,并建立一種基于改進組合KG模型的變速箱降噪方法,以提高變速箱噪聲優化效率。

1 變速箱及噪聲分析模型

筆者以一款兩擋I-AMT變速箱為例。兩檔I-AMT變速箱結構如圖1所示。

圖1 兩檔I-AMT變速箱結構

根據影響變速箱噪聲的相關分析,筆者以一檔齒輪模數m1(mm),二檔齒輪模數m2(mm),一檔主/從動齒輪齒數分別為n1主和n1從,二檔主/從動齒輪齒數分別為n2主和n2從,一檔齒輪螺旋角β1(°),二檔齒輪螺旋角β2(°),一檔小齒輪齒形鼓形量C1-1B(μm),一檔大齒輪齒形鼓形量C1-2B(μm),二檔小齒輪齒形鼓形量C2-1B(μm)和二檔大齒輪齒形鼓形量C2-2B(μm)作為設計變量。

其當前設計值如表1所示。

表1 變速箱設計變量及當前設計值

考慮因為制造、安裝和彈性變形等造成一對相互嚙合的齒輪出現傳動誤差。

為衡量不同設計參數下變速箱的傳動誤差,筆者建立變速箱傳動誤差計算方法(齒輪的水平、垂直方向如圖1所示):

δ1=[(x1主-x1從)sinα1+(y1主-y1從)cosα1+(r1主θ1主+
r1從θ1從)]cosβ1+(z1主-z1從)·sinβ1-e1(t)

(1)

δ2=[(x2主-x2從)sinα2+(y2主-y2從)cosα2+(r2主θ2主+
r2從θ2從)]cosβ2-(z2主-z2從)·sinβ2-e2(t)

(2)

式中:δ1—第一檔動態傳動誤差,μm;δ2—第二檔的動態傳動誤差,μm;x1主—第一檔主動齒輪水平位移,μm;x1從—第一檔從動齒輪的水平位移,μm;x2主—第二檔主動齒輪水平位移,μm;x2從—第二檔從動齒輪的水平位移,μm;y1主—第一檔主動齒輪垂直位移,μm;y1從—第一檔從動齒輪的垂直位移,μm;y2主—第二檔主動齒輪垂直位移,μm;y2從—第二檔從動齒輪的垂直位移,μm;z1主—第一檔主動齒輪軸向位移,μm;z1從—第一檔從動齒輪的軸向位移,μm,z2主—第二檔主動齒輪的軸向位移,μm;z2從—第二檔從動齒輪的軸向位移,μm;θ1主—第一檔主動齒輪轉動角度,(°);θ1從—第一檔從動齒輪的轉動角度,(°);θ2主—第一檔主動齒輪的轉動角度,(°);θ2從—第一檔從動齒輪的轉動角度,(°);r1主—第一檔主動齒輪的基圓半徑,mm;r1從—第一檔從動齒輪的基圓半徑,mm;r2主—第一檔主動齒輪的基圓半徑,mm;r2從—第一檔從動齒輪的基圓半徑,mm;e1(t)—第一檔的靜態傳遞誤差,μm;e2(t)—第二檔的靜態傳遞誤差,μm。

為計算不同設計參數下變速箱的噪聲等級,筆者建立的聲學仿真模型如圖2所示。

圖2 變速箱聲學邊界元模型

筆者同時建立噪聲輻射云圖,如圖3所示(分別為一檔3 000 r/min,二檔4 000 r/min)。

圖3 變速箱原始設計噪聲云圖

利用該方法和模型,可以計算不同設計參數下變速箱的傳動誤差δi(μm)和振動噪聲值d(dB)。

2 改進的組合KG模型建模方法

考慮到變速箱傳動誤差分析和振動噪聲分析過程中,需要進行復雜的模態分析、諧響應分析或者聲學響應分析,計算周期長,會導致變速箱噪聲優化成本極高。

因此,筆者引入KG模型,擬合設計參數、傳動誤差值和振動噪聲分貝值間的響應關系,以提高變速箱振動噪聲優化效率。

2.1 普通KG模型

KG模型是一種估計方差最小的無偏估計模型[13],它能夠精確地擬合強非線性樣本數據間的相關關系,可以用來預測不同齒輪參數下變速箱的噪聲等級指標。

普通KG模型包括回歸部分與非參數兩個部分:

(3)

其中:

(4)

Z(X)是均值為0,方差為σ2的隨機過程,則任意兩樣本點間的相關關系可以描述為:

Cov[Z(xi),Z(xj)]=σ2R[R(xi,xj)]

(5)

式中:σ2—隨機過程方差;R—n×n階的對稱正定對角矩陣;R(xi,xj)—任意兩個樣本點xi與xj的空間相關函數。

工程應用中,一般使用高斯相關函數對R(xi,xj)進行描述:

(6)

(7)

式中:r(x)T—長度為n的相關向量;f—長度為n的單位列向量。

其中:

(8)

為了獲得模型的相關參數θk,使用式(6)所示的最大似然估計方法,即:

(9)

獲得KG模型的相關參數θk之后,即可通過式(7)計算得到預測值,實現不同齒輪參數下變速箱的噪聲指標值預測。

2.2 改進組合KG模型建模方法

根據普通KG模型的基本構成,相關函數R(xi,xj)是影響KG模型預測精度的重要參數,采用不同的相關函數,可以基于相同的樣本數據,建立多種類型的KG模型,且不同類型的KG模型預測精度是不同的[14]。

為了提高KG模型預測精度,基于組合預測理論,相關研究人員將這些不同類型KG模型作為子模型,構建耦合多個子模型的組合KG模型,其基本方法如下:

(10)

ωi的計算可以采用基于全局誤差指標方法進行,即以最終構建的組合KG模型誤差最小作為優化目標,以耦合系數ωi為優化設計變量,建立優化模型。

計算耦合系數值如下式所示:

(11)

式中:RMSE—組合KG模型的均方根誤差,即其全局精度指標。

這種方法固然可以提高普通KG模型的擬合精度,但是當變量的取值范圍較大時,在局部范圍內可能存在局部精度(并非最優的情況),影響組合KG模型的預測精度,最終影響變速箱噪聲指標的計算精度。

因此,筆者綜合考慮全局和局部精度對KG模型預測精度的影響,建立一種既考慮全局誤差,又考慮局部誤差的組合KG模型。

改進組合KG模型的建模流程如圖4所示。

圖4 改進組合KG模型建模流程

在MATLAB中,筆者采用DACE工具箱,分別基于不同相關函數(Gaussian、Exp、Cubic、Expg、Linear、Spherical和Spline)建立對應的KG模型,以作為子模型構建模型庫,然后以均方根誤差RMSE為誤差評價指標,采用LOO交叉驗證(Leave-one-out-cross-validation)方法對各個子模型進行全局誤差評估,剔除低精度子模型,得到新的模型庫;然后以新模型庫中的最優全局模型為主模型,采用高斯隨機過程方法計算模型庫中子模型的局部誤差。

其具體的計算方法[15]為:

f(x)～GP(m(x),c(x,x′))

(12)

通常可以將均值函數m(x)設置為0,而協方差則通過Bayes回歸函數計算得到。

為了估計各子模型在變量域內任意一點的精度,筆者采用一種如式(12)所示的核函數,對子模型預測值的不確定性進行建模,用以表示子模型在設計域的精度:

(13)

式中:ym(xh)2—子模型在輸入變量xh處的最佳預測值。

然后,筆者再根據式(13)所述過程計算耦合系數ωi:

(14)

筆者以之作為優化目標,采用式(8)進行計算,得到各子模型的耦合系數ωi,最終構建考慮全局誤差和局部誤差的組合KG模型。

3 變速箱噪聲優化

3.1 設計變量與隨機抽樣

根據表1中變速箱的當前設計值,并考慮齒輪模數、齒數以及傳動比等特殊要求,筆者確定了各設計變量的取值范圍,如表2所示。

表2 變速箱各設計變量取值范圍

在此基礎上,筆者采用拉丁超立方抽樣方法,在對應的取值范圍中,分別對各個設計參數m1,m2,n1主,n1從,n2主,n2從,β1,β2,C1主B,C1從B,C2主B,C2從B進行抽樣,得到k組樣本點X(m1i,m2i,n1主i,n1從i,n2主i,n2從i,β1i,β2i,C1主Bi,C1從Bi,C2主Bi,C2從Bi)。

其中,i=1,2,…,k。

由于本模型中設計變量是12維,屬于高維問題,其樣本數為k=2p,p=h(h+1)/2,(其中：h—設計變量維度),因此,抽樣樣本數為156。

設計變量隨機樣本如表3所示。

表3 設計變量隨機樣本

3.2 變速箱傳遞誤差與振動噪聲組合KG模型

筆者選擇變速箱傳遞誤差δ1,δ2和振動噪聲值d作為評價指標,采用建立的變速箱齒輪系統的傳動誤差計算模型和聲學仿真模型,計算k組樣本點對應的變速箱性能指標(δi,di),其中,i=1,2,…,j。

筆者以此為樣本數據,根據改進的組合KG模型建模流程,對其中的子模型進行全局誤差評估,得到的誤差統計結果。

各子模型全局誤差計算結果如表4所示。

表4 各子模型全局誤差計算結果

筆者將誤差閾值RMESm設置為0.2,剔除低精度KG模型,得到新的模型庫。

更新后的子模型庫如表5所示。

表5 更新后的子模型庫

筆者以表5中篩選后得到的模型庫中的最優全局模型為主模型,采用高斯隨機過程方法計算模型庫中子模型的局部誤差,計算得到各子模型的耦合系數,如表6所示。

表6 各模型耦合系數值

筆者得到傳遞誤差和振動噪聲的改進混合KG模型S-δi和S-d,分別如下式所示:

(15)

(16)

(17)

3.3 基于改進組合KG模型的變速箱噪聲優化

筆者以構建的傳遞誤差和振動噪聲的改進混合KG模型S-δi和S-di作為目標函數,以確定的各個設計參數m1,m2,n1主,n1從,n2主,n2從,β1,β2,C1主B,C1從B,C2主B,C2從B為設計變量,以齒輪根切、滑動率、干涉條件、齒頂厚和頂隙等作為多約束條件,建立變速箱的多目標優化設計模型,如下式所示:

(18)

式中:m—對應齒輪的模數。

筆者采用遺傳算法,對建立的多目標優化設計模型進行尋優計算,找到各設計變量的最優設計參數Xopt=(m1iopt,m2iopt,n1主iopt,n1從iopt,n2主iopt,n2從iopt,β1iopt,β2iopt,C1主Biopt,C1從Biopt,C2主Biopt,C2從Biopt)=(1.5,1.5,18,64,29,53,20,20,3.03,7.06,5.18,2.03)。

為驗證該方法的有效性,筆者將優化得到的齒輪結構參數代入建立的傳動誤差分析模型和聲學仿真模型中,得到優化后變速箱的性能參數。

其中,噪聲云圖如圖5所示。

圖5 優化后變速箱噪聲云圖

并將之與優化前的性能參數進行對比,優化前后變速箱傳動誤差與噪聲值對比如表7所示。

表7 優化前后變速箱傳動誤差與噪聲值對比

從表7中分析結果可知:優化后一檔傳動誤差和二檔傳動誤差值分別降低53.9%和50.23%;一檔和二檔噪聲分別降低16.87%和13.92%。

以上結果驗證了筆者所提方法在保證變速箱傳動精度、降低變速箱噪聲方面的有效性。

進一步,為了驗證該方法在降低變速箱降噪計算成本方面的有益效果,筆者還對優化計算成本進行了統計計算(兩種方法均進行500次插值優化),并將其與傳統的基于聲學仿真方法進行了對比。

采用不同優化方法得到的優化結果與耗時對比,如表8所示。

表8 不同優化方法優化結果與耗時對比

根據表8中的優化計算結果可知:采用傳統優化方法和筆者的優化方法得到的計算結果基本一致,這也驗證了筆者所提出的方法的可靠性。

根據該表中的計算耗時相比,在使用筆者方法對變速箱進行降噪優化,計算耗時能夠降低68.2%,優化效率得到顯著提升。

4 結束語

針對齒輪振動分析極為耗時的問題,為降低因變速箱齒輪振動造成的運行噪聲,筆者將KG模型引入變速箱噪聲優化設計工作中,考慮相關函數對KG模型精度的影響,構建了一種組合KG模型,并在此基礎上,開展了基于該組合KG模型的變速箱噪聲優化研究。

主要研究結論如下:

(1)考慮齒輪設計參數對變速箱振動噪聲的影響,建立了變速箱振動噪聲分析邊界元模型,完成了不同設計參數下變速箱振動噪聲聲壓等級計算;

(2)考慮相關函數對KG模型精度的影響,考慮KG模型全局精度和局部精度的綜合需求,基于組合預測理論,建立了一種改進的組合KG模型,并構建了基于該組合KG模型的變速箱振動噪聲聲壓等級代理模型,實現了任意變量下,對變速箱噪聲聲壓等級的快速計算;

(3)以傳動誤差和聲壓等級為優化目標,建立了基于組合KG模型的變速箱噪聲優化模型,對變速箱齒輪參數進行了優化,并對優化結果進行了驗證,結果表明,筆者所提方法不但能夠降低變速箱噪聲,而且能使變速箱噪聲優化耗時降低68.2%。

后續的研究中,筆者將主要考慮相關函數對KG模型精度的影響,并基于上述改進的組合KG模型,實現任意變量下變速箱噪聲聲壓等級的快速計算,同時,進一步提高其計算的精度。