分度圓裂紋齒輪嚙合剛度計算及嚙合動態(tài)特性分析*

徐鳳寶,劉貴杰,馬鵬磊,王泓暉,陳 帥

(中國海洋大學(xué) 工程學(xué)院,山東 青島 266100)

0 引 言

齒輪是依靠齒的嚙合傳遞扭矩的輪狀機械零件。由于傳動效率高、傳動比準(zhǔn)確、功率范圍大等優(yōu)點,齒輪機構(gòu)在在航空航天、醫(yī)療機械等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

在長期重載、潤滑不良等的工況條件下工作,齒輪易發(fā)生點蝕、剝落等故障[1]。作為故障形式的一種,分度圓裂紋故障影響著齒輪系統(tǒng)的平穩(wěn)運行,給系統(tǒng)造成了嚴重的安全隱患[2]。

嚙合剛度的階躍性變化是齒輪傳動系統(tǒng)產(chǎn)生振動的主要內(nèi)部激勵。齒輪裂紋導(dǎo)致嚙合剛度發(fā)生變化,從而影響傳動系統(tǒng)嚙合動態(tài)特性[3]。

目前,眾多學(xué)者對齒輪剛度計算進行了大量的研究。CHAARI F等人[4]利用了材料力學(xué)的方法,將含齒根裂紋的輪齒視為變截面的懸臂梁,構(gòu)建了齒輪的嚙合剛度模型。MOHAMMED O D等人[5]在剪切剛度與彎曲剛度的基礎(chǔ)上,考慮了壓縮勢能與基體柔性變形勢能,建立了更加準(zhǔn)確的齒輪嚙合剛度模型。LIANG X等人[6]將齒廓簡化為直線,建立了不同裂紋長度的齒輪嚙合剛度模型。CHEN Z等人[7]利用能量法對齒輪裂紋進行了研究,并沿齒厚和齒寬兩個擴展方向建立了齒輪的嚙合剛度模型。孟宗等人[8]通過分析完整的齒廓曲線,利用能量法計算了多種裂紋情況下的齒輪剛度,并結(jié)合系統(tǒng)的動力學(xué)模型,進行了裂紋齒輪振動信號的特征提取。翁武燕等人[9]利用能量法求解了分度圓裂紋的剛度,并分析了分度圓裂紋齒輪的振動響應(yīng)。劉杰等人[10]將齒根裂紋的形成過程分為了三個階段,利用能量法分別建立了其嚙合剛度模型,結(jié)合齒輪動力學(xué)模型對其進行了振動響應(yīng)分析。馮娜娜等人[11]根據(jù)能量法,分別建立了不同故障情況下齒輪的剛度變化模型。

綜上所述,眾多學(xué)者利用能量法計算了多種故障類型下的齒輪嚙合剛度。但是,到目前為止,針對不同分度圓裂紋長度下齒輪嚙合剛度計算公式的研究較少,對于分度圓裂紋齒輪嚙合動態(tài)特性的研究仍存在一定的空白。

為準(zhǔn)確分析分度圓裂紋齒輪的剛度變化及分度圓裂紋齒輪的嚙合動態(tài)特性,筆者針對齒根圓小于基圓的齒輪,在已有研究的基礎(chǔ)上,按照裂紋的投影位置將分度圓裂紋分為3種情況,利用改進能量法計算不同裂紋情況下的齒輪嚙合剛度;建立齒輪六自由度動力學(xué)模型,分析不同裂紋情況下的傳遞誤差、齒間嚙合力和嚙合摩擦力的變化情況;對比正常齒輪與裂紋齒輪的時域圖與頻譜圖,分析裂紋對齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生的影響。

1 分度圓裂紋齒輪剛度計算

1.1 改進能量法的齒輪剛度計算理論

目前已有諸多文獻在利用傳統(tǒng)能量法計算齒輪嚙合剛度時,將基圓視為輪齒懸臂梁的起點。而在實際情況下,輪齒懸臂梁的起點為齒根圓。當(dāng)齒根圓小于基圓時,采用傳統(tǒng)能量法得到的計算結(jié)果不準(zhǔn)確。

筆者針對齒根圓小于基圓的齒輪,在計算齒間能量時加入基圓與齒根圓間的能量。

齒根圓小于基圓的齒輪模型如圖1所示。

圖1齒輪模型

基圓與齒根圓間的過渡曲線與加工刀具等多種因素有關(guān)。

過渡曲線可近似視為圓弧曲線[12,13],其軌跡方程可表示為:

(1)

式中:R—圓弧半徑;Rb—基圓半徑;Rf—齒根圓半徑;α2,αf—基圓和齒根圓半齒厚對應(yīng)的圓心角。

根據(jù)材料力學(xué)與彈性力學(xué)的相關(guān)理論,筆者將直齒輪輪齒轉(zhuǎn)化為從齒根圓開始的變截面懸臂梁,當(dāng)輪齒變形后,彎曲勢能Ub、剪切勢能Us、壓縮勢能Ua,都會產(chǎn)生相應(yīng)的變化[14]。

根據(jù)勢能與剛度關(guān)系可以求解剛度。結(jié)合圖1,剛度的計算公式可表示為:

(2)

(3)

(4)

式中:kb—彎曲剛度;ks—剪切剛度;ka—壓縮剛度;G—剪切模量;E—彈性模量;L—齒寬;M—彎矩;Ix—距離齒根圓x處的截面慣性矩;Ax—截面面積;Fb,Fa—嚙合力F沿坐標(biāo)系方向上的分力。

單對齒輪嚙合的總剛度可表示為多種剛度的串聯(lián)形式,即:

(5)

式中:kh—赫茲剛度,其計算公式可參考文獻[15];kf—基體形變剛度,其計算公式可參考文獻[16];下標(biāo)1、2—分別指主動輪、從動輪。

當(dāng)多個齒輪副嚙合時,其總剛度可表示為多個單對齒輪副剛度的線性相加。

1.2 分度圓裂紋齒輪剛度計算理論

由于不斷承受重載,分度圓裂紋齒輪的裂紋路徑會發(fā)生擴展。筆者在此假設(shè)裂紋擴展路徑為直線,裂紋貫穿于整個齒寬,在齒寬方向上均勻分布。

分度圓裂紋齒輪模型如圖2所示。

圖2 分度圓裂紋齒輪模型

圖2中,q1—未穿過輪齒中心線的初始裂紋長度;q2—穿過中心線的裂紋長度。

分度圓裂紋影響齒輪部分區(qū)域的截面慣性矩與截面面積,從而導(dǎo)致齒輪的彎曲剛度、剪切剛度與壓縮剛度發(fā)生變化,具體分析如下:

(1)當(dāng)嚙合壓力角α1小于分度圓壓力角αg時,即α1<αg,此時齒輪嚙合剛度不受裂紋影響;

(2)當(dāng)α1>αg時,按照裂紋的擴展情況可分為3種情況進行分析:

情況1為裂紋未擴展到中心線,裂紋投影在齒廓;情況2為裂紋未擴展到中心線,且裂紋投影在齒頂圓;情況3為裂紋擴展到中心線下,且裂紋投影在齒頂圓。當(dāng)裂紋超過情況3繼續(xù)擴展時,輪齒的部分區(qū)域無法儲存能量,輪齒將急速斷裂。

情況1。當(dāng)hc≥ha且α1>αc時,有:

(6)

(7)

情況2。當(dāng)hc≥ha且αg<α1<αc,hc≤ha且α1>αg時,有:

(8)

(9)

情況3。當(dāng)裂紋超過中心線且hc≤ha時,若α1>αg,有:

(10)

(11)

其中:hc=Rgsinαg-qsinβ。

hx按照積分位置可分為2種情況:

式中:α—x位置處的壓力角。

1.3 不同分度圓裂紋下嚙合剛度仿真求解

分析分度圓裂紋對剛度的影響,能夠更好地進行齒輪的故障特征分析。

為了探究裂紋長度對嚙合剛度的影響情況,設(shè)計不同裂紋長度,筆者結(jié)合齒輪參數(shù)進行仿真分析。

齒輪副參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪副參數(shù)

假設(shè)裂紋角度β=45°,裂紋長度設(shè)置為1 mm(裂紋情況1)、2 mm(裂紋情況2)、2.5 mm(裂紋情況3)與正常齒輪進行對比,可以得到彎曲剛度kb、剪切剛度ks、壓縮剛度ka與綜合嚙合剛度ksum,如圖3所示。

由圖3(a～c)可知:隨著嚙合壓力角增大,即齒輪嚙合點逐漸遠離齒根圓,kb、ks和ka逐漸降低,并且ka下降速度最快。

圖3 不同分度圓裂紋剛度對比圖

根據(jù)能量法理論可知:分度圓裂紋只會影響輪齒部分區(qū)域的剛度。故在4種情況下(3種裂紋情況以及1種正常齒數(shù)情況),當(dāng)嚙合壓力角小于分度圓壓力角時,kb、ks和ka不受裂紋影響;在嚙合點壓力角大于分度圓壓力角時,隨著裂紋長度增加,kb、ks和ka逐漸降低,即分度圓裂紋對齒輪產(chǎn)生的影響逐漸變大。在3種剛度中,剪切剛度ks受裂紋影響最大,相比于正常齒輪,2.5 mm裂紋下的ks最多下降49%。壓縮剛度ka幾乎不受裂紋影響;

由圖3(d)可知:由于單雙齒交替嚙合,綜合嚙合剛度ksum呈階躍式變化;4種情況下,當(dāng)嚙合點未到達分度圓裂紋點時,ksum不受裂紋影響;當(dāng)嚙合點超過分度圓裂紋點后,隨著裂紋增長,ksum逐漸降低。在裂紋為2.5 mm時,相比于正常齒輪,ksum最多下降14.3%。

2 分度圓裂紋齒輪動態(tài)特性分析

為了分析分度圓裂紋齒輪的動態(tài)特性,筆者建立了六自由度齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型,如圖4所示。

圖4 六自由度動力學(xué)模型

假設(shè)齒輪嚙合無誤差,在不考慮齒輪箱體共振的情況下,筆者建立齒輪嚙合過程的動力學(xué)方程,以分析不同裂紋長度下的齒輪動態(tài)特性,即:

(12)

式中:T1,T2—主、從動輪施加的扭矩;m1,m2—主、從動輪的質(zhì)量;I1,I2—主、從動輪的轉(zhuǎn)動慣量;c1,k1—主動輪的軸承剛度與阻尼;c2,k2—從動輪的軸承剛度與阻尼;Fm—齒間嚙合力;Ff—嚙合摩擦力;M1,M2—嚙合摩擦力形成的轉(zhuǎn)矩。

Fm可表達為:

(13)

式中:cm—齒輪嚙合阻尼;δ—傳遞誤差。

δ可表達為:

δ=x1+Rb1θ1-(x2+Rb2θ2)

(14)

Ff計算公式為:

(15)

式中:μ—摩擦系數(shù),該文取μ=0.06。

筆者根據(jù)齒輪相關(guān)參數(shù)及動力學(xué)理論,采用Runge-Kutta迭代方式求解齒輪動力學(xué)方程。設(shè)置主動輪的轉(zhuǎn)頻恒定為16.6 Hz,則齒輪嚙合頻率fm為332 Hz。

在求出分度圓裂紋齒輪嚙合剛度的基礎(chǔ)上,筆者選取傳遞誤差、齒間嚙合力和嚙合摩擦力,分析齒輪嚙合過程中的動態(tài)特性,其仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 4種情況下動態(tài)特性對比

由圖5(a～c)可知:由于單雙齒交替嚙合,傳遞誤差δ、齒間嚙合力Fm和嚙合摩擦力Ff呈周期性變化。在單雙齒交替嚙合點附近,由于綜合嚙合剛度ksum的階躍變化,導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)受到?jīng)_擊,δ、Fm和Ff產(chǎn)生較大波動。

根據(jù)上述齒輪嚙合剛度分析結(jié)果可知:當(dāng)輪齒產(chǎn)生分度圓裂紋時,輪齒的部分區(qū)域不受裂紋影響,故在4種情況下,當(dāng)嚙合點未到分度圓裂紋點時,δ、Fm和Ff不受裂紋影響;

當(dāng)嚙合點超過分度圓裂紋點時,由于齒輪嚙合剛度降低,導(dǎo)致裂紋齒輪承載能力降低,嚙合變形量增大,故δ增大,Fm和Ff降低。同時,隨著分度圓裂紋逐漸增大,齒輪的承載能力逐漸降低,故δ逐漸增大,Fm和Ff逐漸降低。相比于正常齒輪,在裂紋為2.5 mm時,傳遞誤差δ最多升高12.2%,齒間嚙合力Fm最多下降3.6%,嚙合摩擦力Ff最多下降14.8%。

由于振動信號可以表征系統(tǒng)的運行狀態(tài),筆者提取正常狀態(tài)齒輪與2.5 mm裂紋齒輪的x方向的振動信號進行對比分析,其對比結(jié)果如圖6所示。

根據(jù)圖6(a,b)正常齒輪的時域圖與頻譜圖可知:正常齒輪的嚙合具有周期性,頻譜圖中的頻率主要為嚙合頻率及其倍頻。

由圖6(c,d)2.5 mm裂紋的時域圖與頻譜圖可知:由于裂紋的存在,齒輪嚙合系統(tǒng)受到周期性沖擊,沖擊周期為齒輪的旋轉(zhuǎn)周期0.06 s;并且,由于裂紋的存在,使得嚙合頻率fm附近出現(xiàn)了復(fù)雜的邊帶結(jié)構(gòu)。

圖6 不同裂紋時域圖與頻譜圖

3 結(jié)束語

針對齒根圓小于基圓的齒輪,筆者利用改進能量法計算了不同分度圓裂紋長度下的齒輪剛度,并建立了齒輪六自由度動力學(xué)模型,對分度圓裂紋齒輪的動態(tài)性能進行了分析。

研究結(jié)論如下:

(1)嚙合壓力角小于分度圓壓力角時,齒輪的剛度不受裂紋影響;當(dāng)嚙合壓力角大于分度圓壓力角時,相比于正常齒輪,分度圓裂紋2.5 mm的齒輪綜合嚙合剛度最多下降14.3%,剪切剛度下降49%;隨著裂紋增大,綜合嚙合剛度、剪切剛度、壓縮剛度和彎曲剛度隨之降低;

(2)相對于正常齒輪,分度圓裂紋齒輪的傳遞誤差隨著裂紋增大而逐漸變大,齒間嚙合力和嚙合摩擦力逐漸降低,當(dāng)裂紋為2.5 mm時,傳遞誤差最多升高12.2%,齒間嚙合力最多下降3.6%,嚙合摩擦力最多下降14.8%。通過分析時域圖和頻譜圖可知:分度圓裂紋的存在使系統(tǒng)受到周期性沖擊,同時在嚙合頻率附近出現(xiàn)了豐富的邊頻帶。

目前,筆者僅對分度圓裂紋齒輪的嚙合動態(tài)特性進行了理論計算。在后續(xù)的研究中,筆者將開展分度圓裂紋齒輪嚙合實驗,以驗證理論計算的準(zhǔn)確性。