環線對地鐵網絡彈性的影響研究

潘守政，何 佳，王英平，賀正冰

（1.北京工業大學，交通工程北京市重點實驗室，北京 100124；2.交通運輸部規劃研究院，北京 100028）

0 引 言

在地鐵網絡受干擾而中斷的分析中，級聯失效是一個重要的研究方向，很多國內外學者對此進行了研究。黃愛玲等[3]建立了加權網絡下的耦合映像格子模型，對網絡的有權和無權要素進行耦合，研究了P 空間下地鐵網絡的級聯失效行為。修志博[4]分析了不同重要度的節點失效時產生的級聯失效反應，并對耦合系數進行了設定。熊志華等[5]使用級聯失效模型對軌道交通網絡上客流的擁堵傳播效應進行了分析，對初始值的選取和耦合參數進行了多種場景下的仿真分析。朱巖等[6]研究了上海地鐵網絡在面對級聯失效時的可靠性變化，發現強度越大的節點故障傳播能力越強，而耦合因子越大級聯失效的速度也越快。然而目前的級聯失效實驗都是以節點為基本單元，沒有區分不同類型站點失效所帶來的影響，而不同魯棒類型的站點面對級聯失效的反應（如失效閾值的不同）是不同的，現有的耦合映像格子模型還無法區分。

Sun 和Guan[7]沒有以傳統的節點或連邊作為失效對象，而是從線路運營的角度分析了城市地鐵網絡的脆弱性。通過收集運營線路的客流量數據，又結合傳統的全有全無分配法，在拓撲結構分析的基礎上得出了不同中斷概率下的脆弱線路。作者發現客流是引起網絡脆弱性的關鍵因素，而環形線路在運營中具有更強的魯棒性[8]，且線路的中斷不是孤立的，必然要影響相關的站點和線路。因此本文將改進的級聯失效模型分別應用于站點和線路水平，將不同站點和線路的狀態變化聯系起來，尤其對環線結構的脆弱性和魯棒性進行了深入分析。

對于網絡恢復階段的研究目前還較少，尤其是基于復雜網絡理論的分析，大部分學者都是以彈性指數的形式對網絡恢復性能進行衡量。Brunneau[9]在2003年提出彈性三角形概念，將彈性具體計算過程聚焦于彈性分析模型中的恢復過程。類似地，Twumasi-Boakye[10]等也用面積來表征彈性，但是更關注從失效到恢復整個過程的變化，而將網絡失效階段與恢復階段的分析結合可以使網絡性能的評價更加完整和客觀。

環形線網簡稱環線，是城市軌道交通網絡中一種首末站點重合的閉環線路，具有特殊的拓撲特性和運營功能。在很多城市的城軌網絡（如我國的北京地鐵、上海地鐵、成都地鐵等，以及莫斯科地鐵、東京地鐵等）都擁有環繞城市中心建設的地鐵線路。它們的地理布局特殊，往往同時與很多其他線路相連，有著重要的拓撲意義；同時，它們普遍還承接著較大的客流需求和換乘現象。因此不論是從復雜網絡角度來看，還是從運營角度來看，環線都是整個網絡中比較重要的線路結構。現有研究也表明了環線的特殊性和重要性[7-8]，因此更具針對性地研究環線受到干擾后對整個城市軌道交通網絡性能的影響很有必要。

環線在地鐵網絡中是一種特殊的拓撲結構，它既起到了串聯不同線路的作用，使網絡的連通性和可達性大大提高[11]，又使得網絡聯系更加緊密，但如果某一節點受到干擾也可以很快傳播到其他節點甚至整個網絡性能都會受到影響。Sun和Guan[7]發現上海地鐵中的4 號環線具有最高的平均介數值，而在客流加權的地鐵網絡中，環線和連接中心及郊區的徑線都很重要[8]。目前，國內外針對地鐵環線對網絡性能影響尤其是彈性方面的研究還較少，對于級聯失效下的環線作用機理了解仍然不多。與圖論中單純的拓撲結構不同[12]，交通系統中重要的客流因素賦予了地鐵網絡不同元素間更加復雜的聯系，而客流加權下的環線結構對網絡彈性的影響還沒有被深入探究。因此，研究地鐵環線的級聯失效對整個客流加權網絡的性能影響具有重要意義，也可以促進復雜網絡理論的發展。本文以北京市地鐵為例，從網絡彈性的角度出發，基于圖論和改進的耦合映像格子模型深入分析環線結構在網絡失效和恢復過程中的影響作用。研究結果為目前具有環線結構的地鐵系統的日常運營和維護提供了參考，預防和降低因系統故障而引發網絡癱瘓的風險，也為新建地鐵的線網規劃提供重要的理論依據。

1 網絡彈性分析和評價方法

1.1 基于耦合映像格子的級聯失效模型

耦合映像格子模型是研究混沌系統的常用工具，它將系統的時間和空間屬性離散化，但可以對系統的狀態變化進行連續性的動力學分析[4]。將該模型應用于網絡的級聯失效行為分析可以有效探究不同站點和線路間的耦合效應對網絡相繼故障行為的影響[5]。在實際中，不同站點和線路的魯棒性存在差異，受到不同程度的干擾后的失效閾值也應有所不同，因此本文在黃愛玲等[3]提出的模型基礎上，建立了針對不同站點魯棒性差異下的異質狀態更新模型，即采取拓撲結構和客流兩種因素耦合，針對不同類型站點探究二者共同影響下環形線網的級聯失效反應。考慮到拓撲結構耦合系數對傳播過程、故障峰值的影響較小，而流量分布耦合系數在考慮出行行為選擇的情況下也影響較小[3]，且蓄意攻擊模式下，故障傳播特性受R值影響較小，因此選擇固定的耦合系數進行研究。設ξ定拓撲結構耦合系數ξ1為0.25，流量耦合系數ξ2為0.25，ξ1,ξ2∈(0,1)且ξ1+ξ2<1。

本文中aij表示節點間的連接狀態，當節點i和j之間有連邊時為1，否則為0；d(i)為節點i的度值；s(i)為節點i的強度值（即客流加權下的度值）；K為初始干擾值且K≥1[3]。對于不同站點魯棒性差異下的異質狀態更新過程：節點i在t+1 時刻的狀態xi(t+1)由上一時刻的該節點狀態、魯棒性或脆弱性值ΔCi以及相鄰節點的狀態決定。當狀態值超過指定閾值Ti時判定該節點失效，在之后的狀態都固定為0。下一時刻失效節點的周邊節點的狀態值將受到影響并可能產生狀態值大于對應節點閾值的節點，從而繼續判定失效。隨著時間推移網絡便自動產生了級聯失效反應，直至所有節點的狀態值都小于Ti或等于0。f(x)為非線性映射函數，表示站點i的容量演化規律。本文采用一維映射函數f(x)=ax(1-x)，1 ≤a≤4，通常取a= 4。在網絡初始階段，任意節點的狀態值在0-1范圍內隨機給出。初始干擾模型為：

他跟著那個掙扎前進的人的痕跡向前走去，不久就走到了盡頭——潮濕的苔蘚上攤著幾根才啃光的骨頭，附近還有許多狼的腳印他發現了一個跟他自己的那個一模一樣的厚實的鹿皮口袋，但已經給尖利的牙齒咬破了。他那無力的手已經拿不動這樣沉重的袋子了，可是他到底把它提起來了。比爾至死都帶著它。哈哈！他可以嘲笑比爾了。

假定常規站點的基礎閾值為1，ΔCi=1-Ti。當節點的閾值大于1（魯棒性站點），ΔCi<0；節點的閾值小于1（脆弱性站點），ΔCi>0；而當節點為常規站點，失效閾值為1，ΔCi= 0。

1.1.1 客流重分配規則

在地鐵網絡中，當某一站點失效，其相鄰連邊上的客流會就近涌入周邊節點，引起周邊客流的重分布，如圖1所示。

圖1 節點失效下的網絡客流重分配示意圖Fig.1 Diagram of network flow redistribution under a node failure

因此，在級聯失效模型下，可定義如下客流重分配的原則[3]。當站點i失效后，與之直接相鄰的連邊ijn也隨之失效，連邊的流量Wijn將被重新分配到周邊節點j1,…,jn各自相鄰的連邊Wjnkn中，如圖1中箭頭所示為其中一條連邊Wij1失效后的客流重分配。分配之后這些相鄰連邊的客流權重Wjnkn將發生變化，如公式（3）所示。新的客流權重W new j1kn為原有客流權重Wjnkn和新分入客流ΔWj1kn之和。新分入客流ΔWj1kn的比例依據原有客流Wjnkn占節點相鄰連邊的總客流Sjn比重得到：

1.2 基于彈性分析模型的環線作用評價

地鐵系統彈性是一個動態變化的過程[1]，即面對系統內部（如信號短暫中斷）和外部（如突發大客流）的各種干擾，系統大多數情況下都能自我調整從而維持在正常性能水平。當面對一個突發的嚴重干擾時（如暴雨內澇、火災等），系統性能會大大降低，甚至癱瘓。這時需要外界救援和進行自我修復，經過一段時間才能恢復到正常水平，具體變化過程如圖2 所示[2]。基于復雜網絡理論，將地鐵系統抽象為網絡拓撲結構，更有利于系統的性能分析。本文將地鐵站點抽象為網絡節點，分為換乘站和非換乘站點。不同站點之間的連接路段抽象為網絡的連邊。由于同一地鐵線路的上下行路徑基本一致，遇到突發事件時往往雙向關閉，因此將地鐵網絡抽象為無向加權網絡，在此基礎上進行地鐵網絡彈性的分析。而客流因素也是地鐵網絡中的重要組成部分[13]，因此利用真實客流數據對網絡加權，根據網絡彈性的變化過程，分兩個階段對網絡彈性進行定量分析。在中斷過程中采用運營效率（見公式5）和節點失效比例作為彈性評價指標。

圖2 地鐵系統中的彈性變化Fig.2 Resilience changes in a subway system

在系統性能恢復的階段，依據Bocchini[14]和Wang[15]提出的彈性三角形概念進行定量評估。整個網絡在t1-t2時段內，通過采取一定措施使得網絡性能p(t)逐漸恢復，在這個過程中，p(t)上升曲線包圍的面積即為網絡的彈性R。p(t)是衡量網絡所能維持的正常功能水平的能力，定性來講可以分為彈性、脆弱性、魯棒性、可靠性等；定量來講可以采用多種評價指標來衡量，如運營效率[16]，其定量化計算公式為：

因此在彈性恢復階段，采用彈性指數R和運營效率μ（即客流加權下的網絡效率）作為彈性評價指標：

式中：dij為節點i和j之間的最短路徑長度（本文采用實際的站間運行時間作為節點間距離）；fij為兩站點間的實際客流量。

1.3 面向站點的中斷-恢復策略

為了更好地研究地鐵中環線結構對整個網絡彈性性能的影響，分別從站點和線路兩個角度考慮環線結構受到外界干擾失效后的地鐵網絡性能從降低到恢復的過程，具體策略如表1所示。首先模擬地鐵站點失效后產生級聯失效現象，初始節點分別選擇隨機節點、度值最大的節點和介數最大節點。節點度為與該節點直接相連的連邊數，可以反映節點作為樞紐的重要性水平。節點介數為通過該節點的最短路徑數占全網最短路徑數的比值，可以反映該節點作為橋梁節點的重要性水平[4]。之后為了探究環線結構的影響，在仿真恢復階段分別按度值大小對失效節點降序恢復，順序分為環線和非環線上的站點；在按介數大小對失效節點降序恢復時，順序同樣分為環線和非環線上的站點。

表1 面向站點和線路的中斷-恢復順序Tab.1 Disruption-recovery sequence for stations and lines

此外，考慮到地鐵網絡中換乘站具有特殊的拓撲和客流特性，環線和非環線上的換乘站失效對網絡彈性的影響可能也是不同的。因此，本文對現有級聯失效模型進行了改進，通過設置不同位置換乘站降低和提高狀態閾值來體現站點的魯棒性高低，可以有效研究環線和非環線上的換乘站易失效和施加保護后的四種情況下的網絡性能變化情況。在恢復階段，以換乘站為單位，對比優先恢復環線或非環線的網絡彈性值的變化，可以得到環線站點對整個網絡恢復性能的影響。

1.4 面向線路的中斷-恢復策略

在實際中，地鐵網絡在受到干擾時往往不是單一站點發生故障，而是多個連續區段的失效甚至整條線路失效。因此，本文還從線路的角度對環線的作用進一步分析，對比環線和徑線在失效情況下的網絡彈性變化。在性能降低階段，基于改進的級聯失效模型，分別研究環線易失效和施加保護兩種情況下的網絡性能變化。在網絡性能恢復階段，同樣設置不同的恢復順序（優先環線或非環線）來對比其作用。

2 實證分析——以北京市地鐵為例

北京市地鐵具有兩條明顯的環形線路（見圖3），是作為環線對網絡彈性影響的理想研究對象。同時使用2017 年10 月某周一上午早高峰6 點～8點的地鐵刷卡數據。經過數據清洗得到整個地鐵網絡的OD 客流，采用全由全無分配法進行流量分配，從而建立地鐵客流加權網絡。基于第二節的彈性分析方法，從拓撲結構和客流因素角度分析環線在北京地鐵網絡彈性中的影響作用。

圖3 北京地鐵拓撲結構圖Fig.3 Topological graph of the Beijing subway

2.1 面向站點的中斷-恢復場景研究

分別以隨機節點、度較大節點——車公莊站（排名第三）、介數較大節點——知春路站（排名第三）作為級聯失效的初始攻擊節點，仿真實驗的結果如圖4所示。由于節點的初始狀態為隨機給定，一組狀態值產生的結果具有偶然性，因此進行了100 組重復實驗，圖中陰影區域為標準差覆蓋區域，線條為相應均值。依據均值的變化水平，介數排名下的級聯失效高峰最早出現并且失效比例最高。而基于度攻擊的級聯失效卻最早導致網絡癱瘓，運營效率的下降也最快。相比之下，隨機攻擊下節點的失效速度最慢，但陰影區域的波動較小，曲線變化平滑。這表明一些重要節點在網絡失效過程中具有很大影響，一旦受到干擾后失效引發的級聯失效反應更劇烈，且具有很大不確定性。

圖4 不同站點攻擊策略下的網絡彈性變化（陰影區域為標準差）Fig.4 Network resilience changes under different attack strategies of stations

在網絡失效到0%和10%時，分別采用按度值（先環線或非環線）和介數（先環線或非環線）從高到低的順序，對網絡的恢復性能進行探究。順序一先按度值降序恢復所有環線上的站點，再恢復所有非環線上的站點。順序二則按度值降序優先恢復所有非環線上的站點。實驗結果如圖5所示，在網絡失效到0%時恢復，順序一彈性為0.71，順序二彈性為0.67。在網絡失效到10%時恢復，順序一彈性為0.73，順序二彈性為0.70。在同一失效規模下，初始階段兩種恢復順序下的運營效率恢復基本一致，但在中間階段環線優先下的恢復較快。在網絡失效到一定比例時，優先恢復環線使得網絡具有更好的彈性恢復性能，并且較早地采取恢復措施可以更好地提高網絡彈性，保障地鐵系統的運營性能始終維持在正常水平。

圖5 基于節點度降序恢復的網絡彈性變化Fig.5 Network resilience changes based on a descending recovery of the node degree

順序三按點介數大小先恢復所有環線上的站點，再恢復所有非環線站點。順序四按點介數大小先恢復非環線上的站點，再恢復所有環線站點。結果如圖6所示，按點介數大小恢復與按度恢復效果類似。依據公式（4）可知，在網絡失效到0%時恢復，順序三彈性為0.71，順序四彈性為0.66。在網絡失效到10%時恢復，順序三彈性為0.73，順序四彈性為0.69。但相同的現象仍是優先恢復環線使得網絡具有更好的恢復性能。

圖6 基于點介數降序恢復的網絡彈性變化Fig.6 Network resilience changes based on a descending recovery of the node betweenness

2.2 面向換乘站的級聯失效分析

地鐵網絡中，換乘站是一種特殊且重要的站點，尤其是環線上換乘站點的作用值得關注。在北京市地鐵網絡中，環線上換乘站有25個，非環線上有26個。在級聯失效階段針對換乘站設置了兩種中斷方式和兩種應對機制（見表1），共四種場景進行仿真分析。為體現兩種應對機制下的網絡彈性變化，對原耦合映像格子模型進行改進，可以針對特定類型的站點降低或提高級聯失效的閾值（參數ΔCi增加或減少0.5），來突出易失效站點（脆弱型）和施加保護的站點（魯棒型）。前兩種場景下，先攻擊環線度值排名第三的換乘站——車公莊站，將環線換乘站的失效閾值降低0.5（即增大換乘站脆弱性），ΔC=0.5。同理對非環線中度值排名第三的換乘站——東單站進行分析，結果如圖7的（a）、（c）、（e）所示。可以看出，兩種類型線路幾乎同時達到失效高峰，但非環線下的失效速度和運營效率下降得更快，而環線換乘站的失效則最快使網絡癱瘓。因此，短時間內，徑線中的換乘站對網絡彈性的影響較大，而長時間的失效狀態下，環線換乘站引發的級聯失效會使網絡最快癱瘓。這可能是因為環線中的換乘站往往具有更大的連通性，與其他節點的緊密程度較高，一旦失效波及 的站點較多，具有很大安全隱患。

圖7 換乘站不同策略下的網絡彈性變化（陰影區域為標準差）Fig.7 Network resilience changes under different strategies of transfer stations

后兩種場景下攻擊相同換乘站，將環線換乘站的失效閾值提高0.5（即增加換乘站魯棒性），ΔC= -0.5。同理分析非環線換乘站，結果如圖7（b）、（d）、（f）所示。在對換乘站進行保護的情況下，徑線上的換乘站會使網絡崩潰的更快，失效高峰也最大，而環線換乘站在受到保護策略后會使網絡具有較好的魯棒性。

之后分析相應的彈性恢復階段，站點恢復順序分為兩種：①先恢復所有環線上的換乘站，再恢復非環線換乘站；②先恢復所有非環線上的換乘站，再恢復環線換乘站。實驗結果如圖8所示，順序一彈性為0.70，順序二彈性為0.69，二者差別不大。這表明換乘站失效狀態下的網絡恢復性能相當，為更好提高網絡彈性，還是應將關注點放在預防失效階段，加強地鐵系統中重要區域的風險監管。

圖8 環線和徑線換乘站優先恢復下的網絡彈性變化Fig.8 Network resilience changes under priority recovery of transfer stations on circle and diameter lines

2.3 面向線路的中斷-恢復策略

針對北京地鐵特有的兩條環線和多條徑線組合成的網絡結構，分別選擇兩條環線10號線、2號線與兩條徑線4號線、1號線作為研究對象，基于改進的級聯失效模型對整條線路減少脆弱性和增強魯棒性下的級聯效應情況進行對比分析。設置初始節點的干擾強度K=2.4，隨機選擇一個站點施加干擾。針對某種線路上站點增大脆弱性的情況，實驗結果如圖9（a）、（c）、（e）所示。整體上，兩條環線的失效程度均大于徑線。10號環線最先達到失效高峰，而2 號環線最快使網絡癱瘓，并且運營效率也下降最快，4號徑線則比1號徑線使網絡更易失效。

相應線路的站點增強魯棒性的實驗結果如圖9（b）、（d）、（f）所示。與增大脆弱性的實驗相比，兩條環線在增強魯棒性的策略下對網絡彈性的提升明顯，級聯失效高峰大大降低，高峰時間和網絡癱瘓時間均得到延緩并低于徑線，如圖9（b）所示。其中，2 號線保護之后對于網絡魯棒性能的提升較明顯，網絡癱瘓時間大大延后。因此，靠近中心的環線其魯棒性的升高對網絡的整體性能提升較明顯，收到的效益也更高。在實際中，應有針對性地對其保護，將有限的資源進行合理分配。而在地鐵網絡初始規劃和不斷建設過程中，對線路和軌道網的規劃也應該注重線路的拓撲結構等，注重環線與徑線等不同線路形式結合下的網絡規劃選址。

圖9 各線路不同策略下網絡彈性變化（陰影區域為標準差）Fig.9 Network resilience changes under different line strategies

之后分析相應的彈性恢復階段，順序一先恢復所有環線，再恢復剩余徑線；順序二先恢復所有徑線，再恢復剩余環線。實驗結果如圖10 所示，順序一彈性值為0.78，順序二彈性為0.76。優先恢復環線可以使網絡的彈性值提升，但效果不明顯。因此，針對環線結構的失效和恢復情況，若要提高網絡整體彈性，從而降低級聯失效的破壞程度，還是應盡可能將系統資源放在運營維護和監管上，從開始階段就防止網絡失效的發生比癱瘓后的及時恢復所付出的代價更低，收到的效益也更高。

圖10 環線與徑線站點優先恢復下的網絡彈性變化Fig.10 Network resilience changes under priority recovery of circle and diameter line stations

3 總結

本文主要針對地鐵網絡中獨特的環線結構，在受到外界干擾后，環線對網絡整體彈性變化產生的影響，尤其在級聯失效情形下起到了何種作用進行了深入分析。以北京市地鐵網絡為例，基于圖論建立拓撲網絡模型并結合實際客流數據，采用改進的耦合映像格子模型從站點和線路兩個角度研究了網絡中斷和恢復的全過程。仿真結果表明環線結構在網絡性能的降低和恢復階段均具有重要的作用，環線上的站點失效引發的級聯失效反應更加劇烈，也使網絡最快發生癱瘓，尤其是換乘站點的失效（如車公莊站和東單站）。而在恢復時優先恢復環線上的站點可以使網絡更快地回到正常狀態，網絡整體具有更高的彈性值。并且在多環線網絡下，越靠近中心的環線應受到重點保護，如北京地鐵2 號線。此外，徑線中的換乘站點也很重要，它起到了連接郊區和中心的支點作用，一旦失效整條支線都將受到嚴重影響。該研究為目前地鐵網絡的建設、線路選址提供了從全局角度出發的參考，有效指導實際運營中管理人員對環線結構的監管和保護，也為復雜網絡理論中有關環線的拓撲結構特性的研究提供了重要補充。在未來可以繼續探究，如何根據各種相關指標確定具體站點和線路的魯棒性或脆弱性值以及所對應的狀態更新值，以及可能引起的不同級聯失效情況。