學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力發(fā)展的影響因素分析*

姜合峰 陳文鑫 謝亞錦 龔 葦

（1.太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西晉中，030619；2.太原師范學(xué)院教育學(xué)院，山西晉中，030619）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》中對數(shù)學(xué)抽象的表述是，通過對數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，從而得出數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)[1]。也就是從數(shù)量與圖形這兩種關(guān)系中，抽象出基本概念間的關(guān)系，由事物間的關(guān)系及內(nèi)部要素中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，最后通過數(shù)學(xué)語言表示出來。數(shù)學(xué)抽象能力與學(xué)生的數(shù)學(xué)思維之間存在著密切而復(fù)雜的聯(lián)系，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展可以使學(xué)生的思維更加具有邏輯性，有益于把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，進而深入理解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

一、數(shù)學(xué)抽象的重要價值

1.數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科價值

史寧中提出，數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴于抽象、推理和模型三個基本思想，其中抽象是核心。通過抽象，能夠把同數(shù)學(xué)有關(guān)的事物由外部世界變換到數(shù)學(xué)內(nèi)部，進而轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)的研究對象；借助推理，獲得數(shù)學(xué)的公理和計算方法，使得數(shù)學(xué)能夠快速發(fā)展；透過模型，開創(chuàng)了極富表現(xiàn)力的數(shù)學(xué)語言，在數(shù)學(xué)與外界兩者之間搭建了一座橋梁[2]。數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)發(fā)展的基本方式和渠道，貫穿于數(shù)學(xué)知識的形成、產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的全部過程，使得數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有嚴(yán)謹(jǐn)性、準(zhǔn)確性和廣泛應(yīng)用性。

2.數(shù)學(xué)抽象的教育作用

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，也是理性思維的基礎(chǔ)，它滲透在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中[3]。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識的層次結(jié)構(gòu)，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)和核心，提高理性思維水平。王光明等人的研究也表明，提升學(xué)生抽象思維能力有益于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率[4]。數(shù)學(xué)抽象思維與抽象能力皆具有很強的遷移功能，能夠增強知識和能力的效用，可以幫助學(xué)生更加高效地解決數(shù)學(xué)中的問題，以及日常生活或其他學(xué)科中的相關(guān)難題。

二、學(xué)生層面的影響因素分析

1.學(xué)生數(shù)學(xué)知識的掌握程度

數(shù)學(xué)抽象是以知識的本質(zhì)為核心，以知識的結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，實現(xiàn)知識轉(zhuǎn)化的過程，是在一個熟悉、關(guān)聯(lián)或綜合的情境中進行的[5]。學(xué)生對已有數(shù)學(xué)知識的整體把握程度越好，進行數(shù)學(xué)抽象的過程就越順利。

數(shù)學(xué)知識是層層遞進的，每個知識點之間都存在關(guān)聯(lián)性，對數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系的理解是進行抽象的關(guān)鍵之一。學(xué)生厘清知識點之間的邏輯關(guān)系，建立清晰、簡明的知識框圖之后，再進行數(shù)學(xué)抽象就會容易很多。需要用到哪個知識點，便能順著知識點之間的聯(lián)系，更加方便、快捷地提取所需內(nèi)容，進而運用到數(shù)學(xué)抽象的過程中。

例1.（2019 全國理科卷）直四棱柱ABCDA1B2C1D2底面是菱形，AA1=4，BA=2，∠BAD=60°，E、M、N分別是BC、BB1、A1D的中點，求證：MN∥平面GDE.

這類題的證明過程會涉及多個性質(zhì)、定理等。證明線與面平行，立刻想到線面平行的判定定理，通過直線MN與平面C1DE中一條直線平行證明線面平行，將問題的解決轉(zhuǎn)到證明線線平行上。線線平行證明的方法有很多，結(jié)合已知條件選取合適的解決方法來證明即可。許多學(xué)生在思考過程中，雖然能夠想到線面平行的判定定理，但是在證明兩條線平行時，想不到利用平行四邊形的性質(zhì)來證明，這是由于學(xué)生對知識整體掌握不扎實，阻礙了相關(guān)知識的重現(xiàn)和提取，導(dǎo)致問題的解決出現(xiàn)困難或者錯誤。學(xué)生要對知識本質(zhì)深度理解，并對概念之間的邏輯聯(lián)系整體把握，才能通過細節(jié)“順藤摸瓜”提取關(guān)鍵知識點，完成抽象過程。

2.學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展程度

數(shù)學(xué)是一門抽象性較強的學(xué)科，要在思維相當(dāng)活躍的情況下方能收到較好的學(xué)習(xí)效果。從理論上說，數(shù)學(xué)中的符號語言實際上是數(shù)學(xué)思維的外顯形式，而數(shù)學(xué)思維就是數(shù)學(xué)符號語言的內(nèi)核。數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)思維的載體，反映了數(shù)學(xué)思維的基本特征。在數(shù)學(xué)抽象的過程中，學(xué)生的思維是不可缺少的一個重要因素，它為數(shù)學(xué)抽象提供幫助，為數(shù)學(xué)抽象開辟新的途徑，使數(shù)學(xué)抽象進行得更加順利。

數(shù)學(xué)知識體系是一個紛繁復(fù)雜的體系。在進行數(shù)學(xué)抽象的時候思維發(fā)散，從一點出發(fā)聯(lián)想到多個相關(guān)聯(lián)的知識點，便可對數(shù)學(xué)知識達到層次性的認識。若只局限于數(shù)學(xué)中的某一模塊，數(shù)學(xué)抽象就會遇到障礙。當(dāng)數(shù)學(xué)抽象遇到阻礙，試著轉(zhuǎn)換角度、轉(zhuǎn)變方向，從另一個數(shù)學(xué)角度進行分析、理解，便可能在另一范圍中得到想要的結(jié)果。

例2.求（x+x2+y）5展開式中的x5y2系數(shù)。

受思維的局限，學(xué)生往往會一項一項計算，這樣就很復(fù)雜。如果試著跳出這個范圍，從“排列組合”的角度進行思考，就會容易很多。其實，x5y2也就是x·x2·x2·y·y，從“排列組合”的角度來思考，就是從五個x+x2+y中分別抽取一個x、兩個x2、兩個y進行相乘，從而求出x5y2的系數(shù)。由此可見，走出固定的“圈子”，發(fā)散思維，從多個角度進行思考，數(shù)學(xué)抽象也會變得更順利。

3.學(xué)生數(shù)學(xué)能力水平的高低

數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)抽象能力，在抽象過程中是相輔相成的，數(shù)學(xué)能力的缺失，會讓數(shù)學(xué)抽象能力降低。因此，在抽象過程中，數(shù)學(xué)能力的作用是不可忽視的。

以數(shù)學(xué)閱讀理解能力為例。如果學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力不夠，那么一些偏向數(shù)學(xué)化的語言在學(xué)生看來就顯得晦澀難懂，這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展。相反，如果數(shù)學(xué)閱讀能力相對較好，在看到一些題目或者閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)概念、文章等時，就能舍棄無用的干擾信息，準(zhǔn)確地理解核心內(nèi)容，并由此聯(lián)想到相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，進而能在已有的知識結(jié)構(gòu)中提取相關(guān)內(nèi)容，實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象。因此，要想使數(shù)學(xué)抽象能力提高，就需要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)能力保持一種較高水平。

例3.（2018 北京理科）“十二平均律”是通用的音律體系，朱載堉最早通過數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻。把1 個純八度音程劃分為12 份，按順序獲得13 個單音，并且自第2 個單音開始，每個單音頻率和上一單音頻率之比都為，若第1 個單音頻率為f，則第8 個單音頻率為多少？

此題實質(zhì)上是一個有關(guān)于等比數(shù)列的問題。如果學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力有限，很容易受到題目的背景和載體信息的干擾，使其無法正確地理解題干，不能抓住題目中的關(guān)鍵信息。學(xué)生若具備較強的數(shù)學(xué)閱讀理解能力，便能拋開題目背景以及無用信息，保留下關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息，并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進行解答。由此可見，在數(shù)學(xué)抽象過程中，數(shù)學(xué)閱讀理解力也是必不可少的。學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解力足夠強，才能剔除題目中與數(shù)學(xué)無關(guān)的信息，從而確定數(shù)學(xué)研究的對象，進行深入的分析。

4.同伴互助學(xué)習(xí)的有效程度

著名的教育家蘇霍姆林斯基表示：在學(xué)習(xí)中，情緒對學(xué)生起著某種積極的作用，可以刺激學(xué)生產(chǎn)生更加強烈的學(xué)習(xí)欲望，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)更具有成效。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也不例外，良好的學(xué)習(xí)氣氛以及互助活動，能使學(xué)生更加積極地思考，并參與討論、探究互動，在輕松愉悅的環(huán)境下交流探討新知識，通過學(xué)生之間的溝通進行思想上的碰撞，互相啟發(fā)，感悟數(shù)學(xué)抽象。

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是枯燥乏味的，特別是一些較為抽象的數(shù)學(xué)知識更不易理解。在課堂上激勵學(xué)生開展有效地互動學(xué)習(xí)，營造愉快和諧的學(xué)習(xí)氛圍，能夠調(diào)動學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的積極性，在一個心情舒暢的狀態(tài)下進行交流思考、互助啟發(fā)、活躍思維，提高數(shù)學(xué)抽象能力。在枯燥無趣的數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生死氣沉沉，學(xué)習(xí)氛圍低沉，同伴之間也沒有交流，只有教師在侃侃而談，學(xué)生會喪失探索知識的積極性，思維也會停滯，數(shù)學(xué)思維得不到足夠的鍛煉，便會導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力無法得到有效提升。

部分同學(xué)可能對這道題束手無策，而有些同學(xué)則會有思路和方向，也會有一部分學(xué)生能正確解答。如果開展小組合作學(xué)習(xí)，組內(nèi)進行充分交流，共同對題目進行解讀，探討解題思路，便能幫助學(xué)生利用有關(guān)的數(shù)學(xué)公式對已知條件一步步進行變形，最終解決數(shù)學(xué)問題。通過合作學(xué)習(xí)，同伴之間相互幫助，思維充分活躍起來，共同探究解題的關(guān)鍵，這樣無思路的同學(xué)自然有了解題思路，也會在潛移默化中提高自身的數(shù)學(xué)抽象能力。

三、教師層面的影響因素分析

1.教師對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的重視程度

教師對基礎(chǔ)知識的鉆研程度以及備課的有效性都受到其對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重視程度的影響。數(shù)學(xué)中的定理、公式等的證明過程蘊含著很多重要的數(shù)學(xué)方法和規(guī)律，教師對基礎(chǔ)知識重視不夠，會使這些有價值的內(nèi)容不能被充分挖掘，思維過程不能完全暴露出來，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提高。反之，如果教師足夠重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，在課前鉆研教材，根據(jù)學(xué)生的認知發(fā)展，對知識進行編排重組，能使學(xué)生更加準(zhǔn)確、深刻地理解數(shù)學(xué)知識，這對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展有著推動作用。

2.教師對數(shù)學(xué)抽象能力的理解

教師在學(xué)生發(fā)展過程中的角色，決定了教師應(yīng)具備較高的專業(yè)水平。教師要對數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容等有深度的理解，清楚自己在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所起的作用，要有計劃地實施培養(yǎng)策略，切實提高學(xué)生的抽象能力。

教師只有逐步加深對數(shù)學(xué)抽象能力的正確理解，才會明白數(shù)學(xué)抽象能力對于學(xué)生來說具有多么重大的意義，繼而真正重視起來。教師只有真正理解數(shù)學(xué)抽象，才能結(jié)合抽象的特點，對課堂教學(xué)進行改進和完善，使教學(xué)內(nèi)容的編排形式有利于學(xué)生學(xué)習(xí)，從而在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力上取得預(yù)期的效果。如果教師對數(shù)學(xué)抽象理解不到位，領(lǐng)悟不到數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)和關(guān)鍵，就無法采取相應(yīng)的措施對學(xué)生進行培養(yǎng)。

3.教師對教學(xué)方法的選擇

學(xué)生獲取知識和培養(yǎng)能力主要是在教師課堂教學(xué)過程中實現(xiàn)的，因此，要想學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力要所進步，就要抓住課堂上的時間，讓學(xué)生在有限的時間內(nèi)，得到更多的鍛煉。教師要不斷地改進教學(xué)，使用不同的教學(xué)方法，增加教學(xué)環(huán)節(jié)中的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使得教學(xué)效果更加理想。

學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)并非一件簡單的事，要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，就要讓學(xué)生的思維充分活躍起來。如果教師教學(xué)方法單一，學(xué)生課堂參與度不足，無法緊跟教師的思路進行思考，久而久之，學(xué)生思維水平就會下降。而不同的教學(xué)方法，能充分帶動學(xué)生思考，鍛煉思維能力，進而便于理解數(shù)學(xué)知識。教學(xué)方法的多樣化，還能在一定程度上營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，這對提高數(shù)學(xué)抽象能力也起到很大的促進作用。

4.教師的教育觀念

教師的教育觀念會影響教學(xué)的方式方法以及對教學(xué)的理解。教師的教學(xué)方法陳舊、對教學(xué)理解不正確、對素質(zhì)教育的特點和規(guī)律了解不足，皆是教師教育觀念落后的表現(xiàn)。教育觀念落后會使教師把教學(xué)授課當(dāng)作一種心理負擔(dān)，導(dǎo)致課堂教學(xué)效果不佳，學(xué)生被動接受，挫傷學(xué)生的積極性，對學(xué)生抽象能力的提升產(chǎn)生負面影響。如果教師能緊跟時代步伐，全面貫徹素質(zhì)教育理念，正確認識學(xué)生學(xué)習(xí)能力培育的重要性，采用科學(xué)的教學(xué)方法對學(xué)生進行培養(yǎng)，可以收到事半功倍之效。

學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力是不可能在短期內(nèi)養(yǎng)成和發(fā)展起來的，需要經(jīng)過一個漫長的熏陶過程，才能有所提升。教師在這一過程中要足夠耐心時刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，及時提供幫助，當(dāng)好引路人。