數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析課程教學探析*

劉美春 王芬

（廣東金融學院 金融數(shù)學與統(tǒng)計學院）

一、引言

數(shù)學建模是基于實際問題，抽象簡化構(gòu)建數(shù)學模型，求解數(shù)學模型得到數(shù)學結(jié)果，基于結(jié)果，解釋實際問題，并分析其合理性。數(shù)學建模解決實際問題的過程實際就是運用相關理論進行實踐的過程[1]。

隨著全國數(shù)學建模競賽的發(fā)展壯大，數(shù)學建模的影響力進一步提升。在2020年，數(shù)學建模的實踐和活動被列入全國高級中學的教學計劃[2]。數(shù)學建模思想的重要性進一步為廣大教育者認可。李大潛建議“將數(shù)學建模的精神融入數(shù)學類主干課程”[3]。近年來，相關研究也很多[4-6]。

數(shù)值分析是數(shù)學專業(yè)的專業(yè)必修課程，以及部分理工科類專業(yè)本科或者研究生的數(shù)學基礎課程。它研究如何利用計算機求解各類數(shù)學問題的近似值問題，教學內(nèi)容包括插值法、曲線擬合、數(shù)值積分、線性方程組求解等，既有數(shù)值計算方法的理論學習，如算法穩(wěn)定性、收斂性、誤差分析等等，也研究數(shù)值計算方法的計算機實踐[7]。因此，數(shù)值分析課程既包含數(shù)學理論，具有純數(shù)學的抽象性與科學性，而其課程背景和性質(zhì)，又使得具有強應用性和實踐性[8]。

將數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析課程是可行而且有利的。本文將討論將數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析課堂的相關問題。

二、數(shù)學建模思想與數(shù)值分析學科的融合點

數(shù)值分析學科兼具純數(shù)學理論抽象性和應用的實踐性。把數(shù)學建模思想應用于數(shù)值分析課堂，為數(shù)值分析課程理論性和實踐性搭建溝通橋梁，是可行的。

首先，數(shù)值分析研究是數(shù)學建模過程的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學建模解決實際的生活、生產(chǎn)過程問題，其過程包括了從實際問題中進行抽象簡化以構(gòu)建數(shù)學模型、基于模型尋找或者設計合理的數(shù)值計算方法/方案以求解數(shù)學建模、基于數(shù)值方法上機計算以求出結(jié)果、基于結(jié)果解釋實際問題以得到實際問題的解決方案等多個環(huán)節(jié)，如圖1所示。其中，利用數(shù)值計算方法進行模型求解是數(shù)值分析課程研究的內(nèi)容。

圖1 用數(shù)學和計算機解決實際問題的過程

其次，“近似”思想是數(shù)學建模和數(shù)值分析學科共有的思想方法。數(shù)學建模在利用數(shù)學及相關理論解決實際問題的過程處處有誤差。構(gòu)建模型是基于對實際問題的抽象簡化，會產(chǎn)生模型誤差；測量或者觀測確定數(shù)學模型的參數(shù)時，會產(chǎn)生觀測誤差；利用數(shù)值算法求解模型會由于方法本身產(chǎn)生截斷誤差，上機計算會由于計算機字長限制等產(chǎn)生舍入誤差。所以，“近似”是貫穿數(shù)學建模整個過程的思想方法。而數(shù)值分析討論的是各式數(shù)學問題的近似值，“近似”是數(shù)值分析學科核心的思想和方法，誤差分析是數(shù)值分析的各種算法的理論分析中不可或缺的環(huán)節(jié)。數(shù)學建模思想的融入將加深學生對數(shù)值算法“近似思想”的理解和體驗。

最后，部分數(shù)值分析的理論是基于數(shù)學建模解決實際問題的需求而產(chǎn)生。

恩格斯說：“數(shù)學是從人們的實際需要中產(chǎn)生的。”荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾說：“數(shù)學來源于現(xiàn)實，扎根于現(xiàn)實”。同其他數(shù)學課程一樣，數(shù)值分析的大多算法來源于實際問題的需要，基本都被應用于解決實際的問題，其各種算法的形成、算法應用過程便是完整的數(shù)學建模的過程。例如，在實際應用中需要利用解析函數(shù)進行數(shù)據(jù)描繪的需求。而已知條件是函數(shù)表格，各種情況（自變量）下，監(jiān)控目標出現(xiàn)的相應特征（因變量）已知，但自變量與因變量之間的關系未知；又或者自變量與因變量的映射關系已知，但不便于計算，需要找潛在函數(shù)的近似函數(shù)。于是，便出現(xiàn)了插值法和曲線擬合法，二者基于不同的近似假設構(gòu)建近似函數(shù)，滿足不同的實際需求。再比如，許多實際問題可以歸結(jié)為定積分的求解。按牛頓-萊布尼茲公式，定積分的值等于被積函數(shù)的原函數(shù)在積分上下限的函數(shù)值的差。而在實際問題中，有時會遇上困難。比如有些被積函數(shù)原函數(shù)雖然存在卻無法用初等函數(shù)表示，或者原函數(shù)表達式非常復雜，或者被積函數(shù)是用圖表表示，就無法使用牛頓-萊布尼茲公式直接求解，需要求定積分的近似值。因此產(chǎn)生了數(shù)值積分。這些數(shù)值理論的產(chǎn)生背景為構(gòu)建實際問題案例提供了參考。

因此，把數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析課堂教學是可行的。

三、數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析課程教學的意義和方法

數(shù)值分析研究各種不同的數(shù)學問題近似解求解問題，這些數(shù)學問題大多來源于先修的課程，如高等數(shù)學、線性代數(shù)、常微分方程、數(shù)學建模、計算機編程等，因此，數(shù)值分析教學內(nèi)容涉及面廣；數(shù)值分析每一章針對不同的數(shù)學問題，各章節(jié)內(nèi)容之間相對獨立，章節(jié)連貫性較差；數(shù)值分析既有繁瑣的公式，有復雜的理論分析，如收斂性、穩(wěn)定性分析、誤差分析等等，也要求算法實踐。數(shù)值分析問題來源于各類生活生產(chǎn)、工程、經(jīng)濟中的實際問題，要授予學生各類算法的數(shù)學知識、原理，鍛煉學生邏輯思維能力，更要培養(yǎng)學生學以致用，學會分析問題、解決實際問題的能力。教學實踐證明，數(shù)值分析的教與學都極具難度[8]。

與多數(shù)課程一樣，數(shù)值分析傳統(tǒng)課堂的教學方式為“老師在講臺上講授，學生在下面座位上聽講”的“灌輸式”。課堂上更偏重理論知識的講授，注重算法的思想、定理的推理證明、公式的推導等，并通過例題、練習來鞏固相關理論，課程實驗的上機實踐主要是算法的實現(xiàn)。傳統(tǒng)教學模式強調(diào)理論知識結(jié)構(gòu)的完整、邏輯思維的嚴密性，能幫助學生有效完成知識積累。然而，傳統(tǒng)教學模式內(nèi)容比較枯燥，特別是數(shù)學理論比較抽象、晦澀難懂，教授方式也比較單一，都會影響學生學習的積極性；另一方面，傳統(tǒng)教學方式對知識的應用性重視不夠，對學生學以致用、分析問題、基于理論解決實際問題能力的培養(yǎng)和訓練不夠。事實上，這些能力是學生在當今這個信息爆炸時代生存和發(fā)展的重要保證，具備這些能力，他們才能更好地利用海量的碎片化的信息。而這也正是高等教育目標。

將數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析課程的教學，利用數(shù)學建模“溝通數(shù)學與應用的橋梁”的功能，有利于改善傳統(tǒng)教學的“重知識輕實踐”的不足。

（一）重視教學案例的應用，在教學中融入數(shù)學建模思想

理論與實踐并重是數(shù)值分析課程的特點，“用數(shù)學”也是數(shù)學教學的主要目的之一。數(shù)學建模是應用數(shù)學及相關理論解決實際問題的過程。因此，案例教學是數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析課堂教學的重要手段。

比如，利用案例進行概念教學，可以使抽象的概念形象化。第一章中的概念 “舍入誤差”是浮點數(shù)在計算機上表示或者計算時，由于字長的限制進行舍入引起的誤差。可使用“因特爾奔騰處理器缺陷”案例加深學生對舍入誤差的認識。數(shù)學家托馬斯?萊斯利教授擬計算素數(shù)的倒數(shù)之和，其使用的模型合理（舊計算機計算結(jié)果正確），但在裝有新奔騰芯片的計算機上運算結(jié)果卻跟理論計算結(jié)果不符。這件事發(fā)酵到最后，結(jié)果是確認因特爾公司新芯片有缺陷，導致“舍入誤差”設計方面不合理，公司不得不預留出4.2億美元的補償金。該案例不僅讓學生對舍入誤差有深刻認識，一個小誤差最終導致天價的賠償，也讓學生對誤差分析的重要性有了更深的體會。

再如，案例教學還可以把數(shù)值分析課程不同章節(jié)的內(nèi)容連接起來，甚至把數(shù)值分析與其他先修課程的內(nèi)容聯(lián)系起來，達到了融會貫通、學以致用、“用數(shù)學”的目的。函數(shù)逼近（插值法/曲線擬合）和數(shù)值積分分屬不同的獨立章節(jié)。用 案例“某地居民用水量”把課程“插值法”“曲線擬合”的內(nèi)容與“數(shù)值積分”內(nèi)容連接起來。如表1所示。

表1 某地居民用水量案例[9]

案例教學中，通過有實際生產(chǎn)或生活背景的應用示例，有利于激發(fā)學生們學習興趣和熱情，更好地掌握相關算法思想、算法應用等，也進一步提高其應用數(shù)學的能力。

按照數(shù)值分析學科特點，可以多渠道挖掘、選擇合理的案例。

（1）依照概念、定理、算法的數(shù)學背景，或者應用場景選擇案例。例如前面提到的“舍入誤差”，源于計算機對數(shù)據(jù)字長的限制，因此可以從相關領域選擇案例。另外，數(shù)值分析的許多算法源于各類生活生產(chǎn)、工程、經(jīng)濟中的實際問題。比如，樣條插值的產(chǎn)生是由于某些實際生產(chǎn)問題要求插值函數(shù)不僅連續(xù)，而且要有較好的光滑性，比如飛機的機翼外形、內(nèi)燃機的進、排氣門的凸輪曲線等，不僅要求近似曲線是連續(xù)的，對曲線的光滑度也有要求，曲率要連續(xù)（一階、二階導連續(xù)），后者普通的插值算法無法保證，因此出現(xiàn)三次樣條插值技術。因此，可以在“三次樣條插值”的教學中選擇“繪制直升飛機旋轉(zhuǎn)機翼外形輪廓線”的案例。再比如前面提到的“居民用水”案例則源于算法應用。

（2）利用數(shù)值分析與先修課程的關系，拓展案例來源。數(shù)值分析研究的是各類數(shù)學問題的近似解求解方法，而其中一些問題來源于其他先修課程。比如數(shù)值積分、線性方程組求解，分別來源于高等數(shù)學/數(shù)學分析、高等代數(shù)/線性代數(shù)等課程。可以尋根溯源，根據(jù)數(shù)學問題的來源來選擇合適的示例。例如前面所提到的“居民用水量”案例，追溯其根源，歸屬為定積分的應用問題（數(shù)學分析課程）。另外，線性方程組問題歸屬于高等代數(shù)，微分方程問題歸屬于常微分方程等等。

（3）從數(shù)學建模競賽題目中選擇合適的題目作為案例。模型求解是數(shù)學建模的重要環(huán)節(jié)，在模型求解中往往需要用到數(shù)值分析方法。在數(shù)學建模題目中，常有涉及數(shù)據(jù)處理與統(tǒng)計分析方面的題目，可以選擇作為案例。

（二）利用線上平臺輔助教學，線上線下融合，多渠道融入數(shù)學建模思想

各類數(shù)學問題的數(shù)值方法及其上機實現(xiàn)，算法思想、算法分析及算法實現(xiàn)是數(shù)值分析課程的主要研究對象，課程教學的重點。“基于教學案例融入數(shù)學建模思想”是輔助的教學手段，使學生了解算法的來龍去脈，了解算法的應用，鞏固對算法的理解。課堂教學應該主次分明，不可喧賓奪主。

而事實上，從案例的引入到數(shù)值算法的使用到實際的應用，中間涉及復雜的計算分析。比如案例為實際生產(chǎn)問題的建模求解時，其完整過程包括抽象簡化、建模、求解、分析檢驗等，數(shù)值分析方法的選擇與使用只是模型求解中的一個環(huán)節(jié)。課堂上，為了更有效利用時間，主次分明，除了數(shù)值計算的使用，其他相關步驟都被不同程度地簡化。學生的基礎不同，接受程度也不同，為了給學生呈現(xiàn)完整建模求解過程，可以采用線下為主，線上為輔的線上線下融合的教學方式。借助線上教學平臺，以教學輔助資料、教學小視頻等方式完善實際問題的數(shù)學建模，或者提供建模思路，供學生學習參考，這也是數(shù)學建模思想的融入方式。

除了課堂，線上輔助教學平臺，還可以利用課后作業(yè)、課程實驗等渠道融入數(shù)學建模思想。例如，課后作業(yè)除了傳統(tǒng)的計算題，可以增加具有實用背景的應用性題目；課程實驗，除了算法的實現(xiàn)內(nèi)容，還可以增加類似于數(shù)學建模內(nèi)容的實際生產(chǎn)生活問題，允許雙人合作或者多人的團隊合作，并以課程論文替代常規(guī)的實驗報告等等。

四、結(jié)語

數(shù)值分析是大學數(shù)學類專業(yè)的專業(yè)必修課程，有純數(shù)學課程的嚴謹抽象，也具有很高的實踐性要求。數(shù)學建模具有“溝通數(shù)學與應用的橋梁的功能”，把數(shù)學建模思想融入數(shù)值分析課程的教學，符合數(shù)值分析課程的特點。數(shù)學建模思想的融入，有利于抽象理論與其實踐應用的有機融合，激發(fā)學生對算法應用、算法實現(xiàn)的興趣，鞏固學生對算法的理解與掌握，同時培養(yǎng)學生理論運用于實踐的能力，值得繼續(xù)探索。