揭示數學本質 提升學生素養
——對“基本不等式的證明”教學的思考*

黃智華 (江蘇省南京市秦淮區教師發展中心 210002)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自四星級重點高中高一普通班，基礎較好，有一定的自學能力、推理能力及運算能力，而且已經有了課前預習自學的習慣.

1.2 教材分析

所用教材為蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學(必修5)》.“基本不等式的證明”是第3章第4節的內容，這節內容由“基本不等式的證明”和“基本不等式的應用”兩部分組成.基本不等式在后續的學習中是作為定理直接應用的，它在求函數最值、證明不等式方面有廣泛的應用，課標要求熟練掌握、靈活運用，所以要讓學生經歷知識的發生、發展、應用、深化認識和理解的完整過程.基本不等式的證明及簡單應用是本節課的重點.

教材給出了證明基本不等式的三種證法，分別是作差比較法、分析法和綜合法，并在“思考”中給出了基本不等式的一種幾何解釋，可以認為是基本不等式的一種幾何法證明.幾何法證明是從圖形的度量關系得到基本不等式，賦予基本不等式以幾何直觀，這種證明方法需要構造合適的圖形，這也成為教學的難點，但它可以突出數形結合的數學思想，通過“數”與“形”兩個方面加深學生對基本不等式的理解與掌握.

例1所承載的教學功能是基本不等式的簡單應用，用它證明其他不等式，以此熟練掌握基本不等式.在實際教學中，學生延用比較法、分析法、綜合法來證明，這符合學生認知規律；不同的證明方法可以活躍學生的思維，發展學生的思維能力.分析、比較各種證明方法，引導學生發現運用基本不等式來證明是最簡潔的，它屬于綜合法證明不等式.必須追問：怎么會想到運用基本不等式來證明的？帶領學生一起分析問題的結構特征：不等式左邊是兩個正數的和，右邊是常數，可以看作是左邊兩個正數(互為倒數)的積，符合基本不等式的本質特征，所以可以直接運用基本不等式來證明.例1有兩個小題，要揭示它們本質是一樣的，都是求證“一個正數和它的倒數之和大于等于2”.

教學目標 (1)經歷基本不等式的探究發現和邏輯論證的過程，體驗、感受數學發現和創造的快樂，感知從特殊到一般、化抽象為具體的數學研究方法；

(2)會用作差比較法、分析法和綜合法證明基本不等式，發展邏輯推理素養，理解幾何法證明基本不等式，領悟數形結合思想，滲透數學文化，發展直觀想象、數學建模素養；

(3)能用基本不等式證明其他相關的不等式，能夠利用基本不等式求函數最值，突出體現整體換元法；

(4)能讓學生從數學角度主動發現問題、提出問題和分析解決問題.

教學重點 基本不等式的證明及簡單應用.

教學難點 基本不等式的幾何法證明.

2 教學過程

2.1 基本不等式的探究及證明

問題1實數a,b的等差中項和等比中項分別是什么？

說明考慮到教材上的問題情境不太切合實際、學生解決起來有困難，所以教學就從數學內部提出問題引入課題，這更利于教學活動的有效開展，有利于突出教學內容的本質，有利于構建邏輯連貫、前后一致的教學進程，有利于發展學生的認知力.在學生思考問題1時，提出只有a,b同號才有等比中項，培養學生質疑和批判性思維.啟發引導學生自己主動提出問題2，培養學生的問題意識.在猜想結論的時候，學生得出了錯誤的結論，教師便將錯就錯，讓學生經歷從錯誤走向正確的真學習過程，深化了學生對數學本質的認識.

問題3請同學們證明猜想出的結論.

方法1 作差比較法，具體證明過程略.

方法2 分析法，具體證明過程略.

方法4 幾何法，通過構造圖形來證明.

方法4應該是在學生課前預習自學的基礎上給出的.追問學生是怎么想到的？這是本節課的難點.借此介紹“無字證明”，展示中國古代數學的成就，滲透數學史，提升數學文化素養.

2.2 基本不等式的內容及認識

·基本不等式

·兩個數學概念

·深化對基本不等式的認識

通過設置以下四個問題深化對基本不等式的認識與理解：(1)基本不等式的文字語言表述是什么？(2)基本不等式成立的條件是什么？(3)基本不等式等號取得的條件是什么？(4)基本不等式所揭示的本質是什么？

一個數學對象通常可以用三種語言(文字語言、符號語言、圖形語言)來描述，三種語言相互支撐、相得益彰，三種語言之間的相互轉化可以加深學生對這一數學對象的認識.讓學生經歷“犯錯—尋錯—糾錯”的探究過程，深化學生對基本不等式成立條件的認識.等號取得的條件是在學生證明過程中加以強化的.基于現在的學生學習了很多數學知識不知道怎么用，什么時候該用、什么情況下能用，提出問題(4).通過學生獨立思考、相互交流討論，得出結論：給出了兩個正數的和與積之間的不等關系，這其實也是基本不等式的結構特征.這些認識為學生正確運用基本不等式解決問題奠定了扎實的基礎.

行為記錄的追蹤分析在商業領域已經獲得充分地應用，并取得了一定的成果，例如淘寶策劃的“雙十一”活動就是在對海量用戶訪問、購買行為記錄的分析基礎上策劃了一次十分成功的營銷活動。在這一點上，黨校圖書館的信息整合建設也可以吸取經驗。例如，黨校圖書館可以以中央黨校為核心，以各省市黨校為分支，以地級市黨校為末梢，對我國黨校讀者的行為記錄進行采集、分布式計算以及非結構化的數據挖掘與分析，統計分析不同區域不同層次的黨員干部的閱讀傾向、知識結構、關心要點、知識漏洞，大數據的數據采集、挖掘、分析能夠讓黨校圖書館更好地進行信息整合建設，為我國黨校的教學科研更好地提供服務。[4]

2.3 基本不等式的應用及深化

例1設a,b為正數，證明下列不等式成立：

適度拓展的目的是引起學生對基本不等式成立條件的重視，這是學生今后運用時的易錯點.通過拓展訓練給學生思考、辨析機會，可以深化學生對所學新知的認識，同時滲透分類討論、化歸轉化等數學思想，培養學生思維的嚴謹性，優化學生的思維品質，發展學生的數學能力，提升學生的數學素養.

2.4 課堂小結

數學知識角度：基本不等式的內容、結構特征、證明方法以及簡單應用.

思想方法角度：從特殊到一般進行猜想，然后論證猜想結論，突出數學研究方法；體現化歸轉化、數形結合、分類討論等數學思想.

核心素養角度：直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模等.

2.5 課后探究及課后作業

課后探究：現有一臺天平，兩臂長不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量.這種說法對嗎？說明你的結論.

課后作業：教材第98頁練習1～2，第101頁習題1～2.

3 教學反思

3.1 學生的自學要學到真知識，課堂教學要讓學生經歷真學習

現在很多的課改提倡“先學后教”“少教多學”，旨在突出學生學習的主體地位.學生的自學是不是真正能學懂，是不是能抓住數學的本質，是否提出有價值的問題，是否能學到數學研究方法、領悟蘊含其中的數學思想，這些都值得關注和研究，課堂教學要讓學生經歷真學習.

3.2 創設問題情境讓學生多角度、多層次認識和鞏固新知

其次是讓學生自主證明猜想得到的結論，出現了不同的證明方法，特別是幾何證明方法的出現，讓學生從“數”與“形”兩個方面來認識、掌握基本不等式.通過證明，讓學生既確信基本不等式是正確的，又學到了數學研究的方法.

再次是設計了四個小問題幫助學生深化對基本不等式的認識，目的是讓學生能正確使用基本不等式、弄清楚基本不等式的本質以及能解決什么問題.

最后是講解例1和變式拓展，加深學生對基本不等式成立條件和本質的認識.

3.3 關注數學思想方法的教學，使教學更富有思想性

本節課的教學有意識地滲透了“化歸轉化”“分類討論”“數形結合”“化抽象為具體、從特殊到一般”等數學思想方法，重點突出了“數形結合”的數學思想.

圖1 圖2 圖3

其次，借助學生熟悉的初中知識介紹“無字證明”——通過構造圖形來證明數學命題，給出了學生熟悉的公式(a+b)2=a2+2ab+b2的無字證明(圖2).

最后讓學生從我國古代數學家趙爽給出的“勾股定理”的無字證明(圖3)中找出“基本不等式”(這是人教版教材的引入設計)，既培養學生識圖能力、整體代換能力，突出基本不等式的幾何背景，更提升學生的數學文化素養.

滲透數學思想方法的教學增加了課的內涵，豐富了數學教學的思想性，從而促進了學生思維的深入，其學習就有了深度.數學思想是數學的靈魂，與數學基本方法一起常常在學習掌握數學知識的同時獲得，提高數學素養的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用.