基于“至簡數學”基本觀念的變式教學實踐

摘要：“至簡數學”基本觀念包括學生觀、教師觀、數學觀、教材觀、學習觀、教學觀.如何秉承“至簡數學”的基本觀念實施課堂教學，本文中以“關于原點對稱的點的坐標”的變式教學為例，擬秉承教材觀、學生觀、教學觀的教學策略，通過“始于簡單而終不簡單”的變式教學模式，致力于“改善學”實現學生自主發展，“改善教”實現增強教學效益.

關鍵詞：至簡數學；變式教學；“四基”；“四能”；數學素養

“至簡數學”基本觀念包括：學生觀是“人人享有學好數學的權利”，教師觀是“成為學生數學學習的重要他人”，數學觀是“數學是‘人的數學’‘活的數學’”，教材觀是“在充分理解的基礎上靈活運用”，學習觀是“只要好學就能學好，只有學會才能會學”，教學觀“始于簡單而終不簡單”［1］．

1 基于“至簡數學”的變式教學策略

1.1 基于教材觀，研“變式”教學

靈活運用教材，在充分理解教材的基礎上對教材進行再創造，使課時教學具有整體性，成為既有復習前知，又有預習新知，也有學習新知的教學范式，從而實現“形簡而神不簡”.

教材分析：

人教版九年級上冊第23章“旋轉”的知識結構導圖如圖1.

從知識結構圖可知，“關于原點對稱的點的坐標”一節處于本章中間位置.《義務教育數學課程標準（2022年版）》課程實施中教學建議第2點指出：“整體把握教學內容，注重教學內容的結構化，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養.”［2］基于此，為實現至簡數學“讓學生學簡單的數學，讓學生簡單地學數學，讓學生數學學得不簡單”的目標，對本節內容進行“變式”教學研究.

初始設計：教學流程如圖2，由關于原點對稱的點的坐標，到求關于原點對稱的點的坐標，再到關于原點中心對稱的點的坐標變化規律的應用，最后到畫求關于原點對稱的圖形.屬于通用式設計，未能實現教材的“活”.

變式設計：教學流程如圖3，以教材例題為母題進行一題多變的變式教學模式，根據圖形的旋轉，由關于原點對稱的點的坐標，到求關于原點對稱的點的坐標，再到關于原點中心對稱的點的坐標變化規律的應用，然后到畫求關于原點對稱的圖形，接著到圖案的設計.各知識點之間相互交替形成一個閉環，整章節知識內容環環相扣，使課時教學含單元教學、新授課教學含復習與預習教學，使單元知識結構化，擬實現“理解”“再創造”教材的目標.

1.2 基于學生觀，讓“四基”落地

落實基礎知識，至簡數學擬通過“經驗化數學”，引導學生運用已有的學習經驗解決新的問題，激發每一位學生的思考，促進每一位學生的創新，讓數學學習變為思考和創新的實驗場，使得人人會學數學［3］.在案例變式教學中，擬通過課本教學例題，以至簡的知識問題串，誘發學生學習數學的欲望，逐步引導學生運用已有的構造全等三角形的經驗、方法，解決變式教學中旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向發生變化的問題，領悟構造全等三角形求解的通性通法，從而達到讓學生掌握基礎知識、學會基本技能、感悟基本思想、用活基本活動經驗的教學目標.

1.3 基于教學觀，滲透“數學”素養

研讀分析教材，取簡易教學素材；融通知識要點，抓住數學核心；思“創新”教法，悟“變式”教學模式.本變式教學課例以過程原則為主導，通過“游戲數學”讓數學娛樂化，通過“動手數學”讓數學操作化，通過“實驗數學”讓數學實驗化，讓學生從具身認知、實踐認識、實驗認識等方面自然而然地獲得數學認知與發展.

以簡約方式，授簡明內容，促學生學習.以信息技術化繁為簡，化抽象為直觀，本變式教學課例融合信息技術開展教學，利用希沃白板制作“基礎鞏固趣味選擇”數學小游戲，結合幾何畫板演示構造全等三角形，運用幾何推理論證數學猜想的正確性，使學生樂于參與數學學習，樂于積極進行數學思考、探索創新.

變式教學課例中，通過數學猜想、實驗論證、幾何證明、從一般到特殊、從數字到字母、從抽象到直觀、經歷實踐感知等，培養學生的數學素養，加強學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，引導學生歸納總結解題的通性通法，培養學生的類比思想、構造全等思想、數形結合思想、面積割補思想、轉換思想等，感悟數學素養，促進核心素養自然生長.

2變式教學案例

2.1 原題呈現

探究 如圖4，在直角坐標系中，作出下列已知點關于原點O的對稱點，并寫出它們的坐標.這些坐標與已知點的坐標有什么關系？

A（4，0），B（0，-3），C（2，1），D（-1，2），E（-3，-4）.

例 如圖5，利用關于原點對稱的點的坐標的關系，作出與△ABC關于原點對稱的圖形.

進行“變式”教學設計時，將上述探究與例題合二為一“創造”情境.

2.2 情境引例

在學校足球比賽模擬訓練中（定點傳球不考慮時間與位移）A，B，C，D，E，F，O七位同學的站位情況如圖6所示，思考：當A傳球給O時，O順時針轉90°傳球給F，F是否可以接到O傳來的球？并說明理由.

設計意圖：激發學生思考，引導學生進行數學建模，啟發學生進行思維轉化，將學生的站位當作點的位置建立幾何模型來求解.

2.3 “創造”變式例題

在學生建立坐標系判斷F是否可以接到球之前，請學生先思考如下問題：

（1）如圖7，請寫出A，B，C，D，E，F，O七位同學的坐標位置.

設計意圖：落實基礎知識，激發每一位學生的思維，以基礎為起點吸引學生積極參與學習.

（2）①請同學們寫出A，B，D，E關于原點對稱的點的坐標，并猜想：對稱點之間的坐標存在什么關系？

②猜想：若對任意點M（x，y），則點M（x，y）關于原點對稱的點的坐標為M1（-x，-y）.同學們可以證明它的正確性嗎？

實驗證明：如圖8，利用幾何畫板，拖動點M（x，y），引導學生觀察點M1坐標的變化情況.

幾何證明：如圖9，過點M，M1分別作x軸的垂線，垂足為N，N1，

引導學生構造全等三角形進行證明，并思考判定三角形全等的依據.

設計意圖：培養學生“四能”，引導學生通過推理證明結論的正確性，讓學生體驗由數字到字母、由特殊到一般、從猜想到數學實驗論證及推理的證明過程，培養學生感受數學的嚴謹性、辯證思維等素養.

③基礎鞏固，趣味選擇.

在多媒體教學平臺自帶功能中設計趣味游戲活動.

設計意圖：通過趣味游戲活躍數學課堂，激發學生學習興趣，鞏固課堂知識內容，提高限時計算速度和速算的準確率，增強學生的競爭意識.

（3）在圖7中，連接AB，AC，BC，作出△ABC關于原點對稱的圖形△A1B1C1.

解析：問題（3）答案如圖10所示.

設計意圖：落實課堂教學目標，引導學生分析、歸納、總結作圖方法，為變式訓練、知識遷移作鋪墊.

（4）在圖7中，以點E為對稱中心，作出△ABC關于點E對稱的圖形△A2B2C2.

解析：問題（4）答案如圖11所示.

設計意圖：進行知識遷移，改變對稱中心的位置，讓學生探究關于點對稱的坐標的解題通性通法，培養學生自主探究能力.

（5）在圖7中（F是否可以接到球的問題），連接AO，繞點O順時針旋轉90°得到點A3，求對應點A3的坐標.

解析：通過構造全等三角形進行證明，如圖12，得到點A3與點F的坐標重合，所以F可以接到球.

設計意圖：改變旋轉角度，激發學生探究欲望，引導學生運用已有的活動經驗解決新的問題，培養學生發現、提出、分析、解決問題的能力.

（6）在圖7中，若C傳球給O，O用與C同樣的力度逆時針旋轉90°傳球，B應往哪個坐標位置點接球？

解析：通過構造全等三角形進行證明，如圖13，點C旋轉到點C3的位置，所以B在C3的坐標處接球.

設計意圖：改變旋轉方向，培養學生的作圖能力以及構造全等三角形的思維方法，引導學生歸納總結求此類題型的通性通法，拓展學生思維空間，讓學生體驗從抽象到具體的轉化過程，發展學生數學素養.

（7）在圖7中，點D繞點E順時針旋轉90°后得到點D1，求點D1的坐標.

解析：問題（7）答案為D1（-2，6），如圖14.

設計意圖：改變旋轉中心、旋轉角度，加強學生對知識的靈活運用，引導學生體驗、生成模型思想（“一線三垂直”“雙垂圖”等）.

（8）在（7）的條件下，求點D運動到D1時，所經過的路徑長.

解析：問題（8）解題思維圖如圖15所示，答案略.

設計意圖：對知識進行深化、延伸，由求點的坐標拓展到求點的軌跡長，拓展學生思維空間，加強學生對綜合知識的運用能力，培養學生幾何直觀素養.

（9）如圖16，當△AGO繞點O順時針旋轉90°時，求線段AG掃過的面積.

解析：問題9解題思維圖如圖17所示，答案略.

設計意圖：綜合運用，加強學生對數形結合思想的運用能力，滲透割補法求面積的方法技能，讓學生體驗化歸、轉換思想.

（10）如圖18，作出△ABC繞點O順時針旋轉90°，180°，270°后的圖形，并說明是什么模型圖，由此聯想到了什么知識或性質、定理？

解析：問題（10）答案如圖（趙爽弦圖模型圖，勾股定理幾何推理圖等）19所示.

設計意圖：鞏固課時學習內容，預習新課知識內容.滲透數學文化、傳統文化，實現立德樹人的教學目標.

3 結語

通過“改善學”的“至簡數學”教學，讓全體學生“樂意學”，讓多數學生“沉迷學”，讓部分學生“善于學”．

通過“改善教”的“至簡數學”教學，讓參與研究的教師“輕松教”，讓愿意探索的教師“享受教”，讓深入研究的教師“善于教”．將“至簡數學”教學設計和教學實施作為自變量，專業素養作為因變量，能達到促進教師專業水平發展的目的．

學生學習的視角維度在探究中不斷發生變化，思維能力逐漸被喚醒，幾何直觀素養、推理能力獲得培養，思維空間不斷地擴容，數學素養自然而然地生長.

總之，至簡數學致力于“改善學”實現學生自主發展，“改善教”實現增強教學效益.

參考文獻：

［1］鄧凱.“至簡數學”秉承的基本觀念［J］.中學數學，2022（10）：18-19，23.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］張景中.張景中教育數學文選［M］.上海：華東師范大學出版社，2021：34-47.