二次函數與實際問題常見題型梳理分析

摘要：通過對二次函數與圖形面積問題、拋物線模型問題、最大利潤問題的梳理分析，指出三類問題基本題型主要特征是求解函數表達式和最值；在解決二次函數類問題的過程中，準確根據二次函數基本概念和限制條件寫出解析表達式，是求解問題的基礎；根據梳理分析，解題者可以盡快把握二次函數與生活中實際問題相結合的基本題型問題特點，從而有針對性高效解決問題.

關鍵詞：二次函數；拋物線；最大值；利潤；最大利潤

二次函數作為初中數學的重點內容，涉及二次函數的概念、圖象和性質等基本知識點，既可以與一元二次方程產生關系，又可以與幾何中的圖形關聯起來，是已學代數知識與幾何知識的一次小結合.通過二次函數的學習，可以將以往學過的諸多知識點利用圖形串聯起來，為后續更深入的學習打下基礎.因此，相較別的章節該內容知識點較多，綜合性強，出題變化空間大，是學習的難點、重點.在教學中，教師要通過梳理該章節三大關系（函數圖象與字母的關系、函數取值范圍與最值關系、函數圖象與特殊圖形的關系），促使學生掌握函數的基本性質，熟悉涉及實際生活問題的基本概念（如利潤等）.

本文中結合實例對二次函數與圖形面積、拋物線模型、最大利潤三個基本題型的解題基本思路進行梳理.

1 二次函數與圖形面積問題

二次函數與圖形面積問題，基本題型一般為籬笆與墻的模型問題，可通過題設信息建立有關面積的函數解析式，在此基礎上求面積最值即可.

例1 某育花基地擬建一個矩形花圃，花圃一面靠墻，其余三面用竹子圍成籬笆形成如圖1所示的矩形ABCD，籬笆總長度為32 m，墻可利用的最大長度為12 m，設AB=x（單位：m），ABCD占地面積為y（單位：m2）.（1）求y關于x的解析表達式；（2）當AB長度是多少時，花圃面積最大，最大面積是多少？

分析：正確求解y關于x的解析式的關鍵有兩個.一個是寫出BC邊長的表達式；另一個是要準確寫出自變量x的取值范圍.很多學生恰恰容易忽視第二個關鍵點.

解：根據題意，BC邊長度為（32-2x）m，則矩形ABCD的面積y=（32-2x）x=-2x2+32x.又因為12≥32-2xgt;0，且xgt;0，所以y關于x的解析式為y =-2x2+32x，10≤xlt;16.

（2）由（1）可得y =-2x2+32x=-2（x-8）2+128.因為-2lt;0，所以該函數圖象開口朝下.因為拋物線的對稱軸為直線x=8，且由（1）知x的取值范圍是10≤xlt;16，所以當x=10時，花圃面積y最大，最大面積為120 m2.

注意：該類型題目有時會在籬笆圍成的矩形內設置條件，諸如籬笆上開門，籬笆圍成的區域內還有一道籬笆，或籬笆內有樹，等等，無非是增加限制條件，但萬變不離其宗，關鍵是要準確理出籬笆、墻與限制條件之間的關系.

2 二次函數與拋物線模型問題

該類問題直接點明所研究對象的運動軌跡符合拋物線，因此首先要將實際問題轉換成數學問題，再結合建立的函數關系，分析此種關系的圖象性質，進而解決問題.基本題型一般為噴泉、秋千、球、子彈等物體的運動形態，在提煉出解析式后，根據限定條件求最值，這其中要注意掌握圖象的對稱性質.

例2 一同學投擲壘球，忽略空氣阻力，其飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）滿足h=at2+bt，兩次測量到飛行高度為18 m時所用時間分別為1 s和3 s.試求：（1）小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）的解析式；（2）從飛出到落地的整個飛行時間是多少？（3）球在飛行過程中，最大高度為多少？此時飛行了多長時間？

解：（1）根據題意，在不同時間出現兩次高度相同的情況，列出二元一次方程組

18=a+b，

18=9a+3b，

解得a=-6，

b=24.由此得出，小球飛行高度h與飛行時間t的解析式為h=-6t2+24t.

（2）球在地面，即h=0，則由0=-6t2+24t，解得t1=0，t2=4.故球從飛出到落地時間為4 s.

（3）由h=-6t2+24t，得h=-6（t-2）2+24，即t=2時，h取得最大值，且最大值為24.所以當球飛出2 s時，其飛行高度最高，且為24 m.

注意：解決該類問題時，若題中給出解析式，則一般是根據解析式求最值；若僅粗略給出解析式的模型，那么要根據已知條件來求解析式的相關系數，這其中可能要用到拋物線的對稱性；若沒給出解析式，則需要建立合適的直角坐標系，使拋物線位于直角坐標系的合適位置，進而根據已知條件并結合圖形，求出解析式中的相關系數.

3 二次函數與最大利潤問題

該類問題多與銷售有關，不會直接說明利潤與產品售價的關系，往往需要先找尋產品售價與產品銷售數量的關系，在此基礎上，再進一步探尋利潤與售價的關系.基本題型一般會出現類似“若要使每……，則需每……”的字眼，這需要解題者熟悉銷售中的常見概念，如：利潤=銷售價格-成本，總利潤=單件商品銷售利潤×銷售量，利潤率=（利潤/成本）×100％.提到“最大”，如果是二次函數，那么就要結合題意來判斷曲線開口方向，其解決問題的一般步驟為：首先列出函數表達式，確定自變量取值范圍；然后根據自變量取值范圍，使用配方法或者公式法表示出函數解析式，若二次函數的最大值對應自變量的值不在取值范圍內，需根據函數圖象和函數增減性的特點，求出自變量取值范圍內的函數最大值.

例3 某旅游度假村通過組織村民將土特產加工包裝成禮品盒的方式售給游客，以此增加旅游收入.若該土特產每個禮品盒成本價為100元，在試銷階段發現日銷售量S（單位：盒）與每盒售價t（單位：元）呈一次函數關系，其中當每盒售價為150元時，每日售出250盒，每盒售價為200元時，每日售出200盒.

（1）求日銷售量S關于t的函數解析式；

（2）若后續銷售情況與試銷階段相同，要使該土特產每日銷售達到最大利潤，則每盒定價應為多少？每日最大利潤為多少？

解：（1）根據題意，設S=at+b，則可根據銷售情況列出關于a，b的方程組為

250=150a+b，

200=200a+b，

解得a=-1，

b=400.故日銷售量S關于t的函數為S=-t+400.

（2）根據題意可知，單盒商品利潤為（t-100）元.設每日銷售利潤為G元，則

G=（ t-100）（ -t+400）

=-t2+500t-40 000

=-（t-250）2+22 500.

因為-1lt;0，所以該曲線開口向下.故當t=250時，G取得最大值，且最大值為22 500.

所以每盒定價應為250元，每日獲得的最大利潤為22 500元.

注意：在解決該類問題時，無論問題中是提到單件商品降價，還是單件商品漲價，最后所要關注的都是最大利潤是多少.而計算最大利潤的前提條件之一是一定要先準確表達出單件商品的利潤，然后與銷售量的函數表達式建立關系，進而計算總利潤.

熟練掌握函數基本概念是根本，在此基礎上要明白二次函數的解析式和圖象恰似鳥之兩翼，互相配合，以式現圖，以圖化式.厘清變與不變的關系，“變”體現的是過程，“不變”則體現的是限制條件，關鍵在于建立函數關系，抓住函數性質以及限制條件.學會轉換，才能以不變應萬變.