基于核心素養的數學概念生成教學的實踐與思考

摘要：傳統的概念教學更關注的是概念的呈現，而忽視了概念的生成過程，這就導致了學生對概念的記憶是碎片化、機械化的，不能進行有效地應用和拓展．本文中以“探索三角形相似的條件（2）”為例，引導學生在原有認知的基礎上對概念進行自主建構，經歷概念的發現、形成、理解和應用過程，促進學生思維的縱深發展，培養學生數學直觀、邏輯推理、數學抽象等核心素養．

關鍵詞：數學概念；數學概念生成教學；核心素養

章建躍教授曾說“教數學根本上是教概念的”，可見概念教學在教學中的核心地位．而現在的數學概念教學很多都是基于概念的強化應用，很少關注概念的生成過程，因此以核心素養為導向的數學概念生成教學，值得我們去實踐和思考．筆者以執教的市級公開課“探索三角形相似的條件（2）”為例，對基于核心素養的數學概念生成教學進行嘗試．

1 教學過程

1.1 類比舊知，發現概念

概念的發現是概念生成教學的源頭，是根據數學自身發展的需要，在學生新舊認知的沖突中產生的，可以激發學生的思維，培養學生質疑思辨的品質．

在進行“探索三角形相似的條件（2）”的教學時，首先

引導學生從已學知識“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”中發現相似三角形位置的特殊性導致的局限性，再類比全等三角形判定方法的探究方式，借助已有的知識經驗，猜想判定三角形相似的方法可以通過減少相似三角形概念中的條件來得到，并且比判定全等的條件更加簡化．

設計意圖：在學生原有認知經驗的基礎上，幫助學生發現原有結論的局限性，引發探索三角形相似的其他條件的必要性，培養學生質疑思辨的品質．通過滲透類比思想，借助已有探索經驗去發現概念，為后面猜想并形成概念建構“最近發展區”打下基礎，激發學生的探究欲．

1.2 實踐操作，感知概念

實踐是學生獲取知識、積累經驗的最好途徑，學生在實踐操作中通過探索感知概念的存在，通過合情推理和演繹推理來驗證猜想的正確性．

活動1：（1）請畫出一個△ABC，使得∠A=30°，∠B=45°，并將其剪下．

（2）和同桌手中的△ABC比較，它們相似嗎？

（3）如何驗證？

從學生在實踐操作中得到的△ABC中任意挑選兩個，猜想它們相似，再通過度量各邊和各角來驗證這兩個三角形的三組角分別相等、三組對邊是成比例的，即用相似三角形的定義來說明所剪的兩個三角形相似．但是，在用推理方式驗證時，學生存在一定的困難.因此，教師可引導學生通過平移、疊合的方法得到圖1中的圖形，利用圖形運動變化的思想來說明BC∥B′C′.這一過程是“推理”的關鍵，通過平移將兩個三角形疊合在同一三角形中，從而得到△ABC∽△A′B′C′．

設計意圖：通過實踐操作和探索，引導學生經歷合情推理和演繹推理的過程，通過猜想、度量、驗證，讓學生初步感知“在兩個三角形中，只要有兩個角分別相等，那么這兩個三角形就相似”．通過類比、操作、猜想、推理的活動過程，為后面探索、研究三角形相似的其他判定條件積累基本活動經驗，同時提升學生邏輯推理等數學素養．

1.3 抽象概括，形成概念

概念的形成過程重于概念本身，在感知概念的存在后，抽象概括出三角形相似的條件，從而形成概念，幫助學生發展數學抽象思維能力．

學生從活動中抽象出判定三角形相似的條件，教師引導學生思考是否需要三個角對應相等，從而弱化條件，得到“有兩個角對應相等的兩個三角形相似”．再通過提問“只有一個角對應相等能否判定兩個三角形相似？”來說明“兩角”的充分性和必要性．

設計意圖：通過抽象概括，了解概念的本質，進而歸納出概念，讓學生經歷概念生成的全過程，引導學生自主建構知識，學會質疑思辨，感受由特殊到一般、由具體到抽象的數學思想，經歷由低階到高階的思維過程，從而培養學生數學抽象的核心素養［1］．

1.4 運用變式，明晰概念內涵

變式教學是連接“四基”與創新思維的紐帶，可以深化學生對概念的理解，了解其內涵和本質，激發學生內驅力，發散學生思維．

練習 判斷圖2中的兩個三角形是否相似．

變式1 判斷圖3中的兩個三角形是否相似．

變式2 在△ABC和△DEF中，∠A=60°，∠B=∠E=40°，當∠D=°，△ABC與△DEF相似．

設計意圖：學生對于新學的概念，認識是不全面的，為了糾正學生對概念理解的偏差，設計了系列變式.練習和變式1需要直接或間接運用概念去判斷三角形是否相似，變式2滲透分類討論的數學思想，引導學生自主分類，尋找對應關系，通過概念辨析和對概念的再認識，來加深對概念內涵的理解．

1.5 活動探究，感受概念外延

活動探究可以全面培養學生的高階思維能力，在活動中學生親身經歷利用概念構建基本相似模型的過程，感知概念的外延．

活動2：用兩個活動1中剪下來的三角形拼出一些位置較特殊的圖形，將圖形畫下來，并寫出三角形相似的條件．

教師借助圖1，引導學生學會尋找公共角等隱含條件；再給學生充分的時間進行小組合作，教師巡查中給予適當指導，挑選部分有代表性的模型貼在黑板上，讓學生標上字母，如圖4；然后讓學生說出每個圖形中的隱含條件和證明相似所需添加的條件．

設計意圖：通過活動讓學生梳理原有的認知結構，明確構建模型的依據和方法，經歷觀察、分析、操作以及思考的全過程；通過合作交流，自主建構一些三角形相似的基本模型，感受概念的外延．這些基本模型并不是教師直接給出的，而是學生親身實踐的成果，這樣更有利于學生深刻地認識概念的內涵，從而提升學生的幾何直觀素養．

1.6 應用拓展，構成概念體系

概念的應用是反饋學生對概念掌握情況的依據，幫助學生更深刻地理解概念的價值，而概念的拓展延伸則是幫助學生聯系前后知識，發展縱深思維，最終形成完整的概念體系．

例題 如圖5，已知在△ABC中，AB=AC=5，點D，E分別在AC，BC上，DC=1且∠CED=∠BAE，那么△ADE與△AEC相似嗎？若相似，請求出AE的長.

教師帶領學生經歷從猜想到驗證的過程，兩位學生分別從“三角形的外角”和“等角的補角相等”兩個不同的角度來證明這兩個三角形相似，鼓勵學生一題多解．在分析完題目后，教師再給出規范的證明步驟，幫助學生培養良好的邏輯推理能力；然后追問是否還存在其他的相似三角形來深入挖掘題目的價值；最后引導學生總結三角形的相似可以用來求邊和角，讓學生自主編題并交流．

設計意圖：應用概念是概念鞏固的有效途徑，也是概念教學必不可少的環節.但區別于傳統概念教學的就題講題，本環節更注重概念體系的構成，圍繞角、相似三角形以及邊之間的關系展開，了解這些元素之間的聯系，進而展開教學，引導學生從新的高度對概念進行理解和再認識，在培養學生縱向思維的同時，更是關注了學生橫向思維的發展，有助于學生形成完整的思維體系．設計自主編題環節，鼓勵學生在已有知識經驗基礎上，多角度的思考，借助同一知識，用不同的方法去解決問題，培養學生的創新意識和解決問題的能力，提升學生幾何直觀、邏輯推理、數學抽象等核心素養．

2 教學思考

2.1 基于核心素養的數學概念生成教學的優勢

數學概念生成教學是在原有認知的基礎上引導學生對新的數學概念進行自主建構和意義獲得的一種具有開放性、互動性、多元動態的教學形式．相比于傳統的概念教學，數學概念生成教學更注重教學的過程，突出個性化構建，是學生針對教師所給出的教學情境生成屬于自己獨有認知的一種教學方式．基于核心素養的數學概念生成教學可以通過學生對數學概念自主建構的生成過程來調動學生積極性，提升學生思維，提高學習效率，深化學生認知，促進數學核心素養的形成．本文從問題情境、探究過程、概念歸納、內涵與外延的挖掘、概念體系的構成這五個基本環節出發，研究了如何幫助學生從真正意義上去發現、形成、理解與應用概念，促進學生直觀想象、邏輯推理、數學抽象等核心素養的發展．而數學核心素養的培養不僅能強化學生的思維能力，還能提升學生的動手能力和實踐能力等素質能力［2］．

2.2 把握課堂中的認知沖突

認知沖突是激發學生探究的源泉，它的產生可以是教師提前預設的，例如第一個環節中，在問題情境的設定下，引導學生發現位置的局限性，用舊知無法說明三角形相似，從而產生認知沖突，凸顯探究新知的必要性．認知沖突的產生也可以是學生思維碰撞的結果，例如第二個環節，在形成概念的過程中，學生抽象出的兩個三角形相似的條件是三個角分別對應相等，有學生提出反對意見，覺得只要兩個角分別對應相等就可以了，第三個角對應相等可以通過三角形的內角和得出，至此，在學生的辯論過程中，認知沖突得到了化解．把握課堂中的認知沖突可以幫助學生突破思維障礙，發掘知識內涵，優化和完善學生的認知結構［3］．因此，教師在課堂中要學會巧設、誘發認知沖突來激發學生的探究欲，進而發展學生的數學思維．

2.3 重視對數學思想的滲透

“四基”是落實核心素養的抓手，其中數學思想是一節課的內核，貫穿于整節課的始終．本節課中主要滲透了“類比”和“數形結合”思想，在概念發現的過程中，引導學生通過類比全等三角形，得到探索三角形相似條件的方法，通過結構化的視角，引導學生運用類比思想，將已有活動經驗遷移到本節課中，從而建立新舊知識的聯系．在研究相似三角形邊、角之間數量關系的過程中，多處滲透“數形結合”思想，如變式2和例題，由數到形，從角度的相等關系去判定三角形相似，再由形到數，利用相似三角形的性質去求邊的長度．在概念教學中重視對數學思想的培養，可以引導學生自主思考，讓學生在分析、解決問題的過程中發展數學核心素養．

在數學概念生成教學中滲透核心素養是探究學習的有效方式，在以后的數學概念教學中教師應該更好地去抓住課堂生成資源，深入研究和分析數學概念生成教學，引導學生積極主動地參與課堂，增強學生的自主學習意識，積累學習經驗，形成高階思維能力和數學核心素養．

參考文獻：

［1］葉文建.對概念生成教學的認識——“曲線與方程”教學引出的思考［J］.中小學數學（高中版），2009（Z1）：33-34.

［2］崔明.論初中教學中如何培養學生形成數學核心素養［J］.課程教育研究，2018（19）：121-122.

［3］高廷學.將數學思想融入初中函數教學［J］.數理天地（初中版），2022（11）：78-80.