“小”概念,“大”智慧

摘要：中學數學教學的核心應是培養學生的思維能力，而概念的掌握是思維的基礎、知識的支點.本文中以“二次根式”為例，強調“小”概念中有“大”智慧，正確扎根知識的生長點、掌握思維的連接點、探索方法的遷移點，為學生搭建自主探究、體會題意、發揮潛能、創新思維的學習平臺.

關鍵詞：數學概念；二次根式；非負性

1 教材簡析

本節課是蘇科版八年級下冊第12章“二次根式”的起始課，是“數與代數”領域的重要內容，它與已學內容“實數”“整式”“勾股定理”等緊密聯系，也是將要學習的“解直角三角形”“一元二次方程”“二次函數”等內容的重要基礎.

“二次根式”概念的展開，是深入掌握本章節各類題型的重要切入點.學生在此之前已經學習了平方根、算術平方根以及實數的有關概念，因此，在二次根式的概念教學中，教師可以給學生提供對比算術平方根、概括概念本質特征的機會，讓學生參與到二次根式概念的產生、發展、形成的動態過程中，化枯燥、抽象的概念課為生動、自由的教學互動，促使學生靈活運用性質去解題.正如小事情中有大學問，“小”概念中也有“大”智慧.如果起始課激發了學生“迫不及待”的求知欲望，幫助學生理解知識、掌握知識，便能讓概念教學在初中課堂落地生根.

2 教學過程簡錄

2.1 尋求知識的生長點——二次根式的定義

2.1.1 設問引導，回顧已知

復習平方根和算術平方根的概念：

（1）3的平方根是±3；

（2）3的算術平方根是3；

（3）－5有意義嗎？為什么？ 0呢？

（4）一個非負數a的算術平方根應表示為a（a≥0）.

設計意圖：本節課的教授是在學生已經學習了平方根、算術平方根、立方根概念的基礎上，設立的幾個問題都是喚醒學生對已有知識的思考，重拾“算術平方根”的概念.

2.4 課堂小結

教師和學生一起回顧本節課的主要內容，并請學生回答下列問題：

（1）本節課你學習到了哪一類新的式子？

（2）二次根式有意義的條件是什么？二次根式的值的范圍是什么？

（3）二次根式和算術平方根有什么關系？

（4）你有什么解決二次根式問題的方法可以分享？

設計意圖：在課堂小結中，依然注重概念的構建和深化，推動學生在后續的練習中找到知識的生長點，讓學生對概念的理解在問題的解決中得以延伸和拓展.

3 基于概念教學的幾點思考

數學概念的理解能力，就是從本質上把握知識的能力，這也是初中數學新課標的重要目標之一.就當前的課程實施現狀來看，為了提升學生的理解能力，教師需要在概念的形成、表述、辨析、應用的教學過程中下功夫.如何讓學生體悟抽象思維的過程，促進深度學習？筆者認為，教師在概念教學中，應把握好以下幾個著力點，便能讓“小”概念，展現“大”智慧.

3.1 經歷概念的形成過程，尋求知識的生長點

一味以做題來代替思考、忽視概念的教學嚴重背離了數學教育的初心.數學教學是為了培養全面發展、具有數學思維和創新能力的人，并不是為了尋求解題高手.概念的形成，應該自然、合情合理，教師一定要研究如何引入并定義這個概念.

在本課例中，為了使知識點自然生長，教師選擇了從溫故知新和生活情境兩個方面引入.一方面，以復習回顧已經學習過的平方根、算術平方根、立方根的概念為基礎，連環設問，喚醒學生對已有知識的思考，并對“算術平方根”產生聯想，為進一步形成“二次根式”的概念做好準備.這樣一來，既可以鞏固已學概念，又可以激發學生在新的層面上的探究意識，從而實現知識點的系統化串聯.另一方面，生活情境的引入

促使學生對未知概念燃起探索的興趣，選取一些與課堂內容密切相關的、典型的、豐富的素材.比如，無錫的櫻花、高架橋、物理學科中學習過的自由落體運動等，以此來啟發學生自己去發現規律，用自己的方式去嘗試闡明概念.通過各種導入方式，讓學生經歷概念的形成過程，尋求知識的生長點.

3.2 注重概念的性質探究，掌握思維的連接點

新課標明確指出：“初中數學應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.”［1］一個新的知識點并不只依附定義而孤立存在，還需要從性質的探究中加強對概念的理解，由此掌握思維的連接點.為了能使學生從定義出發，經歷發現性質的過程，教師可以設計問題鏈，層層遞進，調動和激發學生的求知欲.唯有如此，才能讓數學概念中的抽象思維在課堂教學中落地生根［2］.

在本課例中，為了使學生掌握好二次根式的重要性質，主要圍繞課堂活動來設計教學.活動一開啟了學生的性質探究之旅，以抽取卡片作為活動形式，不斷追問“二次根式的一般形式是什么？”引導學生從定義出發，小結出第一條重要性質“雙重非負性”.從“形”上來看，戴了一頂帽子，是二次根號；從“質”上深究，被開方數大于等于0.活動二從特殊到一般探究二次根式的性質.為了加強學生的探究記憶點，還可以引導學生聯系了開篇情境中的正方形照片，將a看作正方形的面積，a看作正方形的邊長，如此關聯思維的連接點，便能更準確地得出（a）2=a（a≥0）這一性質.

3.3 加強思維訓練，探索方法的遷移點

概念的教學并不只是停留于理論的疏導，還要在后續的學習中盡可能多地應用和理解.這就要求教師將相關的知識鏈接做到心中有數，有梯度、有鏈接地將習題進行梳理、拓展.由于數學是思維的學科，因此需要增加思維元素，促進學生對定義和性質的理解，用“火熱的思考”來融化數學“冰冷的美麗”.學生對概念的掌握還離不開自身對概念的構建，需要將自己融入到知識體系中，用心思考題目中的關鍵詞、解題切入點、方法的遷移點，促進其自主思考、質疑、探索、創造能力的發展.

在本課例中，為了加強對二次根式的深入理解，設置了三道思維訓練題，練習的多元設置，更增加思維含量.練習的設立分別從三個角度出發：（1）二次根式有意義的條件是什么？涉及到哪些相關知識點？（2）幾個非負數的和為0，則它們的取值如何確定？（3）注重挖掘二次根式的隱含條件，從而歸整出結果.比如練習3，是一道優質的課程資源題，教學中要充分發揮它的啟智功能以及訓練復習、提升能力的載體作用.值得注意的是，問題的解決并不僅僅是得到答案，而是指思維過程的顯現、方法的提煉以及小結對心靈的啟迪和頓悟，思維激烈交鋒、亮點頻閃的課堂所帶來的體驗以及醍醐灌頂的收獲，正是師生所向往和期待的［3］.

總之，中學數學教學的核心應是培養學生的思維能力，而概念是思維的基礎、知識的支點.數學概念是數學知識的重要細胞，若教師以課標為基點，以教材為軸心，注重概念教學，為學生搭建自主探究、體會題意、發揮潛能、創新思維的平臺，讓學生能在“小”概念中汲取“大”智慧，如此循序漸進，學生對基礎概念的理解以及思維品質都會得到提升，以后遇到“大”難題，也能精心梳理，尋求到解題突破口，收獲“一覽眾山小”的歡喜.

參考文獻：

［1］楊威.抓住數學本質，讓數學教育找到回家的路——基于“數學本質”的習題課教學分析［J］.教育科學論壇，2015（19）：42-44.

［2］毛梁成.關注概念的生長發展 讓數學抽象落地生根——以“函數的概念”教學為例［J］.中學教研（數學），2018（1）：19-22.

［3］王華民.數學課堂加強思維訓練的探索與實踐［J］.中學數學教學參考：中旬，2010（5）：17-18.