指向核心素養的中位線與圓的“共振”問題

摘要：本文中通過貫穿“圓”和“中位線”兩個核心考點的3道例題，探討解決數學題的通性通法，研究如何引導學生建立數學模型突破核心難點，尋找其中的共性生長點、拓展點，讓課堂教學變得更加高效.

關鍵詞：核心素養；圓；中位線

《義務教育數學課程標準（2022版）》在關于學業考試的命題原則中指出：“堅持素養立意，凸顯育人導向.以核心素養為導向的考試命題，要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查‘四基’‘四能’與核心素養.”［1］作為“雙減”背景下的第一次中考，該如何落實這一要求？本文中以圓與中位線在一道題中的綜合考查（即“共振”）為例，展開研究.

關于中位線，義務教育蘇科版教材（2013版，以下簡稱蘇科版教材）指出：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

關于圓的定義，蘇科版教材指出：圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

1 以坐標系為背景的“共振”

例1 如圖1-1，在平面直角坐標系中，A（4，0），

B（0，-3），以B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動點P.連接AP，若C為AP的中點，連接OC，則OC的最小值為.

圖1-1

分析：本題以坐標系為背景，將一個定圓置于其中，以動點P的運動為主要條件，學生的核心難點是厘清OC的長度與點P的運動之間存在怎樣的關系.不少學生是直接根據點P的運動軌跡確定點C的運動軌跡，這個思路可行，但較為繁瑣.如果學生能利用“C為AP的中點”這個條件，主動構建三角形中位線的數學模型（即讓OC成為三角形的中位線），則會使本題的難度大為降低.如圖1-2，在x軸負半軸取點D，使OD=OA，連接DP.這樣，OC就成了△ADP的中位線，求OC的最小值就轉化為求DP的最小值（取一半）.根據圓的有關知識，D為圓外一定點，連接DB交⊙B于點E，點P運動到E處時DP顯然最短，最后再根據中位線的性質，OC的最小值即為此時DP的一半.值得注意的是，本題若改編為求OC的最大值，依然可以構建中位線模型來解決.這樣的解題思路需要學生有一定的建模能力，因此需要教師平時在課堂上加以滲透.對本題而言，在新授“三角形的中位線”這一知識點時，就可以在課堂上加以滲透.

例2 （2020泰安改編）如圖2-1，點A，B的坐標分別為（2，0），（0，2），C為坐標平面內一點，BC=1，M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為.

分析：和例1相比，本題仍然以坐標系為背景，但是沒有直接給出圓，也沒有強調C為動點，需要學生自己去發現C是以B為圓心、1為半徑的圓上的動點.OM的長度隨著點C的位置變化而變化，所以要把這個圓畫出來（如圖2-2），然后再利用“M為線段AC中點”這一關鍵條件去構建三角形的中位線，

即在x軸負半軸上取一點D，使OD=OA，連接CD.因此OM是△ACD的中位線，

從而把求OM的最大值轉化為求CD的最大值（的一半），具體解題思路類似于例1.本題原題為2020年泰安中考的選擇題最后一題，屬于壓軸題.若學生能根據圓的定義（到定點距離等于定長的點的集合）發現“隱圓”，然后再根據“M為線段AC中點”這一明顯的“暗示”，構建出三角形中位線，最后再利用圓外一定點到圓上的點的距離的知識，求出CD的長（的一半），即可快速解決問題.本題若改編為求OM的最小值，仍可用一樣的思路解決.本題可視為例1的改編題，對學生核心思維能力的考查是相同的，但難度加大了，增加了“發現隱圓”這一要求，需要學生對圓的定義有深刻的理解，教師在新授“圓”的相關內容時，應加以強調和適當拓展.

2 以三角板為背景的“共振”

例3 （2022連云港27題節選）在一次數學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖3-1所示的方式擺放.其中，∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3.小昕同學將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉.

（1）連接DC，取DC的中點G，三角板DEB由初始位置（圖3-1）旋轉到點D，B，D首次在同一條直線上（如圖3-2），求點G所經過的路徑長.

（2）如圖3-3，G為DC的中點，則在旋轉過程中，點G到直線AB的距離的最大值是.

分析：本題為2022年江蘇連云港市中考最后一題（原題共4小問，取最后2小問），是以一大一小兩個三角板為背景的旋轉問題，難度大，屬于壓軸題，突出考查學生的核心素養，需要學生有較強的思維能力.本題第（1）問要求點G所經過的路徑長，核心難點是確定點G所經過的路徑是一個什么樣的圖形.先按題意標上CD的中點G，再取BC的中點O，連接GO.因此GO是△CBD的中位線，可得GO=12BD=3，于是發現，點G在以定點O為圓心、定長3為半徑的圓上運動（如圖3-4）.本題第（1）問所求的路徑長即為弧G1G2的長度，再根據點G的起、終點位置確定∠G1OG2=150°，最后帶入弧長公式即可求出答案.有第（1）問作為基礎，再求第（2）問就簡單了，此時，點G運動的軌跡發生了變化，從一段弧變成了整個圓（如圖3-5）.要求點G到直線AB的距離的最大值，先作出OK⊥AB于K，再延長KO交⊙O于點G′，線段KG′即為所求（計算簡單）.2022年的中考，是在“雙減”背景下進行的，本題作為連云港市中考試卷的壓軸題，難易程度合理，體現了以核心素養為導向的命題，考查了學生的模型意識和建模能力，關注了數學的本質，關注了通性通法，讓基礎較好的學生的水平得到了展示.

3 總結

本文中的3道例題本質上有很大的相通性，都運用了圓的概念、中位線的性質，考查了學生的建模能力（根據一個中點，主動構建另一個中點，從而產生中位線），體現了核心素養的一致性，符合“雙減”背景下新課改對學生能力的要求.對學生建模觀念等核心素養的培養，廣大一線教師應在平時的教學中予以足夠的重視.

此外，本文中的3道例題是一脈相承的，只是難度逐步加大，例2是例1的改編，都在坐標系背景下，但由“圓”變成了“隱圓”;例3則是例2的“再創造”，由以坐標系為背景改為以三角板為背景，核心難點“構建中位線”得到了保留，同時又增加了對旋轉等知識點的考查.

縱觀這3道例題，都貫穿著由已知一個中點聯想到再構建一個中點，從而形成中位線，再運用中位線的知識解決問題的主線.因此，教師在教學中，要培養學生“見中點想中點”進而構建中位線模型的意識.同時，“打鐵還需自身硬”，作為教師也要加強自身解讀和改編拓展典型例題的能力，只有教師自己做到了“由一變三”，才能讓學生真正學會“舉一反三”.落實新課程標準提出的培養學生核心素養的要求，需要從身邊的每一道題、每一節課做起.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.