基于模糊聚類與Retinex理論的多相圖像分割方法

羅群女，閔莉花

（南京郵電大學理學院，南京 210023）

0 引言

圖像分割在圖像分析和計算機視覺研究中起著重要作用。分割是根據圖像特征如強度、紋理、顏色等，將圖像分割成具有同質性的有意義區域的過程。然而，由于成像設備不完善或受光照變化的影響，圖像中經常出現灰度不均勻的現象，對于圖像分割方法的研究提出了嚴峻挑戰。

圖像分割技術經過多年發展，涌現出大量研究成果，其中基于變分和偏微分方程的圖像分割方法已成為圖像分割領域的有效方法之一［1-4］。該方法中使用的分割模型主要分為兩類：基于邊緣的分割模型和基于區域的分割模型。基于邊緣的分割模型通常是利用圖像梯度信息引導演化輪廓向目標邊界移動［5-6］，但這些模型對噪聲和初始輪廓較為敏感，且無法提取模糊和不連續邊緣圖像的邊界；基于區域的分割模型主要使用區域信息指導輪廓演化。最著名的基于區域的變分模型之一是MS 模型，其目的是找到一個最佳分片光滑函數來逼近原始圖像，該模型雖然能取得較好的分割結果，但計算復雜度較高［7］。因此，Chan 等［8］提出基于簡化的MS 模型與水平集方法的CV模型，將圖像中不同區域的灰度值看成是對應的分片常數，從而能有效地分割灰度均勻圖像。

近30 年來，基于模糊聚類的分割方法［9-16］，特別是基于模糊C 均值的圖像分割算法得到了廣泛研究。該方法的優勢主要在于引入模糊度以確定圖像中每個像素的隸屬度值，從而能夠從原始圖像中保留更多信息；文獻［14］對標準FCM 算法的目標函數進行改進，以彌補圖像強度不均勻的問題，并允許像素標記受到周邊影響；文獻［15］提出一個利用局部區域強度信息的相干局部強度聚類（CLIC）算法，用于估計偏移場和分割圖像；文獻［16］提出一種用于非均勻圖像分割的變分模糊MS 模型，然后利用算子分裂法求解關于隸屬度函數的最小化問題。由于引入了隸屬度函數，上述模型可有效處理任意多相的圖像分割問題。此外，模糊邏輯在活動輪廓法中也得到了廣泛應用。文獻［17］結合偽水平集函數，提出一種新的基于模糊能量的活動輪廓模型，使得模型不會陷入局部極小解；文獻［18］提出一種基于核函數的模糊活動輪廓模型，該模型對圖像中的噪聲和異常值具有更強的魯棒性。同時，為了得到更理想的分割結果，文獻［19-20］提出的局部強度信息與全局強度信息相結合的方法也受到了更多關注。

近年來，眾多學者也提出一些基于Retinex 理論的圖像分割方法［21-24］。2017 年，Zosso 等［22］將Retinex 理論融入CV 模型中，提出了CVB 模型（以下簡稱Zosso 模型）。之后，Jin 等［23］在CVB 模型基礎上提出一種新的變分模型（以下簡稱Jin 模型），該模型考慮了圖像結構部分的分片常數性質，引入全變差正則項以校正與分割輸入圖像，能夠獲得相對準確的分割結果，但其沒有考慮多相分割。此外，Min 等［24］提出一種分割非均勻圖像的變分模型（以下簡稱Min 模型），由于該模型考慮了偏移場的局部常數先驗和全局平滑先驗，因此能夠獲得更精確的分割結果。

本文提出一種新的基于模糊聚類與Retinex 理論的多相圖像分割模型，并在交替極小化方法的框架下，設計一種有效算法對模型進行數值求解。實驗結果表明，該模型對于真實圖像和灰度不均勻的醫學圖像均能有效進行分割，相比于已有的Cai 模型［1］、Yang 模型［2］、Zosso 模型［22］、Jin模型［23］和Min模型［24］，能得到更準確的分割結果。

1 本文分割模型

一幅大小為M×O的灰度不均勻圖像i，根據Retinex理論，可把其看作物體反射（結構）部分s與光照（偏移場）部分b的乘積［25-26］，即：

對等式（1）兩邊同時取對數變換，并令I0=log(i)，B=log(b)，S=log(s)，則有：

這里，反射部分S表示人眼觀察到的真實圖像，一般認為是分片常數函數；B表示圖像中的光照偏移場部分，一般認為是光滑函數。

將一幅圖像分成N個不同區域，基于隸屬度函數［27-28］的概念，圖像中每個像素屬于各個區域的概率ui(i∈[1，N])，滿足兩個約束：①0 ≤ui≤1，即所有像素的隸屬度函數都是非負的；②，即每個像素的所有隸屬度函數之和為1。

通過引入模糊隸屬度函數，本文在Jin 模型的基礎上，提出以下模糊變分模型：

這里c=(c1，c2，…cN)，u=(u1，u2，…uN)，c1，c2，…cN為不同區域的平均灰度值，λ、α、β為正參數，N為圖像區域的劃分數量。

由于變分模型對于每個變量都是凸的，可通過交替極小化算法進行求解。更準確地說，先固定變量(u，B，S)計算變量c，然后固定c以更新(u，B，S)。因此，上述極小化問題等價于：

因此，下面只需討論問題（5）。

2 算法求解

本節首先應用交替極小化算法求解問題（5），通過引入輔助變量d1，問題（5）可轉化為下列帶約束的優化問題：

將式（7）轉換成無約束極值問題，其對應的增廣拉格朗日函數為：

其中，ρ、ρ1是正的罰參數，θ、θ1是拉格朗日乘子。

下面用原始對偶算法求解上述鞍點問題。給定第k步的解zk、uk，具體迭代過程如下：

（1）固定uk，求解關于zk+1的子問題：

其中，σ為正參數，δZ是示性函數，定義為：

用投影ProjZ表示在凸集Z上的歐幾里得投影，得到zk+1：

應用向前向后分裂（FBS）方法［29］求解上述問題：

首先，給定uk，根據式（25）更新，其中t是迭代步長。

運用Gauss-Seidel 方法進一步得到：

最終求得：

綜上，本文算法的具體步驟如下：

算法1基于模糊聚類和Retinex 理論的圖像分割算法

3 數值實驗

本節對醫學MR 圖像與真實圖像進行實驗，并通過與Cai 模型、Yang 模型，Zosso 模型、Jin 模型和Min 模型進行對比，驗證本文提出模型和算法的有效性。實驗運行環境為：PC 機CPU 為AMD Ryzen 5 4600U with Radeon Graphics，操作系統為64位Win10，MATLAB 版本為R2020b。通過采用默認值，并調整每幅圖像參數來獲得對應的實驗結果，以提供最佳的可能結果。在所有實驗中，大多數參數采用默認值：β=3，t=0.1，?=10^(-5)，ε=10^(-3)，τ=0.7，σ=0.01。參數α根據偏移場的強度進行調整，對于不同的測試圖像，參數λ、α、ρ、ρ1的取值見表1。

Table 1 Parameters settings for images I-IX表1 檢驗圖像I-IX的參數設置

此外，本文選取量化指標Dice 相似系數（DSC）［30］、分割精度（SA）［2］以及kappa 系數（k）作為分割結果的評價標準，其定義分別為：

其中，| · |表示區域面積，R1表示分割后的目標物體區域，R2為對應的真實區域。

SA 是正確分類的像素數目除以像素總數，可表示為：

其中，TP為真陽性數，FP為假陽性數，TN為真陰性數，FN為假陰性數。另外，Kappa系數定義為：

顯然，這3個指標的值越接近1，表明分割精度越高。

3.1 模型優勢

以二相分割為例，選取3 幅從Weizmann segmentation dataset 數據集中下載的檢驗圖像，將本文模型與沒有加入模糊聚類的Retinex 分割模型進行對比，分割結果見圖1。

Fig.1 Two-phase segmentation comparison experiments on of different models test images圖1 不同模型對檢驗圖像的二相分割結果比較

其中，圖1（a）為輸入的原始圖像，圖1（b）-（d）分別為Zosso 模型、Jin 模型和本文模型分割結果。圖片I 和圖片II的目標對象內部灰度變化較大，且邊界較模糊，Zosso 模型和Jin 模型分割結果存在較多不正確的點。觀察圖III發現Zosso 模型存在分割不足的問題，而本文模型由于引入了模糊隸屬度函數，真實反映出圖像本身的不確定性，能夠從原始圖像中保留更多信息，且在交替極小化方法的框架下對子問題u采用向前向后分裂算法求解，通過內外迭代收斂的復合算法使得模型得到更優解，進一步優化了模型的分割性能。圖1 的最后一列也顯示出本文模型得到了更精確的分割結果。為定量刻畫3 個模型的分割性能，表2 記錄了3 種方法分割每幅圖像的DSC 值、SA 值和k值。可以看出，本文模型在所有方法中的3 個量化指標數值均值最高，因此對于這些檢驗圖像，本文模型更加可靠、穩定。

Table 2 Evaluation results of segmentation effect of different models表2 不同模型分割結果的評價指標結果 %

3.2 多相分割

本節將本文模型用于醫學圖像的四相分割，并選取3幅腦部MR 圖像進行比較，這些圖片可從BrainWeb dataset獲取得到。其大小都為217*181，切片厚度為1mm，圖像都是由T1加權脈沖序列產生（TR=22ms，TE=9.2ms，傾斜角為30°）。在圖2 中，第一列顯示了3 幅原始的非均勻MR 圖像，其是由不同偏移場相乘產生的，最后一列顯示了白質（白色）、灰質（灰色）和腦脊液（深灰色）的標準結果（Ground Truth），第二列至第五列依次為：Cai 模型、Yang 模型、Min 模型以及本文模型分割結果。觀察圖2 可以發現，4 個模型都能得到較滿意的分割結果，但后兩種算法在對白質和灰質區域的細節保留能力上優于前兩種算法，且在黑框內的區域，本文模型得到了比其他模型更準確的分割結果。

表3 給出了各個模型對于3 幅MR 圖像所得分割結果的DSC 值、SA 值和k值。可以看出，相比于其他模型，本文模型在白質區域和灰質區域具有更高的分割精度，而在腦脊液區域的精度數值與Cai 模型基本持平，略低于Yang 模型和Min模型。

3.3 真實圖像分割

本節驗證本文模型對真實圖像（其非均勻性未知）進行分割的有效性。圖3 展示了4 個不同模型對真實灰度不均勻圖像的分割結果，這些圖片可從網址（http：//www.imagecomputing.org/～cmli/）和（https：//xiaohaocai.netlify.app/）下載得到。觀察圖3 可發現，由于圖像VII 中的目標對象內部灰度變化較大，因此4 個模型都能產生較好的分割結果；對于圖像VIII，由于目標物體與圖像背景的灰度值較為接近，Cai 模型、Yang 模型和Min 模型都存在分割不足的問題，尤其在左下角區域，而本文模型的分割結果更趨近于目標物體邊界；對于圖像IX 的分割結果，Yang 模型和Min 模型都存在較多不正確的點，而Cai 模型和本文模型都能很好地分割灰度不均勻圖像。以上結果表明，本文模型對于分割真實灰度不均勻圖像的有效性。

Fig.2 Four-phase segmentation comparison experiments of different models on MR images圖2 不同模型對MR圖像的四相分割結果比較

Table 3 Evaluation results of segmentation effect of different models表3 不同模型分割結果評價指標 %

Fig.3 Segmentation results of different models on real images圖3 不同模型對真實圖像的分割結果

4 結語

本文針對存在灰度不均勻問題的圖像，提出一種基于模糊聚類與Retinex 理論的圖像分割變分模型。通過引入模糊隸屬度函數，變分模型可定位圖像中更多的輪廓信息，高效地執行分割任務。同時，本文設計了一種有效的復合求解算法，即交替極小化方法嵌套向前向后分裂算法。特別地，該復合算法使內迭代與外迭代過程均滿足收斂條件，進而精確地求解子問題u，進一步優化了模型的分割性能。此外，本文設計了兩相與多相圖像分割實驗，數值結果驗證了算法的有效性與可行性，并通過與幾種經典模型比較，驗證了本文模型具有更高的分割精度。但復合算法在精確求解問題的同時，也具有一定局限性，即增大了CPU 時間的消耗。未來將對算法運行效率加以改善，同時設計一種自適應參數選取方法，以期獲得更理想的分割效果。