基于頻率無反演識別結構損傷的研究

曾寧燁

(中鐵二院工程集團有限責任公司，四川成都 610031)

由于結構局部參數(如質量、剛度)的改變導致結構的局部損傷，進而引起結構模態參數(如頻率、阻尼、振型)的改變，最后體現在結構動力學響應的改變上[1-3]。結構損傷識別就是通過實際測量反映結構力學特性的數據，對橋梁結構是否有損傷、損傷位置、損傷程度等作出準確合理的判斷。

鑒于頻率是目前測試技術所能達到的最準確也是最易測的模態參數[4]，幾乎可在結構的任何一點進行測量，國內外在利用頻率進行結構損傷識別方面也作了大量研究[5]。這些研究方法按有無反演可分為2類：

(1)有反演的損傷識別方法(反面方法)，是將待識別的未知量(結構參數、剛度矩陣、損傷指標等)看成優化變量，并組成目標函數，通過不斷地修正有限元模型，得到結構的優化參數，使正向計算結果能夠最大限度地與實測結果吻合，如Stubbs等[6]提出的整體損傷估計法，建立了頻率變化量、廣義剛度對單元剛度參數的靈敏度矩陣和損傷定位參數之間的線性方程組，由于所得的方程組高度欠定，迭代過程需要反復計算靈敏度矩陣，計算量很大，而且迭代沒有終止的可靠判據，很難得出準確的結果。

杜思義等[7]在結構有限元計算模型中定義了單元的損傷識別參數，基于攝動理論和振動理論，推導了結構振動特征值的一階和二階攝動方程，建立了結構的一階和二階損傷識別方程，給出了兩方程欠定條件下損傷識別參數的優化求解算法。在這種方法中，結構的損傷位置、損傷程度和老化程度的結構只需通過在役結構的固有頻率的測量值就可以識別，這樣就避免了使用模態振型識別結構損傷因測量精度不高或自由度不足帶來的誤差。

(2)無反演的損傷識別方法(正面方法)，如固有頻率向量法，特征值曲線交點法等。王樂等[8]引入固有頻率向量及固有頻率向量置信準則的概念，形成固有頻率向量損傷特征數據庫，從而提出基于固有頻率向量的結構損傷檢測方法。該方法可以在較強的測量噪音的干擾下，準確地識別出結構損傷的位置并能較準確的測出其損傷程度。特征值曲線交點法其原理最早是基于Cawley和Adams[9]提出的利用“頻率變化比(頻變比)”檢測結構損傷的原理和方法。Hearn等[10]在此基礎上又提出了“頻率平方變化比”方法，指出當結構只有一個單元發生損傷時，任意兩階頻率平方變化比只是損傷位置的函數，和損傷的程度大小沒有關系。故以各單元發生不同損傷程度時“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1的平均值作為縱坐標，以單元編號為橫坐標，作出Δλi/Δλ1對應的曲線圖。根據實際工況損傷對應的“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1的值，在上述曲線圖中作一條直線，直線與曲線的交點即為可能的損傷單元，此交點法即為“特征值曲線交點法”。

鑒于反面識別方法需要利用優化算法求解欠定方程組，其識別是個相當復雜的過程，本文僅從正面進行結構損傷診斷，闡述固有頻率向量法與特征值曲線交點法的基本原理，以一簡支梁數值模擬為例，比較2種方法的優缺點，并指出了有待進一步研究的問題。

1 結構損傷識別算法

1.1 固有頻率向量法

1.1.1 固有頻率向量及其組成的損傷特征數據庫

采用有限元法將具有一定健康狀態(完好或損傷)的結構離散后，會具有N個自由度，再用振動特征方程求解出其N階固有頻率，記為f1,f2,f3…fN，定義向量[F]={f1,f2,f3…fN}T為結構在該狀態下的固有頻率向量。顯然，完整或損壞結構其各自的固有頻率向量是唯一的和固有的。

假定完好結構狀態及不同損傷位置、不同損傷程度對應的結構狀態—記為Di,j(i表示損傷位置，j表示損傷程度)，各自對應的固有頻率向量{F}、{FDij}可以組成一個廣義向量庫，即為該結構的損傷特征數據庫。通常{F}、{FDij}是在基準模型(通常是經過實測模態數據修正的有限元模型)的基礎上計算出來的，通過數值模擬求解各狀態對應的固有頻率向量，從而建立損傷特征數據庫。結構損傷特征庫中進行基于固有頻率向量的結構損傷檢測。

1.1.2 固有頻率向量置信準則

根據模態置信準則定義固有頻率向量置信準則(natural frequencies vector assurance criterion，NFVAC)公式見式(1)。

(1)

1.1.3 損傷判據

從理論上講，如果結構的固有頻率向量在未知的損傷狀態下與損傷特征數據庫中某個向量所對應的結構損傷狀態相同或非常接近，那么兩向量的INFVAC值應等于1或非常接近1。然而，在數值模擬中，用窮舉法計算結構在所有可能損傷狀態下的固有頻率向量是不可能的。因此，用這種方法進行識別時，得到的INFVAC值不可能精確等于1。故用IDNFVAC=1/(1-INFVAC)先對損傷指標進行轉換，由公式(1)知，INFVAC∈ [0,1]，顯然IDNFVAC在[0,1]上單調遞增，且IDNFVAC越接近于1，其值越大。

但由INFVAC的數學意義可知，其本質是求2個向量的相關性，只要2個向量互成比例，其相關性就等于1，但此時2個向量的模的偏差卻可能很大，即相關性只能表征2個向量的方向或者比例；因而在考察向量的一致性時，不但要考慮向量的方向，同時也要考慮向量模的變化，顯然，如果只考慮向量的相關性有可能造成損傷的誤檢。

損傷判據[11]定義為IDNFVAC值與平均偏差值ERR之比，顯然同時考慮2個固有頻率向量的相關性及這2個向量間的平均偏差，來衡量2個向量之間的一致性，公式見式(2)。

IDR=IDNFVAC/ERR

(2)

由于損傷數據庫中的數據信息較大，在進行向量計算時，利用MATLAB編程實現。具體步驟為：

(1)計算完好結構及每個單元損傷不同程度后的頻率形成損傷特征數據庫。

(2)數值模擬指定工況的損傷，得一組頻率列向量。

(3)利用式(1)，將各工況所得的頻率列向量與損傷特征庫中的各個列向量相乘，將INFVAC值較大的對應的所有模式記為{Echange}。

(4)在{Echange}中，利用式(2)求IDR。

(5)結論：在{Echange}中IDR越大，則待檢測結構的損傷模式就是對應的特征庫中損傷模式。

1.2 特征值曲線交點法

具有N自由度的自由振動系統，其振動方程為式(3)。

(3)

若忽略阻尼的影響，其特征值由式(3)的特征方程求解得到式(4)。

([K]-λ[M])[φ]={0}

(4)

式中:[K]、[M]、λ、[φ]分別為結構的剛度矩陣、質量矩陣、特征值、特征向量(振型向量)，其中λ=ω2，ω為結構的固有頻率。

當結構遭到破壞時，結構的剛度和質量等會發生變化，從而導致結構的頻率發生變化。因此，損傷識別可以根據自然結構振動頻率的變化進行。設結構的剛度和質量矩陣[K]、[M]發生輕微變化[ΔK]、[ΔM]，則結構的特征值λ和特征向量[φ]也會有微小的變化，另此變化為Δλ、[Δφ]，則式(4)可以寫作式(5)。

(([K]+[ΔK])-(λ+Δλ)([M]+

[ΔM]))([φ]+[Δφ])={0}

(5)

對于橋梁工程問題，結構損傷往往會影響構件和結構的剛度，但是對其質量沒有明顯的影響，因此可以忽略[ΔM]的影響，所以式(5)可以轉換為式(6)。

(([K]+[ΔK])-(λ+Δλ)[M])([φ]+[Δφ])={0}

(6)

將式(6)化簡，忽略二次項，可得式(7)。

(7)

對于其中某一個振型[φi] (i=1，2，……，N)來說，給出式(8)。

(8)

以[ΔKn]表示第n個單元剛度的變化，那么式(8)變為式(9)。

(9)

式(9)建立了結構剛度變化與結構特征值之間的關系。當僅第n個單元損傷時(即單個單元損傷時)為式(10)。

(10)

將結構特征值的變化定義為結構損傷位置與單元損傷程度的函數，有式(11)。

Δλ=Δλ(αn,n)

(11)

式中：αn為一標量，表示n單元的損傷程度，又[ΔKn]=αn[Kn]，式(11)變為式(12)。

(12)

式(12)表示特征值的變化不僅依賴于結構損傷的位置，而且還依賴于結構損傷的程度。取兩階振型對應的特征值為Δλi及Δλj，兩階模態對應的頻率變化比為式(13)。

(13)

式(13)表明：當結構只有一個單元發生損傷時，任意兩階頻率平方變化比只是損傷位置的函數，和損傷的程度大小沒有關系。

不同位置單元的損傷對應一組特定的“頻率平方變化比”集合，根據結構損傷前后各階模態對應的“頻率平方變化比”，就可以識別結構的損傷位置。

基于以上理論，總結出用特征值曲線交點法進行結構損傷識別的步驟：

(1)計算出結構各單元損傷時對應的特征值，構建“頻率平方變化比”指標，以作為損傷檢測的理論值。根據式(13)，以各單元不同損傷程度對應的“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1的平均值作為縱坐標，以單元編號為橫坐標，作出Δλi/Δλ1(i=2,3)對應的曲線圖。由于不同單元對應的“頻率平方變化比”差異較大，這里采用對數坐標來表示。

(2)數值模擬指定工況的損傷，求出對應的“頻率平方變化比”Δλi/Δλ1(i=2,3)，并在步驟(1)的曲線圖中作一條直線，直線與曲線的交點即為可能的損傷單元。

2 仿真算例

選擇簡支梁作為損傷識別研究的對象。該簡支模型梁全長L=1000 mm，寬b=30 mm，高h=30 mm，彈性模量E=2.058×1011Pa，容重γ=7.86×107N/m3。

把梁劃分為20個單元進行計算，編號為1～20，21個節點，簡支梁模型如圖1所示。

圖1 簡支梁有限元模型(單位：mm)

2.1 前期工作

以剛度的下降模擬結構單元的損傷程度，對于橋梁結構通常的損傷而言，結構剛度損傷超過50%時已失去其意義。

對于固有頻率向量法，計算完好結構與各單元發生5%、10%、15%、20%、25%、30%、35%、40%、45%、50%損傷時的固有頻率，從而形成損傷特征數據庫。

對于特征值曲線交點法，在上述求得固有頻率的基礎上，求出每個單元在不同損傷程度下Δλi/Δλ1的均值。

2.2 損傷識別仿真

設置3個損傷單元，3種仿真工況如表1所示。仿真計算的目的為:①研究各方法損傷識別的能力；②比較各方法的優劣。

表1 損傷工況

3種仿真工況對應的前10階頻率值見表2。

表2 各工況對應的頻率值

各工況對應的Δλi/Δλ1(i=2,3)的值見表3。

表3 各工況對應的頻率平方變化比值

2.3 損傷識別結果

2.3.1 固有頻率向量法

根據上述原理及計算步驟，MATLAB程序計算結果見圖2～圖4。

圖2 工況1損傷識別結果

圖3 工況2損傷識別結果

圖4 工況3損傷識別結果

由圖2～圖4可知，各工況損傷位置能夠精確識別，但由于損傷特征庫中沒有把所有可能損傷狀態下的固有頻率向量列出，對于本算例每隔5%才計算其固有頻率向量，故兩損傷狀態中間的量不能精確表達，所以從各圖中只能大致判斷出損傷程度。圖中判斷出的損傷程度與實際模擬的工況的損傷程度還是很接近的，如工況1，損傷程度為6.4%，很接近損傷程度為5%的情況；工況3，損傷程度為32.6%，很顯然其值介于30%～35%之間，且與兩者的均值相差很小，故圖4中30%與35%處柱狀比較突出，這種情況可由兩柱狀的均值反推出大致損傷程度。

2.3.2 特征值曲線交點法

特征值曲線交點法計算結果如圖5～圖7所示；直線與曲線的交點處即為損傷位置，各工況損傷位置能夠精確識別，但無法區分對稱位置的損傷。且僅從圖5～圖7中無法直觀估計出損傷程度，需另覓方法探測損傷程度。

圖5 工況1損傷識別結果

圖6 工況2損傷識別結果

圖7 工況3損傷識別結果

2.4 2種識別方法的比較

(1)損傷定位與程度識別方面：2種方法均可以精確識別損傷位置(對稱位置除外，鑒于實際結構由于各種原因一般不會完全對稱，故此方面不做重點考慮)。固有頻率向量法可較準確的識別損傷程度，特征值曲線交點法無法識別損傷程度，這主要可從兩者的基本原理上即可看出。

(2)計算量方面：固有頻率向量法計算工作量大，需形成損傷特征數據庫(損傷程度劃分得越精細越好)，且組成向量所需頻率階次較多，本文計算到了前10階；特征值曲線交點法中，由于任意兩階頻率平方變化比只是損傷位置的函數，和損傷的程度大小沒有關系，故不需計算各損傷程度的值，只需要前2階頻率就可以進行評估，計算量相對較少。

3 結束語

(1)對于像橋梁這種具有分布參數的體系，由于自由度較多，利用固有頻率向量法建立損傷特征庫則是一個龐大的工程。該方法在單位置損傷識別時尚且不能把所有可能損傷狀態下的固有頻率向量列出，對于多位置損傷識別(多個損傷程度一致、多個損傷程度不一致) 其普遍適用性更有待后續工作的進一步研究。且如何使用較少的固有頻率得到較優的識別結果也是一個亟待解決的問題。

(2)特征值曲線交點法計算量相對較小，但在利用交點定出損傷程度方面較欠缺。