例析含參數的一元一次方程問題

唐崇明

在平時的學習中，我們經常遇到系數用字母來表示的一元一次方程，這樣的方程我們稱之為含字母系數的方程，也叫“含參方程”。這類問題題型多變，富有思考性。下面就讓我們一起探究此類問題吧！

類型一 利用方程的定義求參數的值

例1 已知（k-2）x[k-1]=3是關于x的一元一次方程，則k的值為 。

【解析】根據一元一次方程的定義可知：一元一次方程只含有一個未知數，未知數的次數是1，未知數的系數不等于0，而且方程必須是整式方程。

解：由題意知[k-2≠0，k-1=1，]解得k=-2。

類型二 利用方程解求參數的值

例2 已知關于x的方程3a（x+5）=6x+1無解，求a的值。

【解析】解決本題需先將方程轉化為“ax=b”的形式，當a=0且b≠0時，此方程無解。

解：原方程可化為（3a-6）x=1-15a。

因為原方程無解，所以[3a-6=0，1-15a≠0，]

解得a=2。

問題拓展 已知關于x的方程a（2x+b）=12x+6有無數多個解，求a、b的值。

【解析】參照上題的思路，解決本題需先將方程轉化為“ax=b”的形式，當a=0且b=0時，此方程有無數多個解。

解：原方程可化為（2a-12）x=6-ab。

因為原方程有無數多個解，

所以[2a-12=0，6-ab=0，]解得[a=6，b=1。]

類型三 利用兩個方程解之間的關系求參數的值

例3 已知關于x的方程[2x-a3][-x-a2]=x-1與方程3（x-2）=4x-5的解相同，求a的值。

【解析】對于此類兩個方程具有相同解的問題，我們一般有如下的兩種思路來解決：第一種思路，先將第二個方程解出來，將求得的解代入第一個方程，求出參數a的值；第二種思路，分別將兩個方程解出來，由于兩個方程具有相同的解，可以得到關于參數a的方程，從而求出a的值。

解法一：解方程3（x-2）=4x-5，得x=-1。

因為兩個方程的解相同，所以，

將x=-1代入[2x-a3][-x-a2]=x-1，

得[-2-a3][--1-a2]=-1-1，

解得a=-11。

解法二：解方程3（x-2）=4x-5，得x=-1。

解方程[2x-a3][-x-a2]=x-1，

得x=[6+a5]。

因為兩個方程的解相同，

所以[6+a5]=-1，解得a=-11。

問題拓展 兩個關于x的方程分別是2（x-1）=3m-1與3x+2=-2（m+1），它們的解互為相反數，求m的值。

【解析】對于此題，我們可以發現兩個方程中均含有參數m，同時這兩個解互為相反數，因此利用例3的第二種思路解決此題較為簡單。首先分別用含有m的代數式表示出兩個方程的解，再根據解互為相反數，可以得到兩個解的和為0。

解：解方程2（x-1）=3m-1，得x=[3m+12]。

解方程3x+2=-2（m+1），得x=[-2m+43]。

因為兩個方程的解互為相反數，

所以[3m+12]+（[-2m+43]）=0，

解得m=1。

類型四 利用方程的整數解求參數的值

例4 已知方程x=6-mx是關于x的一元一次方程，當m取什么整數時，方程的解為正整數？

【解析】此類方程的解為正整數，首先應用含有m的代數式來表示方程的解，然后根據解為正整數以及m為整數這兩個條件，可以得知解中的分母是分子的正約數，最后得出m的值。

解：整理方程，得（m+1）x=6，

所以x=[6m+1]。

因為x為正整數，且m為整數，

所以m+1是6的正約數，則m+1=1、2、3、6，即m=0、1、2、5。

類型五 利用方程的錯解求參數的值

例5 小明解關于x的方程[3x-25]=[x-a10]-2去分母時，方程右邊的-2沒有乘10，求得的解為x=[15]，試求出方程正確的解。

【解析】對于此類題型，我們首先要將錯解代入寫錯的方程中，然后求出待定字母的值，再將求得的待定字母的值代入原方程，求出方程正確的解。

解：根據題意，得x=[15]是方程10×（[3x-25]）=10×[x-a10]-2的解，

所以2×（3×[15]-2）=（[15]-a）-2，

解得a=1。

解方程[3x-25]=[x-110]-2，得x=[-175]。

所以方程正確的解為x=[-175]。

總之，在解決含有參數的一元一次方程的相關問題時，同學們需要認真研讀題目，把握題意，針對問題的核心，將對應的問題轉化為關于參數的方程，最終得出答案。

（作者單位：江蘇省建湖縣秀夫初級中學）