基于T-P 模型的樁-樁水平振動相互作用研究

江 杰，柴文成，張 探，龍逸航

(1. 廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西，南寧 530004；2. 工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實驗室，廣西，南寧 530004；3. 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實驗室，廣西，南寧 530004)

樁基動力響應(yīng)問題的關(guān)鍵是樁-土相互作用分析。通常，其分析方法分為三類：有限元模型[1]、動力Winkler 地基梁模型[2]、連續(xù)介質(zhì)模型[3]。其中動力Winkler 地基梁模型，以簡單有效地描述樁側(cè)土的力學(xué)狀態(tài)和樁身的力學(xué)行為而具有優(yōu)勢，被得以廣泛運(yùn)用[4?6]。

樁-樁動力相互作用的研究是群樁動力基礎(chǔ)設(shè)計的重要一步，而樁-樁相互作用通常利用相互作用因子來反映。KAYNIA 和KAUSEL[7]首次將靜力相互作用原理推廣到動力相互作用問題，提出了動力相互作用因子的概念。DOBRY 和GAZETAS[8]基于動力Winkler 地基梁模型，在考慮樁-土相互作用的基礎(chǔ)上，提出一種計算動力相互作用因子的簡化方法，但該方法忽視了被動樁與土體的動力相互作用。在此基礎(chǔ)上，MAKRIS 和GAZETAS[9]考慮了被動樁與樁周土的動力相互作用，完善了上述簡化方法，計算了均質(zhì)土體和彈性模量線性變化土體中樁-樁動力相互作用因子。隨后，MYLONAKIS和GAZETAS[10]、蒯行成和沈蒲生[11]、雷文軍和魏德敏[12]眾多學(xué)者基于動力Winkler 地基梁模型，在簡化方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展并應(yīng)用于分層土中。然而，這些研究均局限于水平動力，沒有考慮豎向荷載對樁-樁動力相互作用產(chǎn)生的影響。

目前，已有研究表明豎向荷載會對樁基水平動力響應(yīng)產(chǎn)生影響[13?15]。對此，蔣建國等[16]、周緒紅等[17]和熊輝等[18]部分學(xué)者基于動力Winkler地基梁模型，對考慮軸向力作用的樁-樁水平動力相互作用進(jìn)行了研究，普遍認(rèn)為如果忽略軸向力的作用將直接影響樁-樁動力相互作用因子計算的準(zhǔn)確性，從而不能準(zhǔn)確地確定群樁承載能力。因此，研究豎向荷載對樁-樁動力相互作用因子的影響是非常有必要的。值得注意的是，上述研究的開展多是局限于傳統(tǒng)的動力Winkler 地基梁模型，忽略了水平振動時土層間的剪力傳遞和樁身剪切變形對樁-樁動力相互作用因子的影響[19]，這給更加精確地揭示樁-土相互作用和研究樁-樁動力相互作用帶來了困難，有必要對其進(jìn)行合理改進(jìn)，以使更加符合工程實際。

不難看出，在樁-樁水平振動相互作用研究中少有同時考慮地基、樁基剪切變形和豎向荷載影響的相關(guān)研究。為更加精確地揭示樁-土動力相互作用，本文同時考慮樁身剪切變形和土體剪切效應(yīng)，建立Pasternak-Timoshenko 模型模擬樁-土相互作用；接著，運(yùn)用傳遞矩陣法處理土體分層特性，推導(dǎo)水平動力和豎向荷載共同作用下主動樁力與位移關(guān)系的顯式表達(dá)；隨后，在主動樁顯式表達(dá)的基礎(chǔ)上，根據(jù)樁-樁動力相互作用原理，求解層狀土中多向荷載作用下樁-樁動力相互作用因子，并對計算結(jié)果進(jìn)行對比，以驗證本文方法的準(zhǔn)確性；最后，分析樁-土剪切效應(yīng)和豎向荷載對樁-樁動力相互作用因子的影響。

1 主動樁的水平振動

1.1 模型的建立與基本假定

為便于問題的研究，將樁體和地基土性質(zhì)進(jìn)行簡化，引入以下基本假定：

1) 地基土為層狀、各向同性的線彈性連續(xù)介質(zhì)；主動樁等效為圓形、等截面的Timoshenko梁，樁體視為均勻、各向同性的線彈性體。

2) 樁周土對樁的作用簡化為一系列分布的彈簧、阻尼器和純剪切單元。純剪切單元分別與獨(dú)立彈簧，阻尼器相連接，且只能發(fā)生剪切變形而不可壓縮。

3) 水平動力和豎向外荷載共同作用于樁基頂部，彼此互不干擾；不考慮上部的樁基承臺對樁的影響。

4) 在外荷載作用下，樁-土體系產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)簡諧振動。其變形僅限線彈性范圍，只考慮水平方向位移，忽略豎向位移，在振動過程中樁-土緊密接觸不發(fā)生相對滑移和脫離。

將樁等效為Timoshenko 梁，按地基土分層情況將樁身劃分為N段單元，考慮樁身剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量，第i段樁身單元受力情況如圖1 所示；地基采用Pasternak 地基，樁周土對樁的作用簡化為一系列分布彈簧、阻尼器和純剪切單元，在前人研究基礎(chǔ)上，第i層土的剛度系數(shù)kxi[9,20]、阻尼系數(shù)cxi[9]和土體剪切系數(shù)gxi[21?22]分別表示為：

圖1 Pasternak-Timoshenko 模型Fig. 1 Model of Timoshenko beam on Pasternak foundation

1.2 主動樁水平振動控制方程的建立

1.3 主動樁水平振動傳遞矩陣的推導(dǎo)

將式(6)進(jìn)行簡化，利用初參數(shù)法，可得：

式(7)的方程通解為：

1.4 主動樁樁頂阻抗的求解

樁底邊界處的力與位移關(guān)系式為：

2 樁-樁動力相互作用因子

在實際工程中，建筑的樁基通常以群樁的形式出現(xiàn)，群樁中的基樁在承受上部結(jié)構(gòu)荷載外，還受到相鄰樁的影響，其過程體現(xiàn)為：主動樁在外荷載作用下的振動(up)→引起樁間場地土的波動(us)→導(dǎo)致被動樁產(chǎn)生沿軸向分布的附加位移(u2p?us)。

2.1 模型的建立及基本假定

在Pasternak 地基-Timoshenko 梁(主動樁)模型基礎(chǔ)上，考慮被動樁與樁周土的相互作用，建立樁-樁相互作用模型，如圖2 所示。其中：s為樁間距； ?為入射波角度。為簡化分析，引入以下基本假定：

圖2 樁-樁動力相互作用模型Fig. 2 Model of pile-pile dynamic interaction

1) 被動樁樁頂無水平動力，僅受上部結(jié)構(gòu)傳遞的豎向荷載，同時不考慮樁基承臺對樁的影響。

2) 主動樁振動引起的柱面波經(jīng)土壤沿水平方向傳播，柱面波在各層土的傳播速度雖有不同，但由于相鄰樁的間距較小，不同土層內(nèi)的柱面波到達(dá)被動樁的時間差與主動樁振動周期相比很小，因此假定柱面波同時到達(dá)被動樁的各個截面[10]。

3) 受主動樁-土體系穩(wěn)態(tài)簡諧振動的影響，被動樁也作穩(wěn)態(tài)簡諧振動。其變形僅限線彈性范圍，只考慮水平方向位移，忽略豎向位移，在振動過程中被動樁-土緊密接觸不發(fā)生相對滑移和脫離。

2.2 被動樁水平振動控制方程的建立

主動樁在樁頂水平簡諧荷載作用下，會導(dǎo)致樁周土振動，根據(jù)土體的二維平面波動理論，樁周土將產(chǎn)生向外水平傳播的柱面波，考慮主動樁與樁周土水平位移的關(guān)系，可得樁周土體水平位移場函數(shù)為：

2.3 被動樁水平振動傳遞矩陣的推導(dǎo)

2.4 樁-樁動力相互作用因子的求解

利用傳遞矩陣法，被動樁樁頂位移、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩與樁底對應(yīng)物理量的關(guān)系為：

令f=??1，根據(jù)樁-樁動力相互作用因子的定義，樁-樁水平、水平-搖擺、搖擺動力相互作用因子分別表示為：

3 算例驗證與分析

KAYNIA 和KAUSEL[7]研究了均質(zhì)、層狀地基中樁-樁相互作用因子，得到了嚴(yán)格解；MYLONAKIS和GAZETAS[10]則考慮被動樁與土的相互作用，得到了動力Winkler 模型解，并與KAYNIA 和KAUSEL[7]的結(jié)果進(jìn)行了對比。本文的Pasternak-Timoshenko 模型考慮了樁身剪切變形和土體剪切效應(yīng)，當(dāng)?shù)鼗羟邢禂?shù)gxi、樁身參數(shù)1/Jp和Wp同時趨于0 時，可退化為動力Winkler 模型，即T-P模型退化解。圖3～圖6 分別為均質(zhì)土和雙層地基土中KAYNIA 和KAUSEL[7]嚴(yán)格解、動力Winkler模型[10]解、本文T-P 模型退化解和本文T-P 模型解在動力相互作用因子方面的對比結(jié)果。均質(zhì)土體中樁土參數(shù)：Ep/Es=1000 ，ρp/ρs=1.5 ，βs=0.05，νs=0.4；L/d=20，νp=0.3；a0=ωd/Vs；雙層土體中樁土參數(shù)：h1/d=1，Ep/Es2=10 000，Ep/Es2=1000 ， ρp/ρs=1.3，a0=ωd/Vs2，其他參數(shù)與均質(zhì)土中相同；樁的間距比分別為s/d=2, 5, 10。

圖3 均質(zhì)土中水平動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 3 Lateral dynamic interaction factor in homogeneous soil(Ep/Es=1000)

圖4 均質(zhì)土中搖擺動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 4 Rocking dynamic interaction factor in homogeneous soil (Ep/Es=1000)

圖5 均質(zhì)土中水平-搖擺動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 5 Cross-swaying-rocking dynamic interaction factor in homogeneous soil (Ep/Es=1000)

圖6 雙層土中水平動力相互作用因子(Ep/Es1=100 ，Ep/Es2=1000 ，h1/d=1)Fig. 6 Lateral dynamic interaction factor in double-layered soil (Ep/Es1=100 ，Ep/Es2=1000 ，h1/d=1)

從圖3～圖6 可以看出，在處理均質(zhì)土和層狀土?xí)r，本文方法所提出T-P 模型的退化解與文獻(xiàn)[10]的動力Winkler 模型解的計算結(jié)果有很好的吻合性，驗證了本文方法的正確性。同時將選用本文T-P 模型與選用文獻(xiàn)[10]動力Winkler 模型時的計算結(jié)果進(jìn)行對比，說明了本文所提出的Pasternak-Timoshenko 模型的優(yōu)越性。此外，可以得到樁-樁動力相互作用的基本特點(diǎn)：

1) 樁的間距比較小時(s/d=2)，動力相互作用因子的實部和虛部隨頻率變化相對平緩無波動性；隨著樁間距比的變大(當(dāng)s/d=10時)，動力相互作用因子隨頻率變化開始出現(xiàn)波動性，有波峰和波谷的存在，變化趨勢趨于復(fù)雜。

2) 低頻時，動力相互作用因子實部隨間距比的增大而逐漸減小，虛部變化不明顯；高頻時，由于動力相互作用因子會隨著樁間距比的增大產(chǎn)生波動性，導(dǎo)致樁間距較大時，動力相互作用因子呈現(xiàn)隨頻率增加而增大的變化趨勢。

4 參數(shù)分析

在工程實踐中，表層土性質(zhì)(尤其是彈性模量)對樁基動力響應(yīng)的影響最為明顯[25?26]，為此，根據(jù)《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》[27]，結(jié)合實際工程常規(guī)取值，本文將在不同地基土體(上覆軟土層土體：Ep/Es2=10 000,Ep/Es2=1000；均質(zhì)土體：Ep/Es=1000；上覆硬土層土體：Ep/Es2=100,Ep/Es2=1000)中分析各因素對樁-樁動力相互作用因子的影響。影響樁-樁動力相互作用因子的因素有很多，除了常規(guī)因素(樁間距比、激振頻率和入射波角度)以外，這里將討論一些其他不同因素(土體剪切效應(yīng)、樁身剪切變形和豎向荷載)對動力相互作用因子的影響。

4.1 土體剪切效應(yīng)對樁-樁水平動力相互作用的影響

為研究土體剪切效應(yīng)對樁-樁動力相互作用的影響，本節(jié)采用本文Pasternak-Timoshenko 模型分別計算了不同土體分層情況下Winkler 地基(不考慮土體剪切效應(yīng)，χG=0)和Pasternak 地基(考慮土體剪切效應(yīng)，χG=0.5)中的樁-樁水平動力相互作用因子，結(jié)果如圖7 和圖8 所示。計算參數(shù)如下：L/d=20,νp=0.3 ；βs=0.05,νs=0.4 ,ρp/ρs=1.5；均質(zhì)土：Ep/Es=1000,a0=ωd/Vs；上覆硬土層土體：Ep/Es2=100,Ep/Es2=1000,表層土厚度h1/d=1,a0=ωd/Vs2。

圖7 均質(zhì)土中不同土體剪切效應(yīng)下水平動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 7 Lateral interaction factor of different soil shear effects in homogeneous soil (Ep/Es=1000)

1) 以往DOBRY 和GAZETAS[8]的簡化方法是不能用來處理非均質(zhì)土體的，部分學(xué)者認(rèn)為可以采用加權(quán)平均法將層狀土體簡化為均質(zhì)土體。然而，圖8 對比圖7 可以看出，層狀土對動力相互作用因子產(chǎn)生的波動性和影響程度遠(yuǎn)高于均質(zhì)土對其的影響，簡單地，將層狀土簡化地視為均質(zhì)土并不能反映出層狀土中(尤其是表層土)土體性質(zhì)的改變對水平動力相互作用因子的巨大影響。因此，在分析樁-樁動力相互作用時，將層狀土簡化處理為均質(zhì)土是不合理的。

圖8 上覆硬土層土體中不同土體剪切效應(yīng)下水平動力相互作用因子(Ep/Es1=100 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)Fig. 8 Lateral interaction factor of different soil shear effects in foundation with hard soil overburden (Ep/Es1=100,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)

2) 如圖7、圖8 所示，不論在哪種地基土中(均質(zhì)土體、上覆硬土層土體)，在考慮土體剪切效應(yīng)后，Pasternak 地基中的實部相對比于Winkler地基中的實部都有所增加，虛部都有所減小；波動性有加劇的趨勢，且波峰與波谷之間的間距在增大。這說明土體剪切效應(yīng)對樁-樁動力相互作用有增強(qiáng)效果。

3) 此外，注意到圖7 和圖8 中，土體剪切效應(yīng)對樁-樁動力相互作用的增強(qiáng)效果會隨樁間距比的增大而有所削弱。同時，層狀土中土體剪切效應(yīng)對水平動力相互作用因子的增強(qiáng)效果(實部增長幅值為?0.044～0.119，虛部增長幅值為?0.071～0.151)也遠(yuǎn)大于均質(zhì)土中土體剪切效應(yīng)的這種效果(實部增長幅值為?0.008～0.020，虛部增長幅值為?0.013～0.006)。這表明：在均質(zhì)土中可以不考慮土體剪切效應(yīng)對樁-樁動力相互作用因子的影響；但在層狀土中這種影響不可忽略。

4.2 樁身剪切變形對樁-樁動力相互作用的影響

如圖9、圖10 和圖11 所示，采用本文模型分別計算了不同樁身長徑比下不考慮樁身剪切變形(Euler 梁)和考慮樁身剪切變形(Timoshenko 梁)的樁-樁動力相互作用因子。計算參數(shù)如下：s/d=2,νp=0.3 ；βs=0.05,νs=0.4 ,ρp/ρs=1.5,a0=0.5；均質(zhì)土：Ep/Es=1000；上覆軟土層土體：Ep/Es2=10 000,Ep/Es2=1000,表層土厚度h1/d=1,a0=ωd/Vs2；上覆硬土層土體：Ep/Es2=100,Ep/Es2=1000,表層土厚度h1/d=1,a0=ωd/Vs2。

圖9 均質(zhì)土中不同樁身剪切變形下動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 9 Dynamic interaction factor of different pile shear deformation in homogeneous soil (Ep/Es=1000)

圖10 上覆軟土層土體中不同樁身剪切變形下動力相互作用因子(Ep/Es1=10 000 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)Fig. 10 Dynamic interaction factor of different pile shear deformation in foundation with soft soil overburden(Ep/Es1=10 000 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)

圖11 上覆硬土層土體中不同樁身剪切變形下動力相互作用因子(Ep/Es1=100 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)Fig. 11 Dynamic interaction factor of different pile shear deformation in foundation with hard soil overburden(Ep/Es1=100 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)

1) 樁-樁動力相互作用因子并不會隨著樁長一直發(fā)生變化，而是樁長在一定范圍內(nèi)變化時，會對動力相互作用因子產(chǎn)生明顯影響，但當(dāng)樁長超過這一范圍時，樁長對動力相互作用因子幾乎沒有影響。這種變化趨勢與單樁水平動力響應(yīng)中有效樁長[13,24]的分析情況相類似，因此，可以認(rèn)為樁-樁動力相互作用中也存在一個“有效樁長”。從圖9、圖10 和圖11 中可以看出，此“有效樁長”的數(shù)值在L=10d～15d范圍內(nèi)，這與單樁水平動力響應(yīng)中的有效樁長范圍(Ld=10d～15d)基本相一致。

2) 由圖9、圖10 和圖11 可知，當(dāng)樁身長徑比在L/d=5 ～10范圍內(nèi)時，考慮樁身剪切變形(Timoshenko 梁)得到的樁-樁動力相互作用因子遠(yuǎn)小于不考慮樁身剪切變形(Euler 梁)時的情況，而當(dāng)樁身長徑比L/d>10后，樁身剪切變形對動力相互作用幾乎沒有影響。這是因為在一般的樁土參數(shù)下，可以采用Euler 梁理論的樁身界限樁長在8d左右，當(dāng)樁身長徑比L/d>8時，樁身剪切變形對水平動力響應(yīng)的影響可以忽略不計[28]。也就是說，出于實際工程安全考慮，當(dāng)樁身長徑比L/d<10時，應(yīng)必須考慮樁身剪切變形對樁-樁動力相互作用因子的影響，可將樁視為Timoshenko 梁模型。

4.3 豎向荷載對樁-樁動力相互作用的影響

樁頂豎向荷載會使得樁身在水平位移形變較大時產(chǎn)生P-Δ效應(yīng)，對樁基動力響應(yīng)產(chǎn)生影響[14]，因此，研究豎向荷載對樁-樁動力相互作用因子的影響具有重要意義。圖12 和圖13 給出了不同土體地基(均質(zhì)土和上覆軟土層土體)中考慮樁頂豎向荷載作用下的樁-樁動力相互作用因子。本文用來計算動力相互作用因子的樁頂豎向荷載N0

1) 如圖12 和圖13 所示，在均質(zhì)土中，豎向荷載對樁-樁動力相互作用有增強(qiáng)效果，但這種影響程度有限；在層狀土中，表層土的土體彈性模量較小，豎向荷載對動力相互作用因子的增強(qiáng)效果有明顯的增大趨勢。究其原因，當(dāng)表層土的彈性模量較小時，土體對樁頂邊界的約束能力相對較弱，樁身水平位移有所增大，此時豎向荷載產(chǎn)生的P-Δ效應(yīng)有所增強(qiáng)，從而給動力相互作用因子帶來更加明顯的變化。

圖12 均質(zhì)土體中不同豎向荷載作用下動力相互作用因子(Ep/Es=1000)Fig. 12 Dynamic interaction factor of different soil shear effects in homogeneous soil (Ep/Es=1000)

圖13 上覆軟土層土體中不同豎向荷載作用下動力相互作用因子(Ep/Es1=10 000 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)Fig. 13 Dynamic interaction factor of different soil shear effects in foundation with soft soil overburden(Ep/Es1=10 000 ,Ep/Es2=1000 ,h1/d=1)

2) 另一方面，豎向荷載對水平、水平-搖擺、搖擺動力相互作用因子的影響程度也各有不同。其中：豎向荷載對水平-搖擺的影響程度最大；對搖擺的影響程度次之；對水平的影響程度最小。總的來看，當(dāng)研究樁-樁動力相互作用因子(尤其是水平-搖擺動力相互作用因子)時，不宜忽略豎向荷載的作用。

5 結(jié)論

本文基于Timoshenko 梁理論和Pasternak 地基理論，建立了考慮樁身剪切變形和土體剪切效應(yīng)的樁-土相互作用模型，提出了一種層狀地基中水平動力和豎向荷載共同作用下樁-樁動力相互作用因子的計算方法，分析了樁-土剪切效應(yīng)和豎向荷載對動力相互作用因子的影響，得到了如下結(jié)論：

(1) 通過對比發(fā)現(xiàn)，無論是在均質(zhì)地基還是層狀地基中，本文Pasternak-Timoshenko 模型的退化解與MYLONAKIS 和GAZETAS[10]的動力Winkler模型解都能有很好的吻合性，說明本文方法的正確性。

(2) 土體剪切效應(yīng)對水平動力相互作用有增強(qiáng)效果，且這種效果會隨表層土彈性模量的增大和樁間距比的減小而有所加強(qiáng)。

(3) 在給定樁土參數(shù)情況下，主動樁和被動樁的“有效樁長”為Lu=10d～15d。當(dāng)樁長L15d時，一般可將樁視為無限長樁。

(4) 當(dāng)樁身長徑比較大時，可以不考慮樁身剪切變形對樁-樁動力相互作用的影響，但當(dāng)樁身長徑比L/d<10時，應(yīng)采用Timoshenko 梁模型考慮樁身剪切變形的影響。

(5) 豎向荷載對水平、搖擺、水平-搖擺動力相互作用因子的影響程度不盡相同，其中對水平-搖擺作用因子的影響最為明顯。