含裂紋正交各向異性體的數值分析方法概述

余海玲，王 娟，彭佳琪，王根石

(新余學院建筑工程學院，江西 新余 338004)

正交各向異性材料是一種具有高比強度、質量輕便等優勢的復合材料，在土木工程、航天航空工程、機械制造等領域得到了廣泛應用。正交各向異性材料區別于各向同性材料，其常用的數值分析方法包括有限元法、擴展有限元法、比例邊界有限元法及無網格法等。

1 有限元法

在眾多的數值分析方法中，有限元法[1]的發展相對來說是最為成熟的，它是一種求取復雜微分方程近似解的有效工具。運用有限元法分析問題時需要對計算域進行劃分，即有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，為逼近單元中的真解，則將單元基函數進行線性組合。整個計算域的基函數可以看作是由每個單元基函數構成，整個計算域內的解可看成是由所有單元上的近似解組成。有限元法通俗直觀，計算效率高，一般數值精度也較高。目前，有很多基于有限元法原理的軟件，比較常用的有ANSYS、ABAQUS等，其強大的軟件兼容性奠定了有限元法在材料力學分析方面的重要作用。但是采用有限元法分析問題時，需要在整個計算域內部劃分單元，尤其是分析形狀復雜的三維體時，有限元的單元劃分難度較大。在分析斷裂問題時，為了保證計算結果的正確性，必須要在裂尖處劃分較為精細的單元，當裂紋擴展時，要重復地劃分單元，計算工作量較大。程宸、萬水等[2]基于界面力學理論中關于正交各向異性材料應力強度因子的內容，借用ANSYS有限元分析軟件，計算了含邊緣界面裂紋和中央界面裂紋的裂尖應力強度因子，研究表明，應力強度因子隨著材料主軸方向的變化而變化，由于這種方法存在一定的可改進性，中央界面裂紋的應力強度因子計算結果并不是很精確，但總體來說該方法在一定程度上是可行的，需做進一步的改進。

2 擴展有限元法

擴展有限元法是在傳統有限元法的基礎上做了重大改進，其主要思路是將計算域內的間斷用擴充帶有不連續性質的插值函數來表示。采用擴展有限元法分析時，描述的不連續場與網格邊界完全獨立，故其在裂紋分析上有較大的優越性。此外，這種方法的引入不僅可以有效處理裂紋擴展問題，還給帶有孔洞和夾雜的非均勻材料的分析帶來了便利。Asadpoure與Mohamadi等[3]采用擴展有限元法，分析了含裂紋的正交各向異性體，并計算了五種不同的材料主方向下含邊界裂紋正交各向異性板裂尖的正則化應力強度因子，與Aliabadi與Sollero[4]得到的結果一致。徐建新和郝宇基于擴展有限元的理論，運用Paris公式及最大周向應力準則確定了裂紋的擴展速度和方向，通過具體算例計算，驗證了使用擴展有限元法在計算兩端受拉的邊界裂紋正交各向異性板在不同的材料主方向角度下對應的無量綱化應力強度因子，與文獻[3，4]的結果吻合度較高。此外，還模擬了裂紋擴展的規律，得到以下結論：當材料主方向角度小于時，裂紋的擴展速度隨著主方向角度的增加而減小；當材料主方向角度大于時，裂紋的擴展速度隨著角度的增加而增大。在主方向角度增加的過程中，裂紋擴展的角度變化呈現反正弦變化規律。通過具體的算例，驗證了擴展有限元法在分析裂紋擴展問題上具有較大的優勢。

3 比例邊界有限元法

比例邊界有限元法是一種半解析數值方法，當采用比例邊界有限元法分析問題時，需要重新建立一個比例邊界坐標系，該坐標系包含比例中心、徑向坐標和環向坐標等。與邊界元法一樣，采用該方法分析時，無須在整個結構內部劃分單元，僅需在計算域的環向上進行節點離散，使空間維度降低了一維，不需要設立相應的基本解；徑向上進行解析求解，無須離散，大大提高了計算效率與精度。此外，該方法在求解裂紋問題和無限域問題上特別高效。2002年，Song與Wolf采用這種方法成功模擬了各向異性材料裂紋問題，在最后的算例中，具體分析了在切應力作用下含邊界裂紋正交各向異性板的應力強度因子與其收斂性，并與Tan、Gao基于邊界元法分析邊界裂紋正交各向異性板的結果進行了比較，結果較為吻合，驗證了該方法高精度、高效率的特點。

4 無網格法

無網格法是一種在有限元法基礎上發展而來的數值模擬方法。該方法采用基于點的近似，可以徹底或部分地消除網格，在處理不連續和大變形問題時，可以拋開網格重構，具有很強的自適應能力。依據構造試函數，求解方程和處理邊界條件的方法不同，可對無網格法進行劃分。目前，無網格方法有十幾種，如光滑粒子法、重構核粒子法、擴散單元法、無單元伽遼金法、無單元伽遼金比例邊界法等。其中，無單元伽遼金法應用最為廣泛，這種方法前后處理方便，準確性高，但是該方法基于移動最小二乘法，導致構造的形函數不滿足插值性質，從而增加了本質邊界條件的施加難度。為了改進移動最小二乘法的不足，Lancaster、Salkauskas提出了插值型移動最小二乘法，采用該方法構造出的形函數雖滿足Kronecker delta函數性質，然而該方法卻只能運用在節點處奇異的權函數，這同樣會增加數值處理的難度。此外，王聚豐和孫鳳欣等人提出將插值型移動最小二乘法進行改進，改進的插值方法以非奇異權函數為基礎，并在計算形函數時會比傳統的移動最小二乘法少一個待定系數，可使計算過程大大簡化，奇異矩陣出現的概率也會大大減小。陳莘莘、王娟與童谷生在改進的插值型移動最小二乘法的框架下，將比例邊界有限元法與無單元伽遼金法結合，提出了插值型無單元伽遼金比例邊界法，采用該方法成功地分析了各向同性彈性材料、壓電材料的斷裂問題，通過具體的算例，驗證了這種方法求解裂紋問題的適用性。張成勛應用二階一致無網格法，成功地分析了正交各向異性材料的力學問題，并通過懸臂梁、變體力方板、兩端固定梁等算例計算了相應的位移與應力，與解析解的吻合度較高，充分驗證了無網格法的高精度與高效率。

5 展望

插值型無單元伽遼金比例邊界法是一種新型的邊界型無網格法，這種方法繼承了比例邊界有限元法與無網格法的優點，同時具備了較高的計算效率和精度，尤其適合求解斷裂問題。目前，還沒有基于正交各向異性材料斷裂問題的插值型無單元伽遼金比例邊界法的相關文獻，故而采用該方法分析含裂紋正交各向異性體具有一定的研究價值與實用價值，可為分析含裂紋正交各向異性體提供有效路徑。