基于“大概念”的高三復習課探索
——以“隱形圓問題”為例

馮宇斌 翟榮俊

(江蘇省無錫市洛社高級中學 214187)

1 背景描述

單元教學是落實數學核心素養的有效途徑．其中，“大概念”起到引領的作用．所謂“大概念”，是指能將眾多數學知識聯成一個整體的數學學習核心，它可以是一個具體的上位概念、重要命題或原理，也可以是一個數學主題、觀點或思想方法．例如，平面向量是一類重要的數學對象，溝通了幾何與代數，是解決問題的有力工具，可以視作知識型大概念；換元法是代數變形的常用方法，起到簡化結構、突出實質的作用，在函數、數列、不等式中都有體現，可以視作方法型大概念；轉化與化歸是數學解題的依據和導向，同時也是重要的數學思想方法，可以視作思想型大概念．

圖3

點評具體破解時，可以從“數”的性質角度，通過坐標法來分析；或從“形”的特征角度，通過幾何法來處理．

高三數學試卷講評課，要依據高考復習背景與試卷講評的課型特征和學生實際，選擇恰當的教學策略，提升數學關鍵能力，優化應試策略，為情境而教、為素養而教．

2 教學設計

例1已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(-1,0)，B(3,0)．

(1)直角頂點C的軌跡方程為；

(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程為．

解(1)設AB中點為D(1,0)，則CD=2，故C的軌跡是以D為圓心、2為半徑的圓(不含A,B)，方程為(x-1)2+y2=4(y≠0)．

(2)設DB中點為N(2,0)，則MN=1，故M的軌跡是以N為圓心、1為半徑的圓(不含D,B)，方程為(x-2)2+y2=1(y≠0)．

(也可以設M(x,y)，則C(2x-3,2y)，代入(1)中的方程，同樣得出結果，注意不含D,B)

小結 ①定點(圓心)和定長(半徑)是確定圓的兩個幾何要素；②根據具體問題，舍去一些不符合條件的點．

變式 (多選題)已知圓C的方程為x2+y2-4x=0．若直線y=k(x+1)上存在一點P，使過點P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數k的可能取值是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

設計意圖學會通過幾何分析，確定定點和定長找出隱形圓．同時注意“增點”問題，加深對曲線方程這一概念的理解．

思考 ①確定圓的幾何要素，除了圓心和半徑，還可以是什么？(CA⊥CB，或者說AB是圓的直徑)

②已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圓的一條直徑的兩個端點，求圓方程．

該方程稱為圓的直徑式方程，簡稱直徑圓方程．

例2已知點A(-1,0)，B(1,0)均在圓C:(x-3)2+(y-4)2=r2外，且圓C上存在唯一一點P滿足AP⊥BP，那么半徑r的值為．

小結 垂直這一幾何條件，往往隱含直徑圓．

小結 本題從幾何角度難以直接得出點P的軌跡，通過設點用代數方法求出P的方程．并且有如下結論：平面內到兩個定點的距離之比是定值(不等于0,1)的點的軌跡是圓，稱為阿波羅尼斯圓．

變式1 已知兩定點A(-3,0)，B(1,0)， 若直線l:x+ay-2=0上一點M滿足MA2+MB2=16，則實數a的取值范圍是．

設計意圖例3及其變式的處理方法都是設點、列式、化簡，這是求軌跡方程的一般方法．同時學生意識到背景條件雖有變化，背后都是隱形圓，軌跡意識得到強化．

例4(拓展)已知圓O:x2+y2=1，C:(x+1)2+y2=9，直線l與圓O相切，與圓C相交于A,B兩點，分別以點A,B為切點作圓C的切線l1,l2，設直線l1,l2的交點為P，則OP的最小值為．

設計意圖例4及其變式可視作隱形圓問題的延伸．例4是綜合問題，不僅要求學生具備較強的“動點找軌跡”意識，同時要熟悉基本模型；變式可以用常規解三角形的方法去做，較繁瑣．抓住條件CA+CB=3c=12>AB，本質上是一個隱橢圓問題，從而建立坐標系巧妙求解．

課堂小結，如圖1所示．

圖1

3 教學反思

“大概念”組織高三復習課，更容易揭示知識間的聯系，提高學生解決綜合問題的能力．對于高一、高二的新授課，我們常提到單元教學、大概念……而對于高三復習，筆者認為更應當去強化、去落實．高三學生具備了相當多的知識，積累了一定的方法和經驗，但缺乏整體性的認識，高三復習需要解決知識、方法的孤立問題．先確定大概念，再精心選擇內容相近、方法類似、本質相同的問題，學生的數學視野一旦打開，能力、素養也會得到相應的發展．例如，以多變量問題作為大概念去組織素材，消元、固元、基本不等式、函數思想等都可以容納進去．

“大概念”組織高三復習課，有助于解題方法的優化和取舍，提升思維的深刻性．一題多解是高三復習課常采用的方式，能夠幫助學生打開思路．實際操作過程中，有一個問題常被忽視，就是如何引導學生對多種解法進行評價、選擇、優化，甚至取舍．同時也并不是所有問題都應當或值得去追求多解的．用“大概念”的觀點看待這個問題，就是要區分該方法是否是一般方法，其適用范圍是否廣泛．有了這樣的認識，我們才可能做到善于選擇，大膽舍棄，而不是刻意尋求多種解法，降低課堂效率的同時浪費寶貴的時間．

編者按為密切編輯部與中學的聯系，本刊編委第28次“走進課堂”，于2022年9月15日赴江蘇省句容高級中學觀課議課．江蘇省句容高級中學由句容文化名人丁宣孝先生創建于1926年，建校以來，雖歷經風雨滌蕩，幾易校名，但終能弦歌不輟，薪火相續．近百年砥礪風雨，學校積淀了豐富而深厚的文化底蘊．學校秉承“誠·毅”校訓，大力打造“誠毅果行，守正出新”的精神文化，形成了“愛國、守紀、勤奮、健美”的校風，“敬業、奉獻、求實、創新”的教風和“奮發、探索、團結、進取”的學風．學校曾獲“江蘇省文明單位”“江蘇省實施素質教育先進學校”等多項省部級集體榮譽．近幾年來，承載著創建“高品質示范高中”的夢想，全校上下立足新起點，瞄準高目標，堅持“以人為本，立德為先，民主和諧，全面發展”的辦學理念，著眼于校園文化建設，在努力使所有學生得到充分發展的同時，積極促進教師素質的全面提升，爭取大幅度提高教育教學質量，以期使學校綜合辦學績效獲得社會的更廣泛認可．