外場下一種分形上Potts模型的臨界性質(zhì)

尹訓(xùn)昌，馬業(yè)萬

（安慶師范大學(xué)，安徽 安慶 246133）

0 引言

相變在自然界中廣泛存在，系統(tǒng)在相變點附近的臨界性質(zhì)一直是統(tǒng)計物理中的一個重要的研究課題，在汪志誠所著的《熱力學(xué)與統(tǒng)計物理》的相變章節(jié)中，主要求得了在無外場時一維Ising系統(tǒng)和正方格子Ising模型的相變點。教材中的正方格子是平移對稱晶格，即有平移對稱不變性的特點。分形不滿足平移對稱特點，并且它具有一個有趣的特點，即分形維數(shù)可以取非正整數(shù)，更加接近自然界的真實鐵磁系統(tǒng)，因此，研究分形上的相變和臨界特性有一定的理論意義。分形最早在數(shù)學(xué)中提出，它具有自相似的特點，分岔度和分形維數(shù)是兩個重要指標(biāo)。上世紀(jì)80年代初，Gefen等最先研究了幾種規(guī)則分形上Ising模型的相變［1］，求得了無外場下系統(tǒng)的相變點。從此以后，分形系統(tǒng)上自旋模型的相變成了一個研究熱點［2-7］。Ising模型是一種最簡單的自旋模型，可以模擬鐵磁材料的相變，但自旋變量只能取1和-1兩個值。而Potts模型的自旋變量可以取連續(xù)的整數(shù)值，能更好地解釋鐵磁材料的相變問題。Potts模型的工作主要集中在無外場情況下，不能很好地說明在相變點附近的臨界行為。本文研究存在外場情況時的臨界特性，采用實空間重整化群變換的方法，研究一種不能約化的分形上Potts模型的臨界特性。

1 外場下一種分形上的Potts模型

本文研究的分形是一種規(guī)則分形，構(gòu)造過程見參考文獻(xiàn)［5］，它的分岔度為無窮大，其分形維數(shù)為d f=ln 8/ln 2=3。為了簡單，只考慮最近鄰相互作用，存在外場時該分形上2態(tài)Potts模型的有效哈密頓量表示為：

（1）式中，K表示約化的相互作用變量，si和sj分別代表分形格點i和j上2態(tài)Potts模型的自旋變量，si和sj取1和2兩個數(shù)值，＜sisj＞表示對格點自旋的最近鄰求和，δ是克羅內(nèi)克delta符號，h代表簡化的外磁場。此系統(tǒng)的配分函數(shù)為：

2 實空間重整化群過程

取該分形的生成元圖1（a）進(jìn)行重整化群變換，其格點上的自旋分別用sa，sb，s1，s2和s3來表示。根據(jù)表達(dá)式（1），可以寫出生成元的有效哈密頓量為：

圖1 實空間重整化群變換過程

經(jīng)過實空間重整化群變換后，圖1（a）內(nèi)部的s1，s2和s3被消去變?yōu)閳D1（b），這個過程寫為：

上式中，A僅表示一個與積分有關(guān)的重整化群變換常數(shù)，H′為一次重整化群變換后的有效哈密頓量，它的表達(dá)式寫為

其中，s′a和s′b表示圖1（b）格點位置上的自旋變量，K′表示圖1（b）的最近鄰的相互作用變量，h′表示重整化群變換后的簡化的外磁場。

根據(jù)（3）式、（4）式和（5）式，經(jīng)過計算，得到該系統(tǒng)重整化群變換后的表達(dá)式為：

其中

（6）式稱為該系統(tǒng)的遞推關(guān)系。從（6）式出發(fā)，假設(shè)最近鄰相互作用參數(shù)K′=K=K*，h′=h=h*，通過計算求得該系統(tǒng)的臨界點為：

根據(jù)實空間重整化群變換理論，把遞推關(guān)系（6）式在臨界點處展開，得到該系統(tǒng)的線性變換矩陣如下：

從（8）式很容易看出該矩陣的本征值為λ1=2.073，λ2=1.916，其中λ1是一個與溫度有關(guān)的本征值，而本征值λ2則表示磁場有關(guān)的量。根據(jù)標(biāo)度理論，由兩個本征值得到標(biāo)度冪如下：

其中，df=3表示該分形的分形維數(shù)，L=2表示變換的標(biāo)度因子。用α、β和γ分別表示該系統(tǒng)的比熱、自發(fā)磁化強度和零磁場磁化率的臨界指數(shù)，而磁場強度、關(guān)聯(lián)函數(shù)和關(guān)聯(lián)長度的臨界指數(shù)則依次用δ、η和ν表示。上面的6個臨界指數(shù)可以很好地反映系統(tǒng)在臨界點的臨界特性，根據(jù)6個臨界指數(shù)的定義式求得臨界指數(shù)的值分別為α=-0.851，β=1.960，γ=-1.068，δ=0.455，η=3.124，ν=0.950。

3 結(jié)論

應(yīng)用重整化群變換的方法，討論了外場下一種分形上Potts模型的臨界行為，得到了該系統(tǒng)的臨界點和6個臨界指數(shù)。結(jié)果表明，該分形加上外場后，系統(tǒng)在在K*=0.528，h*=0發(fā)生相變，即存在有限溫度的相變。與外場下該分形上的Ising模型相比較，發(fā)現(xiàn)兩個系統(tǒng)都存在有限溫度的相變，但臨界點和臨界指數(shù)的數(shù)值發(fā)生了改變，究其原因是它們屬于兩個不同的物理模型。通過分析，發(fā)現(xiàn)它們屬于不同的普適類。