基于直觀想象的后建構課堂教學實踐研究*
——以“反比例函數圖象下的面積問題”為例

?江蘇省無錫市東絳實驗學校 毛巾鈞

1 引言

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出，數學學科核心素養主要表現為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識.其中，利用幾何直觀建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型[1].后建構課堂，是指在解構學生已有的知識，使之被學生重新認知和接受，并在新的認知情境下進行重組和再構，形成新的認知結構的課堂.后建構教學是在建構主義和后結構主義指導下，在新知識教學結束后，幫助學生建構更為完整的知識結構、技能結構、思維結構和素養結構的課堂教學[2].

筆者最近觀摩了一節區公開課“利用幾何直觀解反比例函數圖象下的面積問題”，對直觀想象這一核心素養的形成和發展有了更深層的理解和體會，也借此思考并研究后建構課堂教學如何使核心素養的培育真正落地呈現，如何使學生的深度學習有效發生，如何促進高階思維的深層發展.

2 課堂再現

2.1 課堂引入，回顧知識

問題1由如圖1你能想到什么？

圖1

生：這是反比例函數的圖象，雙曲線.

問題2你能求出這個函數的表達式嗎？

生：不能.

問題3如何添加一個條件，可以求出它的表達式？

生1：給出一個具體的點，比如圖象經過點A(2，3).

教師解釋了所謂“幾何直觀”是指“我們能直接觀察到的有關圖形(圖象)的信息”，并在以上問題串的基礎上引出本節課的課題：利用幾何直觀解反比例函數圖象下的面積問題.在教學過程中，教師逐步板書本節課復習反比例函數的主要內容，如圖2.

圖2

2.2 回顧結論，引出模型

教師出示兩個基本圖形，如圖3和圖4，通過個別提問，讓學生回顧與三角形面積有關的基本結論.

圖3

圖4

模型1：一點一線.

教師出示兩張變式圖，如圖5和圖6，求陰影部分的面積.

圖5

圖6

在圖5中，大部分學生能想到通過平行得到同底等高的兩個三角形面積相等進而轉化為求△OAC的面積.教師引導學生借助基本結論小結歸納此模型“在一條雙曲線上取一個點，得到的三角形或四邊形的面積問題”，并得出解決面積問題的方法1：平行線→等積轉化→基本圖形.

模型2：兩點一線.

如圖7和圖8，增加有關圖形面積的具體條件，利用基本圖形解決面積和差問題.歸納此模型為：在一條雙曲線上取兩個點，得到的三角形和四邊形的面積問題.其中四邊形的面積和差問題設置了類比學習，讓學生類比三角形的面積問題自己畫圖設問并求解.在解決問題的基礎上歸納得出解決面積問題的方法2：割補法.

圖7

圖8

模型3：兩點兩線.

如圖9和圖10，教師歸納此模型為：分別在兩條雙曲線上各取二個點，得到的三角形和四邊形的面積問題.其中四邊形的面積問題同模型2一樣，設置了類比學習，讓學生類比三角形的面積問題自己畫圖設問并求解.

圖9

圖10

2.3 綜合運用，解決問題

圖11

圖12

圖13

2.4 總結歸納，能力提升

教師總結歸納，如表1

表1 模型歸納表

3 課后思考

3.1 直觀想象引起知識的發生

笛卡爾創立的解析幾何，尤其是函數圖象問題，數形結合思想方法的體現最為明顯.本節課全程僅用十幾張圖解決一系列反比例函數圖象下的面積問題，充分體現了幾何直觀的震撼力.本節課在引入環節，從較為熟悉的一目了然的雙曲線入手，喚起學生對舊知的回憶，并在此基礎上引起學生對反比例函數圖象中的面積問題展開深入研究.

3.2 直觀想象促進知識的發展

通過直觀想象，學生進一步建立形與數的聯系，構建反比例函數圖象下面積問題的直觀模型，從模型1(一點一線)到模型2(兩點一線)到模型3(兩點兩線)，構建一系列模型，均根據基本圖形來解決問題.形成的若干直觀模型，可促進學生對反比函數圖象下的面積問題的掌握，并能總結歸納計算面積問題的3種方法.

3.3 直觀想象助力知識的運用

在綜合運用環節，由直觀的基本模型圖再次深入探究，借助幾何直觀理解問題，以形助數，在具體的問題情境中形成數學直觀從而運用所學知識解決問題.在求解斜三角形的面積問題時，學生能夠根據幾何直觀利用模型結論，化復雜圖形為基本圖形，化未知為已知，在知識的綜合運用中進一步掌握反比例函數圖象的性質以及面積問題的求解.

3.4 直觀想象促成知識的歸納

本節課研究反比例函數圖象下的面積問題是在幾何直觀的大背景下展開的，從直觀觀察到方法提煉到思維提升，層層遞進，層層落實，很好地將基本知識、基本技能、基本方法、基本思想落實到位.將零散的知識形成框架結構，方法和思想融合其中，促成學生對知識的歸納和建構，真正意義上使得核心素養落地，深度學習發生.

4 后建構再探

如何使核心素養的培養真正落地呈現，如何使學生的深度學習有效發生？借助對本節課的思考，筆者從以下三個方面對核心素養背景下的后建構課堂教學進行再探.

4.1 以素養為指向設定教學目標

后建構課堂往往承載著對知識的回顧與再構、鞏固與再生.如，本節利用幾何直觀解反比例函數圖象下的面積問題，在教學設計中融入直觀想象這一核心素養，更確切地說，是將直觀想象這一核心素養貫穿始終.它既是解決函數圖象中面積問題的工具，又是素養的外顯表現，是方法也是目標，是一以貫之的內線也是重要方法之一.不妨拓展一下，在初中階段有關函數(一次函數、反比例函數、二次函數)的專題復習中，數形結合是重要的思想方法，而直觀想象是發現、提出、分析、解決問題的重要手段，它能夠有效地建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題.函數問題中有關圖形(圖象)的問題，比如圖象的交點、圖象的性質、圖形的周長面積、圖形的存在性等都需要借助直觀想象來理解并解決問題.它既是重要手段，也是理解和解決問題的基本素養.

4.2 以素養為手段制定教學模式

核心素養背景下的課堂教學模式大致分為四個環節：(1)知識梳理，(2)建立模型，(3)模型運用，(4)總結歸納.以本節課為例，首先梳理反比例函數的有關知識點，最好能形成網絡框架;其次建立兩個基本模型并在此基礎上建立三個變式模型(一點一線、兩點一線、兩點兩線);然后綜合運用模型解決復雜問題，即通過達成度進一步檢驗模型;最后總結歸納模型的運用、方法的掌握、思想的滲透等.整個學習過程經歷學習的發生、發展、運用到知識建構，四個環節相輔相成，呈現直觀想象這一核心素養在解決問題中的中心位置.幾何直觀貫穿學習過程的始終，在學生的整個學習過程中盡情展開，絕不是一點一滴地滲透，而是通過一系列圖形、一系列模型將幾何直觀這一核心素養充分呈現.從圖形入手，以直觀為手段，幫助學生分析和解決反比例函數圖象下與比例系數有關的面積問題.

4.3 以素養為目標落實問題的解決

素養的落地呈現最終的檢驗標準是什么？解決問題.直觀想象有助于建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.在本節課中，如果最終能增加一個解決問題的環節，也就能真正使素養落地呈現，比如解決一個實際生活中與反比例函數有關的問題(諸如八省聯考中的有關大興機場的問題).數學學習的目的是為了解決問題，尤其是解決具有生活價值的問題.我們需要讓學生了解怎樣的知識才是有價值的.生活和未來都充滿不確定性，而確定的方法、技能、素養能夠幫助學生解決這些問題，這才是最有價值和意義的.在核心素養背景下的課堂教學，要走出課堂，走進生活.解決問題是數學知識和現實生活的橋梁，而直觀想象是數和形的橋梁，數形結合形成數學直觀，在具體的情境中解決問題從而使得核心素養真正落地呈現.

5 結語

核心素養背景下的后建構課堂教學，在不斷實踐和積累中彰顯它獨特的魅力，使得核心素養可觀測、可評價、可呈現、可落地，這樣的課堂教學要形成的課堂形態、教學范式需要持續地認真探索和實踐，只有這樣六大核心素養才能真正意義上在課堂教學中落地，才能促進學生的深度、高效學習，促進思維的高階發展.