以學生動手實踐為載體，發展學生綜合能力
——以綜合實踐課“巧算乘法”為例

?珠海市第七中學 于 焱 ?珠海市梅華中學 吳森雄

1 引言

“綜合與實踐”是《義務教育數學課程標準(2022年版)》的課程內容之一，也是數學課程中學生理解數學與運用數學能力的重要載體.推進“綜合與實踐”課程的理解與研究，能加速數學新課標的落實、數學新課程的發展和新評價方式的轉變.下面以新人教版八年級上冊第122頁的數學活動課和數學課程標準附錄1中“例66 代數推理”為例，與同行交流、探討.

2 教學過程

師：今天我們上一節與眾不同的數學課，首先請完成表格1與表格2.

表格1

表格2

教學分析：利用知識鋪墊，從學生最近發展區出發，喚醒學生潛能，啟發思考，為學生學習搭建適切的階梯，建構向上攀爬的腳手架.課堂的重點是符號表示并推導規律；難點是如何割補圖形并平移到合適的位置，利用幾何圖形證明公式的實際意義.因此設計了2個表格，旨在讓學生掌握重點、突破難點.

活動一：速算比賽.

15×15 =？

25×25 =？

35×35 =？

65×65 =？

…………

教學分析：新課探究采取知識競賽的形式，通過游戲環節快速入題，迅速調動學生的學習情緒，提升課堂氣氛.學生有口算的，也有動筆計算的，甚至小組合作，迅速完成了以上題目，有效激發了學生學習興趣和探究欲望.動筆計算的同學非常好奇為什么有的同學可以迅速完成？主動請教那些口算順利完成的同學.

活動二：探究一般規律.

師：你能夠按照以上題目結構給身邊的同學出題嗎？

教學分析：學生先獨立思考后互相出題，然后計算答案，組長檢查組員的題目結構是否符合例題特征，結果是否正確.目的是讓學生認真觀察算式結構，了解算式特征，理解計算規律.

師：同學們都能夠眼動觀察、腦動思考、嘴動交流，且能通過小組互相合作完成上述活動.如果加大難度，請問125×125結果是多少？

教學分析：學生陷入短暫的寂靜后議論紛紛，很好奇這道題也能口算嗎？設置這個環節的目的是利用學生的認知沖突，激發學生的興趣，讓學生帶著問題思考.

師：讓我們學完這節課再來解決125×125等于多少這個問題.先觀察活動一中的算式及結果，請說出結果與算式本身具有什么關系？

生1：等號的左邊都是兩個相同的數相乘，可以寫成兩位數的平方，且這個兩位數的個位都等于5.

生2：等號右邊的結果的個位是5，十位是2，末尾兩位數是25.

師：問題的關鍵是左邊算式兩位數的十位上的數字和結果中的百位數字或千位數字之間有什么關系？

生3：由15×15 =225可得結果中的百位數的2=1×2，由25×25 =625可得結果中的百位數的6=2×3，由35×35 =1 225可得結果中的百位和千位上的12=3×4，所以猜想結果中百位數字或千位數字可以由原十位上的數字加1再與自身相乘得到.

生4：根據前面同學的總結可得，15×15 =1×2×100+25=225，25×25 =2×3×100+25=625，35×35 =3×4×100+25=1 225，所以猜想原十位上的數字加1再與自身相乘得到的結果乘100，再加上25，就是個位數字為5的兩位數的平方數的結果.

師：非常棒!觀察細致入微，思維清晰，邏輯縝密，歸納有理有據.請同學們結合所學的整式知識，用符號表示出剛才得到的一般性的規律.

活動三：用符號表示一般性規律.

教學分析：由數到字母的轉換和用字母表示數是本節課的難點，這時候適當引導遇到困難的學生回歸課堂開始部分的知識鋪墊表格，凸顯了課堂的引入設計非常必要及時，不僅喚醒學生對知識的理解，而且是本節課難點的有意分解，設計知識的腳手架使學生順利解決問題.大部分學生對比表格1的獨立思考后大膽猜想，小組成員對猜想結果進行分析、研討，并總結與反思猜想過程，最后小組之間交流展示.

生5：(10a+5)(10a+5)=100a(a+1)+25.

師：請再舉幾個具有這樣特征的例子，并用上述方法驗證其正確性.

生6：85×85=8×9×100+25=7 225，根據上面猜想的規律得到的結果驗算正確.

師：請大家利用本章所學知識推導證明生5給出的規律.

生7：從左邊往右邊證明，(10a+5)(10a+5)=100a2+100a+25=100a(a+1)+25.

生8：從右邊往左邊證明，100a(a+1)+25=100a2+100a+25=(10a+5)(10a+5).

生9：可以分別化簡左右兩邊的算式，左邊=100a2+100a+25，右邊=100a2+100a+25，左邊=右邊，所以猜想成立.

師：非常棒！三種不同的證法體現了三種思考問題的方式，由左往右證明體現了正向思維，由右往左證明體現了逆向思維，第三種則是正常的整式化簡，三種方法均閃耀著智慧的光芒.

師：同學們已經學習了利用圖形的面積證明平方差公式和完全平方公式，你能用類似的方法通過圖形面積說明以上規律嗎？

活動四：每小組均有彩色卡紙，組長組織本小組同學研討交流，畫圖后通過圖形分割—平移—組合等步驟進行證明.

(活動目的：學生經歷動手操作，了解公式的幾何意義，發展數學抽象和模型思維能力.)

生10：根據前面學過的完全平方公式，可知等式的左邊可以表示為一個邊長為(10a+5)的正方形的面積，至于從左到右的證明暫時還沒有思路.

師：正方形的面積是邊長的平方，由數的平方聯想到正方形的面積，其他同學有補充嗎？

生11：由平方差公式的幾何證明得到啟發，通過切割—平移—組合圖形后即可證明.等號右邊100a×(a+1)+25可化成100a(a+1)+5×5，可以猜想5×5是一個正方形的面積，100a(a+1)是一個長方形的面積.所以我們小組將其中一個長為5，寬為10a的小長方形平移到如圖1所示的位置，組成一個長為10a，寬為(10a+10)的長方形和邊長為5的正方形，新長方形的面積為10a(10a+10)=100a2+100a=100a(a+1)，正方形面積為5×5，證明完畢.

圖1

師：思路清晰，思維縝密.

教學分析：在數學學習中，利用數形結合能有效啟發思路，理解題意，分析思考，判斷反饋.這個環節利用圖形面積將幾何問題與整式問題結合起來，“以形助數，用數解形”.整式乘法中不管是單項式相乘、多項式相乘還是公式中的平方差、完全平方都具有“數的特征”和“形的特征”兩重性.因此，可以從數形結合的角度理解、掌握知識的本質屬性.數形結合讓這節綜合與實踐課形象起來，并使學生運用數形結合思想去思考問題.其實，本節課到底是先通過乘法公式推導規律還是先利用幾何圖形證明規律，筆者在不同班級授課均有嘗試，兩種方法都各有優劣.

師：請同學們在小組長的組織下按照以下活動清單完成自主探究活動五，時間15分鐘.

活動五：

(1)速算比賽.

53×57 =；

38×32 =；

84×86 =；

71×79 =.

請舉類似例子：×=……

(2)觀察上述每一個算式及結果，你能發現這些結果與算式本身具有什么關系嗎？

(3)猜想：以所學的整式知識，用符號表示出剛才得到的一般性規律.

規律： ______________________________________

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(4)驗證：根據本章學習的知識推導出你得到的規律.

(5)你能利用學過的圖形面積說明以上規律嗎？

教學分析：活動五和活動一的流程基本相同，所以把活動五交由小組自主探究，教師負責調控小組活動進程.學生在小組長的帶領下根據問題串展開觀察、猜想、歸納、研討、驗證、操作實驗等課堂活動，教師組織有困難的小組去觀摩學習，最后組織各小組進行學習成果展示.

課堂結束時，學生基本上都能獨立或在小組長的幫扶下順利掌握以下計算：

(1)95×95； (2)93×97；

(3)125×125； (4)114×116．

3 教學反思

(1)注重學生的參與與體驗感

本節課中教師精心設計問題，以問題串為線，讓學生親歷觀察、猜想、推理、抽象、歸納、驗證和實驗操作等多樣性課堂活動，經歷發現問題，提出問題、分析、解決問題的過程.在課堂中，教師設計競賽、游戲和實驗操作等多樣性活動，讓學生動腦思考問題，動口交流問題，讓學生在交流表達中促進對內容的理解，增強知識的遷移能力，提高分析問題的能力.引導學生經歷項目式學習的全過程，學生通過小組合作或獨立思考，經歷發現問題和提出問題的過程.但由于各種原因或慣性使然，學生在提出問題方面的能力需要加強.

(2)注重培養學生的動手操作能力

手是思維的工具和鏡子，在教學中盡可能設置與教學內容相關的動手操作實驗，能夠有效減少學習障礙，降低學習難度，提升學習興趣.學生在動手的過程中理解知識、掌握方法、學會思考和交流、獲得情感態度的體驗，變被動學習為主動、自覺地自主探究.

(3)注重幾何直觀的推廣

數學家希爾伯特認為：“圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結果.”本節課教師根據教學內容嘗試訓練學生借助幾何圖形解釋整式乘法運算的活動，以發展學生的幾何直觀能力、數形結合意識.這樣的活動從不同角度推導出了公式，有利于學生鞏固并理解公式，也讓學生體會代數運算的幾何背景，問題解決過程則讓學生嘗試借助圖形分析解釋代數運算.教師往往只在幾何內容的教學中重視幾何直觀，新課標對幾何直觀提出了更高的要求，需要站在整個初中數學角度重視幾何直觀，學會結合圖形思考問題是學習數學的基本能力.學生在體驗想圖、作圖、讀圖、解圖、釋圖的過程中，真正做到心中有圖，圖中有數，利用數形結合思想簡明答題，做到學以致用.

(4)注重代數推理的滲透

新課標中新增了代數推理內容，本節課是引導學生在代數推理歸納的過程中發現事物變化規律的方法.學生在經歷試錯、糾錯、釋錯的過程中體驗由特殊數值計算到一般符號公式表達的活動，感受從特殊到一般的思維過程.學生經歷“觀察—猜想—證明”的項目式學習過程，在數學競賽實際情境中發現計算規律問題，提出解決計算規律問題的思路，根據問題條件和預期結論分析，構建這類計算規律的式模和圖模，體驗用合情猜想發現結論、用演繹推理證明結論的代數推理過程，在這個過程中理解數學、應用數學，能夠有效提升學生邏輯推理的數學核心素養.代數推理重視學生提出猜想、修正完善、發現規律和證明結論的過程.

(5)注重建模思想的培養

本節課學生從現實生活的具體競賽情境中抽象出數學問題，然后用整式建立公式表示數學問題中的變化規律，這一環節學生經歷觀察、分析、猜想、抽象、概括判斷等數學活動，完成抽象，得到式模和圖模.最后利用幾何圖形解釋模型的意義，反思模型的合理性，通過模型去求解具體問題.其過程如圖2所示.

圖2

4 結語

《義務教育數學課程標準(2022年版)》強化了“綜合與實踐”的地位，要求教師設置實踐、探究、體驗、反思、合作和交流學習活動，學生利用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現實問題.因此，教師在每學期均應選擇適量的課題，設計內容豐富多彩的“綜合與實踐”課，讓學生充分自主地參與數學活動，培養學生的數學核心素養.