以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)
——聽“鐘面上的數(shù)學(xué)”有感

?江蘇省張家港市合興初級(jí)中學(xué) 王 娟

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能參與綜合實(shí)踐活動(dòng)，積累綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法等解決簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課是一個(gè)比較好的“綜合與實(shí)踐”課題，是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，利用一定的工具(實(shí)物、軟件)，通過動(dòng)手操作、觀察思考、合作交流、歸納抽象等過程構(gòu)建數(shù)學(xué)概念、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)新知、解決數(shù)學(xué)問題的一種學(xué)習(xí)方式.在一次初一年級(jí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討活動(dòng)中,有幸聆聽了一位數(shù)學(xué)名師執(zhí)教的“鐘面上的數(shù)學(xué)”一課,很有感觸,回味無窮.

1 “回眸一想”，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)中，數(shù)學(xué)思考主要指學(xué)生通過觀察、歸納、概括、論證、計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和清晰地表達(dá)自己的想法，發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和特有的思維方式.在具體的教學(xué)過程中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生通過回顧舊知，明晰已有知識(shí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考，為后續(xù)的學(xué)習(xí)活動(dòng)做好鋪墊.

教學(xué)片斷一：回眸一想

問題1一天24小時(shí)(0：00～24：00)，時(shí)針、分針、秒針分別轉(zhuǎn)過多少圈？

問題2當(dāng)分針轉(zhuǎn)過一圈時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過多少度？

問題3當(dāng)秒針轉(zhuǎn)過一圈時(shí)，分針轉(zhuǎn)過多少度？

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：如圖1,出示掛鐘，并轉(zhuǎn)動(dòng)指針.

圖1

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察時(shí)針、分針、秒針的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，尋找其中的數(shù)學(xué)知識(shí).通過小組協(xié)同學(xué)習(xí)，歸納、總結(jié)時(shí)針、分針、秒針同一時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度及它們數(shù)量間的關(guān)系.(3分鐘后)

生1：我代表第1小組發(fā)言.我們認(rèn)為，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是6°，秒針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是360°.

師：你們還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：我代表第3小組發(fā)言.我們發(fā)現(xiàn)鐘面被分成了12個(gè)大格、60個(gè)小格，如果把格點(diǎn)和鐘面的中心連起來，那么，每個(gè)小格對(duì)應(yīng)的角度是6°，每個(gè)大格對(duì)應(yīng)的角度是30°.

師：很好！你們歸納的這些隱藏在鐘面的生活常識(shí)，正是重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，是我們解決許多實(shí)際問題、數(shù)學(xué)問題的依據(jù)、基礎(chǔ).

教學(xué)思考：利用三個(gè)基本問題，學(xué)生充分回顧、整理了已有的知識(shí)，厘清了時(shí)針、分針、秒針轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，鐘面上隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)以及它們之間的關(guān)系，并能利用這些知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的問題.這種實(shí)物觀察、歸納驗(yàn)證，正是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證結(jié)論的常用方法，通過這樣的活動(dòng)，幫助學(xué)生積累了數(shù)學(xué)思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，充分體現(xiàn)了執(zhí)教者豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、深厚的教學(xué)功底.

2 “靜心一算”，幫助學(xué)生積累主動(dòng)學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，“綜合與實(shí)踐”的一個(gè)教學(xué)目標(biāo)是，通過有趣的問題，促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)、生動(dòng)活潑地學(xué)習(xí)與思考.教師要放手讓學(xué)生去操作、嘗試、討論、總結(jié)、提煉，在活動(dòng)中有感悟，有體驗(yàn)，有發(fā)現(xiàn)，獲得收益.本節(jié)課，教師以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過問題串引領(lǐng)學(xué)生采用多樣化的主動(dòng)學(xué)習(xí)方式，取得了很好的學(xué)習(xí)效果.

教學(xué)片斷二：靜心一算

問題4從0點(diǎn)的位置起，經(jīng)過多少分鐘，時(shí)鐘的時(shí)針和分針第一次互相垂直？

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：教師出示掛鐘，如圖2.生3上臺(tái)演示，學(xué)生進(jìn)行觀察.

圖2

師：通過觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)先獨(dú)立思考.

2分鐘后小組內(nèi)交流，然后再全班展示.(3分鐘后)

生3：從鐘面上看，時(shí)鐘的時(shí)針和分針第一次互相垂直，也就是說分針轉(zhuǎn)過的角度與時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度的差應(yīng)該是90°.

師：如何將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題呢？

師：很好，通過引人變量x，利用方程很快解決了這個(gè)問題.

教學(xué)思考：應(yīng)用方程將“時(shí)針和分針第一次互相垂直”轉(zhuǎn)化為“6x-0.5x=90”，就是學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程.事實(shí)上，學(xué)生在生活中已經(jīng)積累了一些數(shù)學(xué)原始的、初步的經(jīng)驗(yàn)，通過觀察、討論、交流，讓生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識(shí)“有效對(duì)接”，使得生活經(jīng)驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”，這是我們平時(shí)教學(xué)中需要關(guān)注的學(xué)科素養(yǎng).因此，在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，教師應(yīng)給學(xué)生充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生參與看書學(xué)習(xí)、實(shí)物觀察、獨(dú)立思考、小組學(xué)習(xí)、全班展示等學(xué)習(xí)活動(dòng)，在活動(dòng)中積累主動(dòng)學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3 “動(dòng)手一做”，幫助學(xué)生積累探究活動(dòng)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

問題探究指的是從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決簡(jiǎn)單的問題，獲得分析和解決問題的基本方法，增強(qiáng)運(yùn)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.積累探究經(jīng)驗(yàn)不是通過簡(jiǎn)單的活動(dòng)和思考就可以完成的，需要結(jié)合真實(shí)的情境，讓學(xué)生經(jīng)歷感知數(shù)學(xué)、深度思考與解決問題的完整過程，能夠在學(xué)習(xí)與體驗(yàn)、想象與推理、概括與運(yùn)用中感悟數(shù)學(xué)方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，增進(jìn)數(shù)學(xué)想象，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造.同時(shí)，在動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”的過程中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的熱情，建立學(xué)習(xí)的自信，啟思明理，積累經(jīng)驗(yàn)，提升素養(yǎng).

教學(xué)片斷三：動(dòng)手一做

問題5時(shí)針與分針從第一次互相垂直到第二次互相垂直時(shí),時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過的角度之間有什么關(guān)系?

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：教師出示掛鐘，調(diào)轉(zhuǎn)鐘面上的指針，使時(shí)針與分針重合在12點(diǎn)處，再次調(diào)轉(zhuǎn)鐘面上的指針.學(xué)生從圖3到圖4觀察時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過的角度之間的關(guān)系，再分組討論.教師巡視.(3分鐘后)

圖3

圖4

生5：我們可以將圖3與圖4中垂直時(shí)的分針與時(shí)針看成一個(gè)直角，并且把它們放在同一個(gè)圖形中(在黑板上畫出圖5).設(shè)第一次垂直的位置是OA⊥OB，第二次垂直的位置是OC⊥OD，再延長(zhǎng)BO.

圖5

師：很好！請(qǐng)你們觀察圖5，先獨(dú)立思考，看看有什么結(jié)果？(2分鐘后)

生6：因?yàn)椤螩OA+∠AOD=90°，∠EOD+∠AOD=90°，所以∠EOD=∠AOC.

師：很好.這一結(jié)果告訴我們什么呢？

眾生：時(shí)針與分針從第一次互相垂直到第二次互相垂直時(shí),時(shí)針比分針少轉(zhuǎn)了180°.

師：根據(jù)這個(gè)事實(shí)，你們能設(shè)計(jì)什么問題，如何用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決呢？請(qǐng)先小組內(nèi)討論，把問題與結(jié)論記錄下來，5分鐘后再展示.(5分鐘后)

生8：(問題6)從0點(diǎn)開始，到12點(diǎn)結(jié)束，時(shí)針與分針互相垂直的次數(shù)是多少？

師：這是一個(gè)很好的問題！如何解決呢？說說你的思路.

師：生8給我們提供了一個(gè)解決問題6的方案，但是，我們還沒有學(xué)習(xí)不等式的相關(guān)知識(shí)，生8無法求得最后的結(jié)果.大家討論一下，能否給出一個(gè)解決問題辦法？(2分鐘后)

所以，n的最大值為22.也就是說從0點(diǎn)開始，到12點(diǎn)結(jié)束，時(shí)針與分針互相垂直的次數(shù)是22次.(全班掌聲一片！)

…………

教學(xué)思考：從問題5的提出到問題6的提出和解決，學(xué)生經(jīng)歷了操作實(shí)驗(yàn)、幾何推理、數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)驗(yàn)證的全過程，獲得了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗(yàn)，提高了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等關(guān)鍵能力.同時(shí)，通過這一環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)會(huì)了研究問題、解決問題的途徑，積累了探究活動(dòng)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4 “明白一理”，讓學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累走向深入

我們知道，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)在持續(xù)積累的過程中，需要學(xué)生之間、師生之間的交流、總結(jié)以及自我反思.在交流與反思的過程中，讓學(xué)生充分體會(huì)實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知思維的縱深拓展，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)走向深入.

教學(xué)片斷四：明白一理

師：從問題1到問題6，我們都是從實(shí)際問題出發(fā)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，最后解決問題，其過程如圖6所示.

圖6

教學(xué)思考：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們的教學(xué)目標(biāo)不能僅限于一節(jié)課，應(yīng)把目光放得更長(zhǎng)遠(yuǎn)一些，立足于為學(xué)生的終身發(fā)展服務(wù).因此，在課堂小結(jié)時(shí)，一方面要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、技能技巧的歸納、整理；另一方面要重視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)獲取的途徑、思維活動(dòng)的過程、探究活動(dòng)的經(jīng)歷進(jìn)行回顧、反思，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解從量的積累到質(zhì)的飛躍，同時(shí)還能獲得最具有數(shù)學(xué)本質(zhì)、最具價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)真正從有效走向高效.

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是看不見、摸不著的，也難以言表，而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程是一個(gè)不斷上升、不斷內(nèi)化的過程，需要師生共同的努力.因此，教師要適時(shí)地給學(xué)生提供有效的探究性學(xué)習(xí)的時(shí)間與空間，學(xué)生要在親歷中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中積累，在積累中不斷成長(zhǎng).只有這樣，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)才是有品味的，有意義的，才能有詩和遠(yuǎn)方.