一道圖形旋轉問題的解題突破與探究
——以2021年宿遷市中考旋轉壓軸題為例

?蘇州高新區實驗初級中學 陳 超

1 考題初探

考題(2021年江蘇宿遷中考數學試卷第27題)已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉一周.

圖1

(2)當正方形AEFG旋轉至圖2位置時，連接CF和BE，分別取CF和BE的中點為M和N，連接MN，試探究MN與BE的關系，并說明理由；

圖2

(3)連接BE和BF，分別取BE和BF的中點為N和Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積.

思路突破：本題以正方形旋轉為背景開展幾何探究，屬于動態幾何問題，解析突破需要把握運動規律，采用“化動為靜”的策略，構建幾何模型，利用性質定理求解.下面逐問探究.

1.1 第(1)問的探究

第(1)問求正方形AEFG繞點A旋轉時其中的線段比例關系，問題中隱含了“手拉手”正方形模型，提取其中的相似關系即可求解線段比值.

圖3

1.2 第(2)問的探究

第(2)問取中點構建了線段，可以考慮采用旋轉變換的方法，提取其中的全等關系，實現線段的轉化，再結合其中的幾何性質探究關系.

如圖4,連接BM并延長使BM=MH，再連接FH，EH.可將△FMH視為是△CMB繞點M旋轉180°所得，必然有全等關系，證明過程如下.因為M是CF的中點，所以CM=MF.又知∠CMB=∠FMH，則△CMB≌△FMH.由全等性質可得BC=HF，∠BCM=∠HFM.

圖4

在四邊形BEFC中，有∠BCM+∠CBE+∠BEF+∠EFC=360°，又知∠CBA=∠AEF=90°，所以∠BCM+∠ABE+∠AEB+∠EFC=360°-90°-90°=180°，∠HFE+∠ABE+∠AEB=180°，所以∠HFE=∠BAE.又知四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，所以BC=AB=FH，EA=EF，則△BAE≌△HFE，從而BE=HE，∠BEA=∠HEF.因為∠HEF+∠HEA=∠AEF=90°，所以∠BEA+∠HEA=90°=∠BEH，可證△BEH為等腰直角三角形.

1.3 第(3)問的探究

第(3)問中同樣取線段BE和BF的中點，求線段QN掃過的面積，顯然需要確定線段QN的運動軌跡.由于點Q和N兩點因旋轉而發生位置變化，可知點Q和N的軌跡為圓，因此，只需確定軌跡圓的圓心和半徑即可.

圖5

2 深度探究

上述一道中考幾何旋轉題中涉及到了眾多的知識點和幾何模型，如圖形旋轉、三角形相似、中位線性質、圓環面積，以及“手拉手”模型等.其中第(3)問為考題的核心之問，考查學生對幾何運動規律的把握，從本質上來看，可將其歸為線段旋轉掃過的圖形面積問題，下面對此進一步深入探究.

2.1 線段旋轉歸納

對于線段旋轉掃過的圖形面積問題，需要關注兩點：一是旋轉中心和旋轉線段長度；二是二者的相對位置關系.尤其是后者，將直接決定旋轉圖形的形狀，以及適用的公式.以旋轉中心O和旋轉線段AB的相對關系為例，下面分三種情形加以探究.

(1)旋轉中心在旋轉線段上

旋轉中心在旋轉線段上，即旋轉線段繞著自身上的一點旋轉，則其旋轉圖形會出現兩種情形.如圖6-1,設AO=a，BO=b，a>b,旋轉角度為α.

圖6-1

圖6-2

圖6-3

(2)旋轉中心在旋轉線段的延長線上

當然圖形的旋轉中心也可在旋轉線段的延長線上，如圖7-1所示.可設AO=a，BO=b，a>b,旋轉角度為α.

圖7-1

圖7-2

(3)旋轉中心不在旋轉線段及其延長線上

原考題就屬于該種情形，當線段AB的兩個端點分別是線段AB上到旋轉中心O的距離最長和最短點時，如圖8-1所示.可設AO=a，BO=b(a>b)，旋轉角度為α.

圖8-1

圖8-2

2.2 考題關聯探究

線段旋轉問題在初中數學中十分常見，其中的規律具有極強的應用性，同時不同情形之間含有一定的聯系，本質上同為環形及圓形的面積割補.實際考查時常采用幾何探究的方式，下面結合實例進一步探究.

問題(1)操作：如圖9-1，在線段AB所在直線上取一點O(點O在線段外)，線段AB繞著點O旋轉一周，可得如圖9-2所示的圓環，則環形面積就為線段AB掃過的面積.記AB=2，OA=1，則線段AB掃過的面積為.

圖9-1

圖9-2

(2)如圖10所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=30°，AC=2.將△ABC繞著點A旋轉一周，試判斷線段BC掃過的圖形，并求出圖形的面積.

圖10

(3)若將圖10中的Rt△ABC繞著點C旋轉一周，試判斷線段AB掃過的圖形，并求出圖形的面積.

分析：上述是關于幾何線段旋轉的問題，題目中所探究的3問實則就是線段相對于旋轉中心的三種情形，只需根據總結的規律來構建面積模型即可.

解：(1)該情形為旋轉中心O在旋轉線段AB的延長線上，則線段AB掃過的面積為環形.由AB=2，OA=1，可得OB=3.所以環形的面積S=π(OB2-OA2)=8π.

(2)△ABC繞著點A旋轉一周，該情形為旋轉中心A不在旋轉線段BC及其延長線上，則旋轉圖形為圓環.在Rt△ABC中，可求得AB=2AC=4.故圓環的面積S=π(AB2-AC2)=12π.

圖11

評析：上述為幾何線段旋轉探究題，其中涉及到了線段旋轉的兩種情形，問題解析分兩步進行.①判斷旋轉中心與旋轉線段的相對位置關系；②引入環形面積模型，確定圓的半徑，利用面積公式求解.

3 教學思考

上述以一道幾何旋轉考題為例進行了探究，并立足核心之問開展深度探究，圍繞線段旋轉的三種情形構建模型，并總結規律，對于理解線段旋轉，強化旋轉知識有著一定的幫助.下面基于教學實踐進行深入反思.

3.1 關注幾何旋轉，挖掘旋轉本質

上述考題以正方形旋轉為背景開展幾何探究，旋轉是圖形運動的重要形式，掌握圖形旋轉的三要素及其特性十分重要.以上述考題為例，正方形AEFG繞點A旋轉一周，其中旋轉中心為A，旋轉方向逆時針或順時針均可行，旋轉角度為360°，正方形旋轉到任何位置，其特性均不變.實際教學中要引導學生理解旋轉的定義，并掌握圖形旋轉的過程中從圖形全等的角度來理解旋轉，通過全等關系來把握旋轉特性.

3.2 把握模型特征，歸納模型特性

幾何壓軸題中往往綜合了眾多的幾何模型，利用模型將知識考點融合在一起.因此，解題探究要關注問題中的模型，提取模型特征，充分利用模型性質來轉化問題條件.如上述考題實則以“手拉手”正方形相似模型為背景創設命題，該模型具有“相似”特性，包括正方形相似和三角形相似.以上述考題為例，題干中正方形ABCD與正方形AEFG顯然為相似關系，旋轉過程中衍生了△CAF∽△BAG.教學中要引導學生提取模型，歸納模型的核心特性，并結合幾何知識加以證明，強化學生對模型的理解.

3.3 探索問題內涵，總結生成規律

考題的第(3)問本質上是求旋轉線段掃過的圖形面積，并且旋轉中心不在旋轉線段及其延長線上，這是問題的本質特征.上述基于旋轉線段進行了深度探究，并立足三種情形總結圖形規律及面積公式，形成類型問題的解題策略，其探索過程具有一定的參考價值.教學中要引導學生探索問題內涵，挖掘問題本質，基于問題特征開展深度探究，總結規律，幫助學生積累解題經驗，提升數學思維.