函數與規律探索相撞出思維火花

?浙江省杭州市蕭山區高橋初級中學 施燕芬

1 問題提出

在平時的學習中，常常會碰到規律探索問題，這類問題一般給出一列數、一列式子或一列圖形等形式，通過觀察、比較、歸納、猜想的過程，尋求內在規律，然后依據規律加以運用．此類問題有效地考查了學生的邏輯推理、歸納猜想、發現探索，以及運用所學知識和方法分析、解決數學問題的能力，考查的數學思想有：特殊與一般、類比、數形結合、轉化與化歸．

一般規律題的解答是先找出相鄰兩項間的聯系及各項中的數字與序號之間的關系，再從特殊到一般進行觀察與猜想，得到一般規律．但是隨著課改的不斷深入，規律探索問題也有了新變化，面對新問題，應該具體對待．本文中介紹與前面不一樣的規律探索方法：直接從問題的一般情況出發，得出一般規律；或在計算多個幾何量(或多個數)之和時，不分別計算每個變量的具體值,而只求出由這些變量構成的某個代數式的整體值.這種從一般情況分析、或從整體分析處理問題的方法，使問題解決更合理、更簡潔且實用．

2 求點的坐標

例1(德陽中考)如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A在第一象限，點B在x軸的正半軸上，△AOB為正三角形，射線OC⊥AB，在OC上依次截取點P1，P2，P3，……，Pn，使OP1=1，P1P2=3，P2P3=5，……，Pn-1Pn=2n-1(n為正整數)，分別過點P1，P2，P3，……，Pn向射線OA作垂線段，垂足分別為Q1，Q2，Q3，……，Qn,則點Qn的坐標為.

圖1

圖2

下面只需解決OQn與OPn的關系.

在Rt△OPnQn中，由∠QnOPn=30°，可得

點評：規律探究問題通常由特殊到一般，由具體到抽象，找出幾個特殊情況，再去類比、猜想、分析一般的規律特征．本題若按部就班，則涉及的點太多，關系過于復雜.因此，反其道而行之，直接去求點Qn的坐標.利用含30°角的直角三角形的性質，尋找Qn的橫縱坐標與OQn的關系，進一步尋找OQn與OPn的關系即可解決．同時，求OPn運用整體思想解決顯得渾然天成、精彩靈動．

3 求線段和

因此選:C．

進一步拓展：原題已知條件不變，把所求結論部分改成“求A1B1+A2B2+A3B3+……+AnBn的值”．

4 求與反比例函數有關的三角形面積之和

圖3

圖4

點評：本題若將所求三角形的面積一個一個算出來，再去尋找規律，過程會顯得繁瑣而冗長；而利用每個三角形的底邊為1及反比例函數圖象上點的特征，再運用平移及整體思想，將分散的線段平移到同一條線段上，則可快速解題，化困難為神奇，不得不拍手稱快．

5 教學啟示

《義務教育數學課程標準》提出，數學學習不僅包括數學的一些現成結果，還包括這些結果的形成過程．規律探索性問題，正是新課程理念下培養學生觀察、實驗、操作、歸納、猜想，發展學生的直覺思維和合情推理能力的絕好材料.它不僅可以考查學生發現問題、自主探究、解決問題等綜合能力，暴露學生在解題過程中的思維品質，還能反饋學生對數學思想方法的掌握情況，較直觀地反映出學生的數學素養，體現出新時期下數學課程的基本要求．

探索性問題的素材包羅萬象，一切都可入題；題型之多彩，設計之巧妙，相對于傳統試題來說是一種突破，是一種創新．規律探索是發現數學知識的一種創造性思維，也是探索發現新知識的一種重要手段，一般按照“問題—猜想—驗證—總結—結論”的流程進行解題．在平時的學習中，我們不但要探討此類問題的一般解法，也要有意識地甄選出別樣解法的試題進行對比訓練.這樣學生便可以靈活運用解題方法，從整體上把握題目，創造性地分析解答問題，不僅有助于形成整體性的思維方式，而且更能夠讓學生在解題過程中發現數學的無窮魅力．

當然以上各題不用整體思想也可以求出，只是過程更長一點，運用整體思想解題則體現出創造性解決問題的能力，是求簡意識的體現．因此，在平時訓練時，我們不僅要思考怎樣去分析題意、探索解題思路，更重要的是思考怎樣才是最簡的，其解法又是怎樣想到的．這里的核心，不是從一題多解的基礎上找出一個最優解，因為這樣做太浪費時間和精力，而是培養學生從一開始就能較為迅速地尋求和發現解決問題的最優路徑的意識和能力，或者說幫助學生如何去制定出最佳的解決方案，這是我們在習題教學中要努力實現的目標．正如高斯所說，“去尋求一種最美和最簡捷的證明，乃是吸引我去研究數學的主要動力”．也正是這種動力，才能從更高層次上去激發學生學習數學的興趣，進而培養創新精神和探究能力．