巧添“輔助線” 妙解幾何問題

?江蘇省江陰市顧山中學(xué) 吳靈姿

大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)平面幾何內(nèi)容時(shí)都感覺到有點(diǎn)難度，歸根到底是在處理一些問題的過程中難以把握怎么作“輔助線”，有的問題一旦確定了輔助線的添加方法，問題就變得非常容易.文章圍繞初中平面幾何問題如何添加輔助線主要從四個(gè)方面做了細(xì)致分析，旨在為大家提供解決相關(guān)問題的實(shí)例研究.

1 添加“輔助線”，構(gòu)造新圖形

我們?cè)诮鉀Q一些幾何圖形問題的過程中，常常是從已知條件出發(fā)，分析條件得到某個(gè)結(jié)論，然后向未知靠攏.但是在一些問題的分析中，卻很難將已知與未知聯(lián)系起來，這就需要我們適當(dāng)添加“輔助線”，構(gòu)造新的幾何圖形，建立橋梁關(guān)系，將待解問題轉(zhuǎn)化為可解問題.下面筆者結(jié)合具體案例淺淡下對(duì)作輔助線的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí).

例1(2022南京)如圖1，將平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到平行四邊形AB′C′D′的位置，使點(diǎn)B′落在BC上，B′C′與CD交于點(diǎn)E．若AB=3，BC=4，BB′=1，求CE的長(zhǎng)．

圖1

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AB=AB′，考慮到等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，如圖2，作輔助線AM⊥BB′，垂足為M，過點(diǎn)B作BN⊥AB′于點(diǎn)N，再計(jì)算CE的長(zhǎng).圍繞CE構(gòu)造直角三角形，過點(diǎn)E作EG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，從而根據(jù)已知條件可以得到△AMB∽△EGC，△ANB∽△B′GE，最后根據(jù)已知邊長(zhǎng)求得答案.

圖2

2 巧用“輔助線”，構(gòu)造全等三角形

對(duì)于關(guān)鍵已知條件，如“中線”“中點(diǎn)”等，注意利用延長(zhǎng)、平行等手段，構(gòu)造全等三角形.中線問題往往可以延長(zhǎng)，構(gòu)造全等三角形，將分散的已知信息融合到同一個(gè)三角形中；中點(diǎn)問題往往構(gòu)造中位線，利用中位線的性質(zhì)得到邊與邊或者三角形的面積等關(guān)系.

圖3

圖4

3 巧作“輔助線”， 體現(xiàn)“平分點(diǎn)”

遇到關(guān)鍵詞“平分”，對(duì)于角注意作到角兩邊的垂線，對(duì)于邊注意作與兩個(gè)端點(diǎn)的連線，從而構(gòu)造全等形或者等腰三角形，再結(jié)合已知條件進(jìn)行求解.遇到此類問題，我們往往考慮到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，線段平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，此類問題涉及的內(nèi)容多是求邊長(zhǎng)的問題.

例3如圖5，點(diǎn)D在等邊三角形ABC的邊BC上，連接AD，線段AD的垂直平分線EF分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)CD=2BD時(shí)，試判斷AE和AF的關(guān)系．

圖5

圖6

4 借助“輔助線”，轉(zhuǎn)化比值

遇到關(guān)鍵點(diǎn)“比值”問題，注意考慮作平行線，構(gòu)造相似三角形.一般情況下，當(dāng)所要求的是一個(gè)比值問題時(shí)，首先要考慮到在相似三角形中研究問題，從而確定對(duì)應(yīng)線段的比值.若能明顯觀察到兩個(gè)線段所在的三角形相似，可利用已知條件進(jìn)行分析求解，但是大多問題不能直接判定相似，這就需要根據(jù)題意適當(dāng)添加輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而讓問題變得易解.

圖7

5 巧連“輔助線”，建立相似三角形

遇到關(guān)鍵點(diǎn)“切線”，注意連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形.根據(jù)切線的定義可以很明確地判斷切點(diǎn)與圓心連線的重要性.故在問題中出現(xiàn)切線必連切點(diǎn)與圓心，從而再構(gòu)造直角三角形；其次是形如“a+kb”的最值計(jì)算，根據(jù)k的值巧妙構(gòu)造相似三角形也是常見輔助線作法.

圖9

圖10

當(dāng)然，針對(duì)不同的問題應(yīng)考慮不同的方法和思路作輔助線.如，出現(xiàn)面積問題，往往作底邊的高線為輔助線；遇到多邊形問題，往往轉(zhuǎn)化為三角形，割補(bǔ)多邊形是作輔助線的重點(diǎn)；出現(xiàn)線段之和或之差問題，采用截長(zhǎng)或補(bǔ)短法作輔助線是常見之法.

在平面幾何問題中，添加輔助線的方法多種多樣，且靈活多變，僅借助幾種方法是不夠的，還需要我們準(zhǔn)確把握相關(guān)的基本概念和基本性質(zhì)，多練習(xí)多總結(jié)，在給定的條件下結(jié)合圖形不斷深入研究隱含的或規(guī)律性的問題，不斷積累突破疑難問題的經(jīng)驗(yàn)與方法.