“隨機數表法”的學生錯誤認知與思維矯正*

郝結紅

(南京師范大學附屬揚子中學 210048)

趙雨林

(揚州大學數學科學學院 225000)

蘇教版高中數學教科書必修二“簡單隨機抽樣”中要求學生掌握兩種簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數表法．學生此前未曾接觸過“隨機數表”的概念，并且在后續的章節學習中也很少涉及，因此學生對此知識的認知有一定的困難．為此，筆者在教學過程中，提前準備了一個盒子和10個小球，設計通過抽簽法與全班學生現場制作“隨機數表”．目的是讓學生體驗隨機數表的生成過程，激發學生的學習興趣，加深對隨機數表的理解．

1 意料之外——概念混淆現象

課堂上每次邀請兩位學生上臺演示，一位負責摸球，另一位負責記錄數字，如此重復，很快一張“隨機數表”就制作好了．學生踴躍參與，課堂氣氛活躍，但出乎意料的是學生產生了三種錯誤認知．

錯誤1“小球放回”與“小球不放回”相混淆

由于隨機數表中每個位置上的數字都是在 0～9十個數字中隨機產生的，因此每個位置上的數字都可以通過抽簽法產生．具體操作為：用十個大小、形狀完全相同的乒乓球分別寫上0～9這十個數字，放入一個箱中并攪拌均勻，從箱中隨機抽取一個球，記下球上的數字，完成第一次抽簽；然后將小球放回箱中，繼續第二次抽簽……如此重復下去即可得到一張隨機數表．

學生的錯誤做法：從箱中抽取一個球并記下第一個數字后，沒有將小球放回箱中就開始第二次抽簽．不少學生認為，抽過的球是不能放回箱中繼續再供下次抽取的，這是原先抽簽法步驟中明確要求的．

錯誤2“制作隨機數表”與“隨機數表法”相混淆

師生一起制作隨機數表的過程讓學生感受隨機數表是由隨機數組成的，進一步地認識到隨機數表法滿足簡單隨機抽樣的四個特點，是簡單隨機抽樣的一種方法．

學生的錯誤觀點：不少學生認為“制表”的過程就是隨機數表法“查表”的過程，將“制表”和“查表”相混淆．

錯誤3“小球放回等可能”與“小球不放回等可能”相混淆

上述三種錯誤是學生在課堂學習時產生的，作為教師必須重視，不能潦草解釋或直接忽視，要真正地答疑解惑，幫助學生跨過認知障礙，感受數學的理性之美．

2 情理之中——錯誤認知形成原因

2.1 過程性錯誤與合理性錯誤

李善良博士將數學概念學習中的錯誤分為兩種：一為過程性錯誤，二為“合理性”錯誤．前者指數學概念形成過程中，從實例到意象、意象到定義、聯系到網絡、運用到體系、批判到創新的各個環節中，出現錯誤的或不完全的反應與操作．后者主要指概念學習中階段、水平的轉變，不同的個性傾向等所帶來的概念學習的障礙而造成的錯誤[1]．相對而言，過程性錯誤具有短暫性、外顯性，是可以預防與避免的．而“合理性”錯誤則具有隱蔽性、長期性，帶有合理性、規律性、不可避免性．分析與區別這兩大類錯誤，有助于透徹認識概念學習，有助于教學指導與預防矯正．

對于“錯誤1”，利用抽簽法制作隨機數表的過程中，受到之前學習抽簽法“不放回”的影響，學生認為既然用了抽簽法，就不能再放回，卻沒有考慮到隨機數表中的每個數字都是在0～9十個數字中隨機產生的，學生在兩者之間建立了不恰當的聯系，混淆了抽簽法和運用抽簽法制作隨機數表．用概念原型等代替數學概念、分類不合理、抽象不完善、概念定義與概念相脫離、概念間建立不恰當的聯系等錯誤，屬于過程性錯誤．對于“錯誤2”，學生之所以會混淆“制表”和“查表”，是因為他們誤認為隨機數表的制作過程是隨機數表法的過程，同樣屬于過程性錯誤．對于“錯誤3”，學生根據以往學習的概率知識認為放回是等可能、不放回不是等可能，是用原來的思維審視新的概念，按過去的經驗、結論、方法對概念作看似合理的推廣或限制，屬于“合理性”錯誤．

2.2 學生觀點與專家觀點

數學概念的形成離不開恰當的教學方式．鮑德納認為，教師以事先設計好的教學模式來進行教學或許能教得很好，但是卻不見得能使學生學到東西，這是因為教學內容所呈現的順序是基于專家的觀點，而不是“學生的觀點”[2]．所以我們需要考慮：對于每個數學概念，學生原有的觀點是什么？學生的觀點與專家的觀點有哪些差異？教學中如何去協調這些差異？

教師的教學思想、教學行為，學生原有知識經驗和情景的意義建構是否被教師考慮都會不同程度地影響學生的學習效果．以教為主的教學側重行為目標，較少考慮學生，合理性數學錯誤便較易且較多地出現，如“錯誤3”；以學為主的教學則重視學生的知識經驗和情景的意義建構，過程性的數學錯誤相對較多，如“錯誤1”和“錯誤2”都是學生在課堂摸球實驗中自然產生的．

2.3 數學元認知與元認知監控

數學學習心理學認為，數學元認知指的是人們對數學認知活動的自我認識和自我控制.數學元認知在人的數學思維活動中具有統攝作用，是思維活動的核心成分．[3]不同學生個體的認知活動雖彼此有差別，但元認知的監控、調節是各項學習活動所具有的共同特征，也是學習活動是否有效的決定因素之一．正是數學元認知的存在，才使得數學認知結構具有動機功能、調控功能、選擇功能、解釋功能、建構功能、提取功能、遷移功能、生成功能、轉化功能、激活功能等，從而防止錯誤認知結構納入．

“錯誤1”的產生是由于學生發生了“概念打架”，剛學過抽簽法后又用抽簽法來制表，但對于隨機數表是什么還沒有真正搞清楚，所以產生了錯誤認識．“錯誤2”是學生先入為主，因為剛學完隨機數表的概念后就制表，學生便混淆了“制表”與“查表”．這兩個錯誤認知可通過教學環節的調整來解決，把隨機數表的介紹和通過例題講解如何使用隨機數表的教學環節放在制作隨機數表之前，這樣可以避免“概念打架”與“先入為主”的兩個錯誤認知．“錯誤3”產生的原因是由于學生沒有學習過條件概率，但教師依然可以通過舉例講解和畫樹狀圖來幫助其克服認知障礙．

3 當務之急——學生思維矯正策略

基于以上認知錯誤的歸因分析，教師在第二個班級授課時改進教學，從思維矯正的角度來調整學生思維活動形式，收到較好的教學效果．

3.1 開展小組討論，引發認知沖突

建構主義認識論認為，認識、學習的過程不是簡單地輸入和儲存信息的過程，而是主動地將原有知識、經驗和新信息進行比較、分析、判斷、選擇和重組．[4]由于學生的錯誤概念暴露的機會比較少，因此發現得越及時越好．開展小組合作學習，組內同伴相互交流時可以將隱蔽的錯誤概念顯露出來，當學生發現自己的認知與別人不同時就會產生認知沖突，引發思考后經過順應過程形成正確的認知．因此筆者用小組合作學習方式矯正學生相異構想．

教學改進1在制作隨機數表前，讓學生討論如何動手制作一張隨機數表．

思維活動 (對“錯誤1”的回應)讓學生仔細思考，如果“不放回”地抽取，那會導致什么樣的結果？是不是這個隨機數表只有十個數字組成？這符合實際嗎？

從隨機數表的定義來看，表中任一位置出現任一數字的概率相同，且不同位置的數字之間是獨立的．也就是說表中的每個數字是在0～9十個數字中隨機產生的，那么當我們用抽簽法確定了第一個位置上的隨機數時，也就代表第一個位置上隨機數抽取完成了，實際上就是第一次抽簽完成，接下來進行第二次抽簽來確定第二個位置上的隨機數．

3.2 調整教學順序，促進同化順應

建構的過程是同化和順應，當新知識與原有知識結構和思維方式相符時就被同化，否則就會被排斥，當然也可能經修正、重組后再被吸收．由皮亞杰的認知發展論可知，同化是引起認知結構量的變化，而順應是引起認知結構質的變化，順應的難度遠大于同化．[4]教材通常都是按照知識之間的邏輯關系編排的，教師的任務是引導學生把這種邏輯關系清晰地表達出來．既然同化是先前知識對新學知識的作用，順應是新學知識對原有認知結構的改造，那么厘清知識的生成順序就顯得非常重要，因為“最鄰近”的知識最利于同化，有序的知識利于形成結構．

教學改進2調整教學順序，把制作隨機數表的過程放在隨機數表法之后，主次分明．

思維活動 (對“錯誤2”的回應)隨機數表除了可以用抽簽法來制作，還可以通過計算機生成，教材附錄中就是計算機生成的隨機數表．一般情況下，我們只要學會利用隨機數表進行抽樣即可．

課堂上再附加一道例題，并利用教材上的隨機數表讓學生體驗用隨機數表抽取樣本的方法．在完成隨機數表法項目任務之后，再呈現隨機數表的制作過程，進而強化學生對隨機數表的認識．

3.3 了解已有經驗，實現概念轉變

教師了解學生的知識現狀、對教育背景的知覺情況以及錯誤概念的形成過程，是改進學習的關鍵之一．只有這樣，才能為制訂相應的矯正策略提供目標，也為最終達成矯正目標提供可能．因此，必須采取行之有效的誘導方法，使學生顯露自己的思維過程和知識的內在結構．

教學改進3增加一個課后思考題，激發學習興趣．

思維活動 (對“錯誤3”的回應)為了使問題能解釋得清楚，學生學習條件概率后再講會方便得多．因為抽簽法是公平的，是一個常識，大部分學生都是知道而且認可的．因此向學生提供一道課后思考題：有一個抽獎活動，抽箱里有十個號簽，分別是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.只有一個號簽是中獎號碼，小紅、小剛和小明三個人依次抽獎，請分別計算三人中獎的概率．

4 言下之意——善待錯誤重在理解

教學是一門遺憾的藝術，課堂就是犯錯的地方．發生上述認知錯誤反映出學生有思考精神，也有質疑意識．作為教師，既要鼓勵學生積極思考問題和發現問題，還要和學生一起解決問題，真正實現善待錯誤、包容錯誤、珍視錯誤，化錯誤為資源，從錯誤中學習，在學習中悟道．教師必須理解數學、理解學生、理解教學．這樣，才能充分把握知識的發生發展過程、重點、難點和關鍵，才能抓住內容的核心，才能設置有利于學生理解知識的教學主線，才能在教學中提出具有啟發性和挑戰性的問題，才能有針對性地有效指導學生學習數學，最終實現提高數學素養、發展思維能力、培育理性精神的目標．