精準(zhǔn)把握教材 用心設(shè)計教學(xué)

■文/袁芹芹

2022年9月陜西省將從高一年級開始使用人教A版數(shù)學(xué)新教材，實施新課標(biāo)，迎接新高考。為此，我們開展了一系列學(xué)習(xí)研究工作，以期拋磚引玉。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求，廣大教師在日常教學(xué)中要堅持學(xué)習(xí)，更新觀念，及時精準(zhǔn)把握與研究教材教法，根據(jù)學(xué)生實際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生靈活豐富的數(shù)學(xué)思維能力，在備課和教學(xué)時務(wù)必做到“目中有人”，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓每個學(xué)生都能積極主動地融入到課堂與活動中，確保所有學(xué)生得到不同程度的發(fā)展。

一、精準(zhǔn)把握新課標(biāo)、新教材

數(shù)學(xué)教科書的修訂要進(jìn)一步全面落實“立德樹人”基本理念，注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本身獨(dú)特鮮明的育人價值。人教A版教科書的編寫體系強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，抓住函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動等四大內(nèi)容主線，明確數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在不同內(nèi)容體系中表現(xiàn)出來的連續(xù)性和階段性，通過大量案例創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)且具體的實際問題情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)概念的形成過程

人教A版教科書通過合理設(shè)置（如觀察、思考、探究、歸納整理等具體欄目），讓學(xué)生真正投入到探索數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展歷程中，同時更注意將一些復(fù)雜的問題分解成一個個具體的小問題，讓學(xué)生從中體驗運(yùn)用類比、歸納、演繹、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法，明確探索數(shù)學(xué)研究的一般規(guī)律，感悟新舊知識之間的聯(lián)系。體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的基本形成過程：問題→數(shù)學(xué)概念→數(shù)學(xué)性質(zhì)或規(guī)律→解決實際問題。

比如，“三角函數(shù)”一章中公式較多，知識點(diǎn)瑣碎，針對這一內(nèi)容，編者根據(jù)知識本身的發(fā)生、發(fā)展過程，精心設(shè)置“觀察、思考、探究”等欄目，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入思考，使這些零碎的知識點(diǎn)有機(jī)地關(guān)聯(lián)起來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思想性和整體性特點(diǎn)，也可以說向?qū)W生充分展示出了數(shù)學(xué)研究的系統(tǒng)方法。

又如，在“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”一節(jié)中，教科書首先設(shè)置了一個思考欄目：“請你先梳理等式的基本性質(zhì)，再觀察它們的共性。你能歸納一下，等式基本性質(zhì)的方法嗎？”教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“等式的基本性質(zhì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法”，然后再通過“探究”欄目，讓學(xué)生“由等式的基本性質(zhì)類比猜想不等式的基本性質(zhì)”，并加以證明。

（二）關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線聯(lián)系

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間圖形的學(xué)科，借助形的直觀可以更好地理解抽象的數(shù)，有了數(shù)的度量可以更準(zhǔn)確地刻畫形的性質(zhì)。教科書特別關(guān)注不同主線內(nèi)容結(jié)構(gòu)之間的有機(jī)聯(lián)系，注重向?qū)W生全面揭示數(shù)學(xué)知識的多樣性，以及背后隱藏的諸多共同的思想方法。

幾何主要用來研究各種圖形，直觀形象但通常不易于數(shù)學(xué)計算，代數(shù)有規(guī)有矩但缺乏直觀，兩者需要互相取長補(bǔ)短。需要進(jìn)行計算的時候，我們可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的形式進(jìn)行計算；需要理解的時候，我們可以將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來幫助理解。向量兼有代數(shù)與幾何的雙重優(yōu)點(diǎn)，集數(shù)、形于一身可以進(jìn)行這種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，能真正有效地達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的教育目標(biāo)。

教科書以向量為工具，展開對代數(shù)與幾何內(nèi)容的呈現(xiàn)，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又有助于突出幾何直觀與數(shù)學(xué)運(yùn)算之間的有機(jī)融合，讓學(xué)生能夠感悟數(shù)學(xué)知識體系之間的有機(jī)聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)整體性概念的理解。正所謂“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。

二、精心設(shè)計教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計是教師構(gòu)思教學(xué)活動的過程，凝聚著教師對教學(xué)的深層理解、感悟和對教育價值的理想追求，閃爍著教師特有的教學(xué)智慧和創(chuàng)新精神，是教師教學(xué)過程中的一項創(chuàng)造性勞動。在教學(xué)過程中，教師要準(zhǔn)確理解教材編寫意圖，精心設(shè)計教學(xué)過程，創(chuàng)設(shè)有意義的教學(xué)情境，層層分析，剝繭抽絲，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的全過程，產(chǎn)生進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)奧秘的熱切愿望，進(jìn)而實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面提升。

（一）整體把握數(shù)學(xué)新課程，為提升學(xué)生核心素養(yǎng)導(dǎo)航

整體把握數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)也就摸準(zhǔn)了教學(xué)設(shè)計中的方向標(biāo)，讓“學(xué)”真正成為教學(xué)設(shè)計的核心。整體把握新課程，需要從以下兩個方面加以努力：一要認(rèn)真研讀《課標(biāo)》，整體把握和理解高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，深入思考教與學(xué)的關(guān)系。二要基于《課標(biāo)》，認(rèn)真研讀新教材，整體把握“四基”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的聯(lián)系?；诶碚撆c實踐，不斷探索數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律，特別是學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的規(guī)律，探索如何把科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)，成功設(shè)計出既符合新課標(biāo)要求，又切合學(xué)生實際的教學(xué)設(shè)計方案。

（二）積極創(chuàng)設(shè)適切的教學(xué)情境，為提升學(xué)生核心素養(yǎng)啟航

數(shù)學(xué)教學(xué)不只是教會學(xué)生做題，更重要的是教會學(xué)生思考，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)的精髓，打通學(xué)習(xí)的渠道。教師要引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握抽象、分析、綜合、比較等數(shù)學(xué)思維，在思維發(fā)展的過程中，了解數(shù)學(xué)知識“從哪里來”。不僅要知其然，還要知其所以然，學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，主動思考并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，使自身對知識的理解更加深刻、透徹。如此學(xué)生既掌握了知識與技能，又深刻感悟了所學(xué)知識的本質(zhì)，積累了數(shù)學(xué)思維和實踐活動的經(jīng)驗，為提升核心素養(yǎng)搭建了良好平臺。

例如，在函數(shù)教學(xué)中，從最初的“事實”逐步發(fā)展到“定義”，就是通過實例讓學(xué)生逐步理解函數(shù)的概念和內(nèi)涵，進(jìn)一步認(rèn)識到函數(shù)y=f（x），x∈A的一般性，并且能用函數(shù)的思想和方法來重新認(rèn)識和研究、表達(dá)現(xiàn)實世界中的各種變量關(guān)系（如直線上升、指數(shù)爆炸、周期變化等）。

（三）開展豐富多彩的教學(xué)活動，為提升學(xué)生核心素養(yǎng)護(hù)航

在教學(xué)活動中，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量的要求，合理設(shè)計教學(xué)進(jìn)度，通過豐富多彩的教學(xué)活動，在學(xué)生掌握知識技能的同時，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。教師要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。教師要把教學(xué)活動的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)上，積極探索有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式，不能僅僅局限于講授與練習(xí)，同時還包括引導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)、獨(dú)立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等。教師要善于根據(jù)不同的內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù)采用不同的教學(xué)方式，優(yōu)化教學(xué)，抓住關(guān)鍵的教學(xué)與學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，增強(qiáng)教學(xué)的實效性。

三、加強(qiáng)數(shù)學(xué)探究活動

數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探索、合作研究并最終解決問題的過程。具體表現(xiàn)在：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論。數(shù)學(xué)探究活動是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。

（一）設(shè)置探究活動

從《課標(biāo)》對數(shù)學(xué)探究的定位可以看出，數(shù)學(xué)探究要著重探究一個具體的，具有綜合性、復(fù)雜性的數(shù)學(xué)問題，是帶有數(shù)學(xué)課題研究味道的一項創(chuàng)新性實踐探究活動。

向量具有集數(shù)與形于一身的顯著特點(diǎn)，用向量法探究三角形的性質(zhì)，其證明過程程序化，較幾何法有更大的優(yōu)勢。教學(xué)中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，創(chuàng)設(shè)情境以激發(fā)學(xué)生的探究欲望。在學(xué)生探究的過程中，教師要適時指導(dǎo)學(xué)生將圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，強(qiáng)化幾何圖形的性質(zhì)與向量運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解。

圓錐曲線是高中解析幾何學(xué)的重要內(nèi)容之一，既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，圓錐曲線焦點(diǎn)弦就是經(jīng)過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦，焦點(diǎn)弦問題涉及離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點(diǎn)（向量）、焦半徑和焦點(diǎn)弦長等有關(guān)知識，是圓錐曲線的“動脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識、思想方法和解題方法于一身。對焦點(diǎn)弦的探究，讓各個層次的學(xué)生都有所收獲，可以真正體現(xiàn)“讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的教育理念。

可見向量和圓錐曲線都是很好的探究素材。在學(xué)生開展探究活動時，教師要注意了解學(xué)生活動的進(jìn)展情況，并在發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建探究的思路、形成解題的方法等方面加以指導(dǎo)?？梢蕴崾緦W(xué)生采用不同的數(shù)學(xué)知識解決問題，通過對問題的拓展、推廣等發(fā)現(xiàn)更多數(shù)學(xué)問題，獲得更多數(shù)學(xué)結(jié)論。

（二）經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究過程

通過選擇各種研究素材適時設(shè)置探究活動，讓學(xué)生通過自主探究、合作交流相結(jié)合的方式獲得更多有效的數(shù)學(xué)結(jié)論，在自主探究的實踐過程中提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

比如“正方體截面的探究”：用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的？啟發(fā)學(xué)生提出逐漸深入的系列問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考。學(xué)生可以自主或在教師的引導(dǎo)下提出問題：

（1）給出截面圖形的分類原則，找到這些形狀截面的方法，畫出這些截面的示意圖。例如，可以按照截面圖形的邊數(shù)進(jìn)行分類。

（2）如果截面是三角形，可以截出幾種不同的三角形？為什么？

（3）如果截面是四邊形，可以截出幾種不同的四邊形？為什么？

（4）還能截出哪些多邊形？為什么？

然后，進(jìn)一步探討：

（5）能否截出正五邊形？為什么？

（6）能否截出直角三角形？為什么？

（7）有沒有可能截出邊數(shù)超過6的多邊形？為什么？

（8）是否存在正六邊形的截面？為什么？

最后思考：

（9）截面面積最大的三角形是哪種三角形？為什么？

這是一個跨度很大的數(shù)學(xué)問題串，可以針對不同學(xué)生設(shè)計不同的教學(xué)方式，通過多種方法實施探究。例如，教師可以通過切豆腐塊的示例，啟發(fā)學(xué)生展開思考；也可以在透明正方體盒子中注入有顏色的水，觀察不同擺放位置、不同水量時液體表面的形狀；還可以借助信息技術(shù)直觀快捷地展示各種可能的截面。但是，觀察不能代替證明。探究的難點(diǎn)是分類找出所有可能的截面，并證明哪些形狀的截面一定存在或者一定不存在。教師可以鼓勵學(xué)生通過操作觀察，形成猜想，證明結(jié)論。經(jīng)歷這樣逐漸深入的探究過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達(dá)、推理論證等能力，在具體情境中提升了他們的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)。如此使學(xué)生真正學(xué)會了數(shù)學(xué)探究的方法，提高了學(xué)生的“四能”（即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力）。

通過科學(xué)理性的創(chuàng)新思維方式編寫教材，充分搭建起“四基”“四能”的培養(yǎng)平臺，有助于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想、積累活動經(jīng)驗，促進(jìn)其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，也有利于教師創(chuàng)造性地開展教學(xué)。

（三）教會學(xué)生思考和表達(dá)

“為學(xué)之道，必本于思，思則得之，不思則不得也?！睌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界是學(xué)會思考，有了思考才能獲得對知識的理解，進(jìn)而才會加以應(yīng)用。學(xué)生會思考的表現(xiàn)，體現(xiàn)在三個方面：一是會聯(lián)想。學(xué)生能將新知轉(zhuǎn)化為舊知，并能由舊知推理得到新知，獲得演繹推理的思維能力。二是會概括。學(xué)生能抽象概括出數(shù)學(xué)知識的一般結(jié)論、規(guī)律或性質(zhì)，體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，包括由特例抽象出一般性的推理能力。三是會拓展。通過舉一反三達(dá)到融會貫通，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的“魂”的能力。

學(xué)會數(shù)學(xué)的表達(dá)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的體現(xiàn)，也是學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的展現(xiàn)。學(xué)生會表達(dá)，體現(xiàn)在三個方面：一是會抽象。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)符號的抽象過程，也就是將具體事物抽象到一般化、數(shù)學(xué)化的過程，會用抽象的數(shù)學(xué)符號表示是學(xué)會表達(dá)的前提。二是會說理。數(shù)學(xué)的核心是推理，推理是學(xué)生數(shù)學(xué)思維和理性特征的重要體現(xiàn)，能將推理過程用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)是學(xué)會表達(dá)的關(guān)鍵。三是會舉例。舉例是數(shù)學(xué)最好的表達(dá)。

因此，是否會舉例是代表學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的重要標(biāo)志。學(xué)生會舉例代表著對知識的理解透徹，特別是對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)本質(zhì)理解到位的最有力表現(xiàn)。例如，在學(xué)習(xí)了“兩角和與差的正切公式”后，教師讓學(xué)生證明：

通過類比，學(xué)生自主編題，掌握此類問題的一般解決方法，達(dá)到舉一反三，觸類旁通的效果。

總之，數(shù)學(xué)有自身的邏輯，教學(xué)和學(xué)習(xí)同樣也有自己的邏輯，融會貫通才能打通數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的渠道。不忘數(shù)學(xué)教育初心，站在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的高度，通盤思考教材的編寫、教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)，以舉例來加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，通過拓展應(yīng)用進(jìn)行推廣，以舉一反三達(dá)到融會貫通。只要教師專注于有利于核心素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成的教學(xué)策略，學(xué)生自覺建構(gòu)會思考和能表達(dá)的學(xué)習(xí)方法，就一定能實現(xiàn)以素養(yǎng)為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)。