立足點線面關系,解答立體幾何習題

李俊青

(濟南市章丘區第五中學)

點線面之間的關系是高中數學立體幾何內容的基礎知識.為加深學生對知識的理解,提高學生的解題能力,教師應結合教學進度,做好例題講解,通過解題過程的展示,給學生帶來解題啟發,使其更好地掌握解題方法,進一步提升解題能力.

1 直線與直線的位置關系

不重合的直線與直線的位置關系包括共面和異面,其中共面直線進一步細分為相交直線和平行直線兩種類型.

例1若點E為正方形ABCD的中心,M為平面ABCD外一點,△MAB為等腰直角三角形,且∠MAB＝90°,若線段MB的中點為F,則( ).

A.ME≠DF,直線ME,DF為相交直線

B.ME＝DF,直線ME,DF為相交直線

C.ME≠DF,直線ME,DF為異面直線

D.ME＝DF,直線ME,DF為異面直線

解析由ABCD為正方形,可知AB⊥AD,由∠MAB＝90°且△MAB為等腰直角三角形,可得BM＝BD,如圖1 所示,點E,F分別為BD和BM的中點,則FE∥MD,且FE＝DE,即四邊形FMDE為等腰梯形,ME＝DF,直線ME,DF為相交直線,故選B.

圖1

例2如圖2所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長與側棱長相等,∠BAA1＝∠CAA1＝60°,則異面直線AB1和BC1所成角的余弦值為( ).

圖2

圖3

2 直線與平面位置關系

直線與平面的位置關系主要包括直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行.應注重列舉實例加深學生對這三種位置關系的認識與理解.

例3如圖4所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長為2,其中E為B1C1的中點,過AE的截面和棱BB1,A1C1分別交于點F,G.若四棱錐A1-AGEF的體積為,求直線AG和平面ABB1A1所成角的余弦值.

圖4

圖5

例4在邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB,BC,CC1的中點分別為E,F,G,P為底面ABCD內一動點,若直線D1P和平面EFG沒有公共點,則△PBB1面積的最小值為( ).

解析如圖6 所示,點H,Q,R分別為C1D1,A1D1,AA1的中點,則平面FEGHQR∥平面D1AC,即點P在平面D1AC內. 要 想△PBB1的面積最小,即點P到BB1的距離最短,易得當點P和點O重合時,距離最短,則BO＝,則

圖6

故選D.

3 平面與平面位置關系

不重合的平面與平面的位置關系主要有兩類:平行和相交.解題時需靈活運用幾何圖形性質,構建線段之間的空間關系.

例5如圖7所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,DD1和CC1的中點分別為點E,F.證明:平面AEC1∥平面BDF.

圖7

解析由于DD1和CC1

的中點分別為點E,F,故EDFC1,則四邊形EDFC1為平行四邊形,EC1∥DF.又EFDC,而ABCD,則EFAB,四邊形ABFE為平行四邊形,故AE∥BF,AE∩EC1＝E,DF∩BF＝F,即平面AEC1∥平面BDF.

例6如圖8所示,矩形A1B1BA和矩形A1ADD1所在平面和梯形ABCD所在平面分別交于直線AB,AD,其中AB∥CD,AB＝BC＝BB1＝＝1,∠ABC＝60°,求幾何體A1B1D1-ABCD的體積.

圖8

解析因為AA1⊥AB,AA1⊥AD,AB∩AD＝A,所以AA1⊥平面ABCD,則兩個矩形均和平面ABCD垂直.因為AB＝BC,∠ABC＝60°,所以△ABC為等邊三角形,取點E為AB的中點,連接CE,則CE⊥AB,而BB1⊥平面ABCD,故BB1⊥CE,CE⊥平面A1B1BA,由AB＝BC＝AC＝1,易得;而∠ACD＝120°－60°＝60°,由余弦定理可求得AD＝,則由勾股定理的逆定理知∠CAD＝90°,AC⊥AD.又 由AC⊥AA1,所以AC⊥平面A1ADD1,結合∠B1A1D1＝∠BAD＝150°,則

(完)