略論羅吉爾·培根的數學觀

劉 釗

(長沙師范學院 馬克思主義學院， 湖南 長沙 413100)

一、引言

西方學術傳統一直重視數學學科。一般認為，近代科學兩個重要的特征是自然的數學化和實驗方法的使用，兩者之中，自然的數學化顯得尤為重要。這種傳統和方法源自古希臘，畢達哥拉斯學派十分重視數的作用，把數看做世界的本原。希臘化時代，亞歷山大里亞學派的歐幾里得創立平面幾何，托勒密和阿基米德則完成了早期自然數學化的工作[1]。中世紀早期，波埃修斯(Boethius, 480—524)就提倡數學的重要性，卡西奧多拉斯(Cassiodoriu, 490—585)首倡“四藝”(Quadrivium)，其中就有幾何和算術，這也成為中世紀大學課程中重要的“自由七藝”(Septem Artes Liberales)內容。在這樣的歷史傳承和時代背景下，中世紀盛期經院哲學內部出現了一些學者，他們開始逐漸發現并強調數學的重要性，羅吉爾·培根就是這股思潮在13世紀的代表。

羅吉爾·培根(Roger Bacon，1214—1292)是13世紀英國杰出的學者，他曾就讀并任教于牛津大學，是圣方濟各會修士，其最重要的學術成就之一是《大著作》(Opus Majus)。在經院哲學盛行的年代，培根特別關注和傳統經院哲學不盡一致的學科領域，尤其強調數學的重要性。《大著作》第四部分標題就是《數學》(Mathematicae)，培根在其中全面論述了他的數學觀。從中可以發現，培根在13世紀的觀點似乎預示了四百年后近代科學發展的方向，培根成為了走在時代前列的人。

二、傳統與權威：培根數學知識的來源

培根數學知識的主要來源是前輩學者的著作。培根通曉許多經典的數學著作或和數學相關的著作，這都體現在培根的論著中。

(一)受西方數學先賢影響

從古希臘到中世紀早期的諸多西方學者首先影響了培根的數學思想。培根引用柏拉圖的《蒂邁歐篇》，這其中有很多數學與天文學的論述。培根幾乎引用了亞里士多德的所有著作，精通歐幾里得的《幾何原本》(Elements)和《光學》(Optics)，十分熟悉托勒密的《天文學大成》(Almagest)和《光學》(Optica)，讀過狄奧多西(Theodosius of Bithynia，前160—前100)的《論天球》(Sphaerics),并且幾乎知道希帕克(Hipparchus，前190—前120)、阿波羅·尼奧斯(Apollonlus，前262—前190)和阿基米德的所有著作。他也通過二手材料了解了尼科馬霍斯(Nicomachus of Gerase，60—120)的著作。羅馬之后的拉丁學者為培根常常提及的是波埃修斯，以及那些后期著作家如伊西多爾(Isidore of Seville，560—636)、卡西奧多拉斯、比德(Bede，673—735)和約翰努斯·內莫拉里莫斯(Jordanus Nemorarius)，他們均活躍于13世紀[2]160。

(二)熟悉東方數學眾杰

培根同時也熟悉東方諸多學者尤其是阿拉伯學者，這其中他主要關注天文學和光學等方面較有成就的人。有些學者的光學研究需要用到數學(幾何)知識，因此也被培根看作數學家。影響培根的阿拉伯數學學者包括伊本·哈塔姆(Ibnel-Haitam)、阿維森那(Avicenna)、阿爾金地(Al-Kindi)、泰比特·伊本·科拉(Tabit Ibn Qorra)、阿爾·法格尼(Al-Fargani)、阿爾巴塔尼(Al-Battani，858—929)。[2]161這其中對培根影響最大的是伊本·阿爾哈曾(Ibn Al-Haytham)，他的主要成就在于透視學，其影響一直持續到17世紀。阿爾法拉比(Al-Farabi，872—950)的《論科學》(De Scientiis)和《知識的興起》(De Ortu Scientuarum)也為培根所提及[3]。需要指出的是，在代數方面，培根知道一些學者的名字，卻沒有在他的著作里提到任何代數學的著作和具體知識。另外，培根的著作中沒有提到中世紀伊斯蘭世界最著名的數學家歐瑪爾·海亞姆(Omar Khayyam，1048—1122)，這也說明培根并不算是一個專業的數學家。

三、鑰匙、確定性與天賦論：培根的數學觀

在《大著作》中，培根對數學的論述有三個特點。第一個特點是篇幅長，內容多。在《大著作》第四部分，培根以洋洋灑灑三百多頁的內容討論了數學這個主題，這遠超同時代的非數學專業學者，同時這部分內容在培根《大著作》中所占的篇幅也是最長的。第二個特點是“筆端常帶感情”，但又不失理智。仔細閱讀《大著作》文本就會發現，培根對于數學的討論語句，充滿了對數學的贊美和頌詞，而其他學者所表現出來的往往是冷靜哲學風格的分析。培根的作品不是分門別類條目式的數學論文，而是從心底的吶喊，是對教皇的宣傳和演說。他想積極說服教皇，只有數學才是拯救基督教之良方。這并不是說培根的作品里面缺乏深刻的分析和哲理，而是其字里行間透露出的熱忱將冷靜的深刻思考掩蓋住了，如果剝離掉文本之中的感情，仍舊可以發現熱情之下冷靜的理智[4]。第三個特點是培根以數學在整體學科中的地位來看待數學。培根所關注的不是數學本身，而是數學在整個學科分類和學習中的地位和次序。培根是一個百科全書式的學者，他是從所有學科的整體性這個高度出發來看待數學，尤其關注數學學科教育的過程。

(一)數學的基礎性

1.數學是知識的“大門”與“鑰匙”

培根在《大著作》中《數學》部分的開篇即開宗明義，就數學的基礎地位來論述其重要性。培根認為：“我們如果沒有四大科學是無法掌握其他科學知識的……，這些科學的大門與鑰匙是數學，……忽視數學的人無法知道其他科學或這個世界上的其他事物。”[5]116

培根的這段話預示著數學知識在科學研究中的重大作用。當時科學的發展還不能發現數學是科學方法的特征之一。但是培根以他所處時代的知識論證了數學的重要性，其表現就是培根對中世紀的“透視學”(Perspective，Perspectiva)有非常精深的研究，他在透視學中頻繁使用了幾何方法。大衛·C.林德伯格認為，培根的透視學理論緊密結合了幾何學知識，比較多地運用了數學尤其是幾何方法，可稱為“幾何透視學”[6]。

2.數學是所有學科的基礎

培根在強調數學重要性時借助了很多權威的理論。培根認同并引用波埃修斯(Boethius)在《算術》(Arithmetic)中的話：“如一個研究者不懂數學將不能認識真理。無論誰忽視這個方法，他將失去所有知識。除非他掌握‘四藝’，否則將不能到達哲學的高度。”[5]117在這一點上，培根認為亞里士多德是一個很好的例證。亞里士多德在《形而上學》第六卷中說到：“在三種哲學的基礎——數學、自然科學和神學中，數學更為基礎，并對掌握其他兩種有幫助。”不難發現，培根認為權威都將數學看作是對其他知識有益的學問，并借助權威的觀點來論證數學的重要性。

(二)數學的唯一確定性

1.數學本身的唯一確定性

培根同時還強調，數學的唯一確定性是數學學科的特點之一。他的論述極為精彩與透徹：“數學能使我們排除錯誤、追求真理，獲得一個毫無疑點的確定性。數學有嚴密的邏輯推論與證明，通過作圖與計算，我們所能認知的一切都是明確的，因此我們對數學知識沒有不確定的懷疑。其他學科則不然。”[5]124

由此可以看出，培根認為數學幾乎能超脫于感覺與經驗事實，在確定基本原則之后，數學的命題與結論可以通過純粹邏輯的推理與計算得出。培根能夠認識到這點，首先是因為他能夠很好地掌握歐幾里得《幾何原本》中的推理方法與數學精神。其次，他重視幾何與算術，這也是中世紀“自由七藝”的學術傳統。需要特別指出的是，培根在這里所說的數學更多地指向歐幾里得的幾何學，而不是算術。最后，在中世紀眾多學者中，培根認為作為工具的數學能夠使諸多學科體現出唯一確定性的特點，而這和以后自然科學的發展趨勢是一致的。

2.數學能使其他學科達到唯一確定性

正是因為數學自身的唯一確定性，所以培根認為，其他學科的確定性也必須借助數學才能達到。這個原則在歐幾里得《幾何原本》第九卷中被提及：“問題不能為懷疑所確認，真理也不能由謬誤來證明……但是只有數學……在必然性與驗證范圍之內是明確的，是可以驗證的，因此所有其他科學都必須通過數學來進行掌握與驗證。”[5]124-125

相當具有啟發性的是他在《大著作》中討論重物的降落時，區分了關于事實(quia)的證明與原因(propter quid)的證明，或者稱之為通過結果與通過原因進行證明，即在所有原因的證明中都需要數學，而事實的證明則采用的是物理原理：“我們可以看到與自然事物有關的論證有兩種模式：一種是從原因(cause，causas)開始的證明，一種是從效果(effect，effectum)開始的證明。……但是只有原因可以掌握真正的知識(scientia)，或者至少說到目前為止，通過原因掌握的知識比效果的知識要好一些，……因此，既然在自然事物中，通過原因進行證明可以通過數學進行證明，并且通過自然哲學可以通過結果進行證明，因此數學家比自然哲學家能夠更好地獲得自然事物的真正知識。”[5]189

這段話意味著兩點：第一，培根的論述展示了他試圖區分新科學與傳統的經院哲學、自然哲學和物理學的不同。他的新科學是基于數學和經驗的推理論證，經院哲學只是追求內在一致的推理論證，這樣的推理論證遲早會淪落為詭辯[5]127。培根之后的康德通過指出邏輯的內在局限——二律背反，補充了培根的學說。至于自然哲學，培根認為自然哲學家不能與數學家相媲美，因為前者證明的過程是從效果到原因，是歸納的，后者是從原因到效果，是演繹的，因此數學家的證明更加嚴格。數學家研究自然得出的結論比自然哲學家更為可靠，所以培根認為自己利用數學和經驗的新科學更加優越。第二，培根將數學看作是科學研究的重要工具，是知識的協調者。培根對數學的討論在大部分時候不是關注于數學本身，而是將數學作為一種工具，是一種將精確性帶給物理學的方法，它指定了自然中可量化的元素。它給學者需要的確定性，通過測量和計算經驗感受到的事物，這種確定性越發堅不可摧，因為它可以確認他通過觀察認知到的。只有通過數學才能確定什么樣的性質和原因是能被科學調查所影響的。應該承認，培根是第一批認識到絕對有必要將數學應用到物理學的人[7]。

(三)天賦能力、優先教育與感性認識：數學的地位和次序

在討論完數學的重要性和唯一確定性之后，培根將數學置于整個學科體系當中，分析其在學習中的地位和次序。培根的這些論述大多針對人先天的能力與教育過程的先后順序，可以看做是對數學的教育學和心理學分析。

1.數學本身并不復雜

培根雖然將數學置于至高無上的地位，但他并不認為數學本身是一門非常復雜的學科，人們學習數學也不需要卓越的能力。培根認為沒有理由可以支持逃避學習數學的行為，因為理解數學是人的先天能力，即使完全沒有文化修養的人也知道畫圖、估算與唱歌，這些都是數學行為，因此可以證明數學沒有超出人類的智力范圍[5]122。更早的柏拉圖對此也有論述，《美諾篇》就敘述了一個奴隸出身的男孩學習幾何的例子，以此說明幾乎文盲的人也容易學會數學[8]。培根是從幾何、算術和音樂來考察數學所對應的人的某種能力，這依然是在中世紀“四藝”的范圍之內。培根以一些簡單的事實來論證自己的觀點，繪畫、計數與吟唱是人類先天的能力，沒有接受過專業數學培訓的人也能擁有這些技能，至少說明數學本身并不復雜，人類天賦掌握著學習數學的能力。培根在此處很明顯受到了柏拉圖思想的影響，但他更進一步，認識到畫圖以外的估算和唱歌能力同樣也是天賦的數學行為。

2.數學是人應該最先掌握的學科

在培根看來，認識自然的過程要由易到難。兒童最先學會的是唱歌，然后是畫畫，這些都和數學有關，因此數學是人應該最先掌握的學科。他還引用亞里士多德在《倫理學》(Ethic)中的話來闡明兒童掌握數學知識比其他知識要快。培根指出認識自然就應該從最簡單的開始，而最容易掌握的知識就是數學[5]127。培根的這些話體現出他對教育的關心。他認為在教育中數學應該置于優先的地位，以便于學生以后學習其他的知識，這是他作為一個教師的職業敏感性，這也是培根對認識世界過程的分析——兒童認識世界的過程可以看做是人類認識世界過程的再現。這一觀點在先哲那里已經得到確認。

3.人的理性因數而進步

培根認為，對于人們來說，認識自然的路徑要從感性到理性，缺少感性認識，和感性認識相關的知識就會缺失。識數屬于常識性的能力，并且經由其他的感知所認識。缺少數字，任何事物都不能被理解。因此人的理性尤其能夠因崇敬數而獲得進步。亞里士多德在《記憶與回憶》(Memoria et Reminiscentia)中提到，我們總體的理解力都與連續性和時間相關，我們通過對人的智力的直觀感知而領悟數和天體，因為數和天體的形式就存在于人的智力之中[5]125。這段論述說明培根已經開始深入思考認識論的相關問題，人類為什么可以認識世界和人如何認識世界這兩個問題，在培根這里已經有了一些重要的結論。人類的數學能力是建立在對時間和空間的直觀感知上的，這種能力織就的先天認識之網捕捉感性的經驗事實造就了人對自然的認識，這是一條從先天能力到經驗事實再到理性把握的認識道路。培根同時還指出：“一個人如果學好了數學，那么他對于哲學的掌握會更加精深。”[5]122而現代邏輯的發展史，即從形式邏輯發展到數理邏輯階段，也印證了培根的這些觀點。必須承認，13世紀的培根有一定的先見之明。

四、結語

學術的傳承是其得以發展的基礎，培根的數學觀正體現了這一特點。古典時期和中世紀早期學者的著作，經過大翻譯運動而被拉丁世界重新認識，培根有幸生活在大翻譯運動接近完成的年代，因此他吸收了大量古典時期的數學遺產，同時也繼承了伊斯蘭學者的數學成就，形成了自己的數學觀。可以說，歷史為培根數學觀的形成創造了優越條件。

中世紀的“自由七藝”傳統中就有算術和幾何的內容，經院哲學家的邏輯推理法，也和歐幾里得幾何學有著思維上的一致性，但是數學的重要性卻并沒有引起傳統經院哲學家的特別關注，古希臘流傳下來的數學知識還在神學的母體內孕育著。培根的獨特之處正在于此，他以灼灼眼光發現了數學作為其他學科“大門”與“鑰匙”的身份，也發現了數學是其他學科的基礎。更重要的是，他將演繹法的邏輯嚴密性賦予了數學，并強調數學的唯一確定性，并且能帶給其他學科唯一確定性，這是將數學和自然科學從神學和哲學的框架之中解放出來的重要一步。不僅如此，培根的視野之開闊、眼光之高遠還體現在他是從整體學科的高度，以及教育過程的漸進性來看待數學的地位，指出數學的至高地位和天賦能力的特點，因此在系統的學科體系和教育體系中應該置于首位。

研究發現，培根的數學觀在中世紀盛期的歐洲是振聾發聵的吶喊，盡管受限于時代，但仍可以說培根的數學觀具有一定的先見之明。他并不一定看到了四百年后科學的發展，但是可以認為，他看到了13世紀所能見到的最遠的將來，這種預見性也就是人類知識大廈在13世紀的基石。