折角、畫角與作角：漸次展開并平滑“轉場”
——蘇科版七上“角(2)”教學設計與解讀

許小燕

(江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學 225599)

最近在線收看了某地教研直播活動，一位青年教師執教蘇科版七上“角(2)”，教師的教學基本功很好，教學預設了一些數學實驗和情境活動，教學過程中師生有較多互動，課堂氛圍比較熱烈.然而由于該教師是“嚴格”根據教材內容的順序開展教學，使得前后教學環節之間的過渡不夠“平滑”.筆者認真研讀了該課時的教材內容后進行了再設計，并給出教學立意的闡釋，拋磚引玉，供研討.

1 “角(2)”教學設計概述

教學活動1透明紙“折角”

引入情境 出示一張畫有∠AOB(圖1)的透明紙，讓學生回顧角的定義，接著從角的定義出發，安排學生用符號表示這個角，然后將透明紙上的這個角對折，使角的兩邊重合，再展開透明紙，折痕把這個角分成兩個相等的角(圖2).

圖1 圖2

如圖2，把透明紙上的折痕記為射線OC，射線OC把∠AOB分成兩個相等的角，射線OC叫做這個角的角平分線.

追問 圖2中共有幾個角？它們有怎樣的數量關系？(預設：學生能說出很多，教師梳理成角平分線的符號語言,板書如下)

因為OC是∠AOB的角平分線，

變式練習1 如圖3，OD平分∠BOC，∠AOC=2∠BOD，圖中OC是∠AOB的角平分線嗎？

圖3

設計意圖反饋學生對角平分線定義是否理解，以及能否初步運用符號語言說明理由.

變式練習2 如圖4，打臺球時，球的反射角等于入射角.中間的“虛射線”(不妨稱它為“基準線”或“法線”)可看成是圖5中∠AOB的角平分線.怎樣畫出OA，OB之間的“基準線”？

圖4 圖5

設計意圖這是一種不同的設問方式，要求學生畫出“基準線”，本質上就是追問學生這種設問的等價問題“畫出∠AOB的平分線”.學生可能會繼續使用“折角”的方法，但這里不再是透明紙，可能畫在一個作業本上不方便折疊，這就引出量角器這種度量工具.學生可以先使用量角器度量出∠AOB的度數，然后算出它的一半，進而再用量角器以OA為一邊，在∠AOB內部畫出一條射線OC，使∠AOC等于∠AOB的一半，則射線OC就是符合要求的“基準線”(即OC是∠AOB的角平分線).

教學活動2量角器“畫角”

過渡 “由上面使用量角器畫出角平分線的畫法可以知道同學們已學會了使用量角器畫一個角的方法.其實，當我們量出圖5中∠AOB等于60°，算出它的一半是30°時，還可借助常用的三角板來畫圖，一個含30°角的三角板可以幫助我們直接畫出30°角.同學們想想，借助一副三角板還可以畫出哪些角度？可以先在小組內交流.”

教學組織 待學生小組內交流之后，安排學生使用一副三角板到講臺前演示.如果說得不全，可以安排其他同學上臺繼續演示、補充，直到最后總結出一副三角板可以畫出15°角的任意倍數的角.

練習 先畫一個角∠AOB=30°，在此圖形的基礎上，再畫一個角∠AOD=80°.

教學組織 學生畫30°角時可能使用量角器或三角板，再畫80°角時就只能使用量角器了，但是這個畫圖需要分兩種情形畫出射線OD的可能位置(圖6，圖7)，教學時可展示不同的圖形，培養學生嚴謹的解題習慣.

圖6 圖7

追問 以圖6為例，在∠BOD內部，再畫一條射線OC(如圖8)，使OB是∠AOC的平分線.同學們能求圖8中哪些角的角度？

圖8

設計意圖這個“追問”對應著蘇科版七上第156頁的例題.

教學活動3直尺圓規“作角”

過渡 “同學們已學會了使用一副三角板、量角器畫角的方法，現在我們來類比前面尺規作線段的方法，如果僅允許使用沒有刻度的直尺和圓規來作角，從‘畫角’到‘作角’，一字之差，充滿了挑戰.那么同學們思考一下，如何用尺規作一個角等于已知角？”(給學生幾分鐘時間獨立探究后再分小組交流，教師巡視各小組的進展，如果在小組內探究出來就安排他們派代表上臺演示、講解，但筆者執教該課時，基本上沒有學生能在5分鐘之內獨立探究出作法.)

教學組織 教師在學生獨立探究5分鐘左右仍然得不出作法后，可以進行示范式講解，并使用PPT漸次呈現相應的操作步驟(幾何語言).提醒學生在一張透明紙上作圖(便于稍后利用透明紙對所作出的角進行疊合、驗證)，學生邊聽講解邊模仿作圖.值得提醒的是，如果教師“一氣呵成”作出一個角等于已知角(圖9，圖10)后再動手，至少有一大半的學生無法辨別其中一些步驟的先后順序，導致作圖出錯或無從下手.等學生作圖成功后，安排他們將作出來的角(透明紙上的圖10)與圖9中的角進行疊合驗證，確認它們能完全重合后，說明這種尺規作角的方法是可行的.

圖9 圖10

練習 再來看“打臺球”問題，在圖11中黑色球能否被擊入右下角的袋中？先估測，再用直尺和圓規作出反射角加以檢驗.

圖11

教學組織 這是安排尺規作角的鞏固訓練，由于圖形位置與情境的干擾，有些學生可能會出現困難，這時可以讓作圖順利的學生上臺展示、講解，分享他們成功的經驗.

教學活動4課堂小結，練習鞏固

結合板書(圖12)，提了兩個小結問題.

圖12

小結問題1 本課從角的定義出發，利用透明紙折出一個角的平分線，結合圖形說說你對角平分線的理解；

小結問題2 從“畫圖”到“作圖”，你是如何辨別這里“畫”和“作”的一字之差的？

布置作業 課本上第157頁第6，7，8題.

2 教學立意的進一步解讀

2.1 分析教材內容，重組教學順序

由于本課時學習內容是角的第2課時，教材內容主要是從畫圖到作圖，再利用透明紙折出角平分線，然后進行角平分線相關例習題訓練.教學目標是掌握角平分線、量角器畫角，學會用直尺和圓規作一個角等于已知角.教學重點是角平分線的符號語言及初步解題運用，教學難點是尺規作角，特別是如何向學生“說清道明”尺規作圖的理由(我們采用的方法是讓學生將尺規作出的角畫在透明紙上，然后小組內進行疊合驗證，本質上是驗證了三角形全等的條件“邊邊邊”).基于由易到難、漸次展開的設想，我們重組教材內容的呈現順序，本課的教學流程依次是“折角”“畫角”“作角”，在每個教學活動下面跟進一些練習或變式(或追問)，力求不同教學環節之間能平滑“轉場”(轉場更多的是用在影視、戲劇藝術中，在兩個場景之間采用一定的技巧，實現場景或情節之間的平滑過渡，或達到豐富畫面吸引觀眾的效果).

2.2 明辨新知特點，啟發示范并行

通過恰當的情境創設促進學生能獨立探究、歸納出數學新知或性質，是我們共同的教學追求.然而，幾何起始階段，有些幾何新知(定義、符號語言或作圖方法)在短時間內不易掌握，為了平衡自主探究的教學時間成本，還是應該有(或預設)必要的示范講授.比如，本課教學內容中角平分線的定義及符號語言是需要教師講授的，另外尺規作角的步驟也需要教師示范講授，這些內容難以讓學生獨立探究出來(或者說更準確、簡練地表達出來).而使用三角尺、量角器畫圖則是學生在小學階段就有所接觸且可以順利完成的，教師只要稍加引導、啟發即可.在一些畫圖或作圖之后安排了練習或變式練習，也需要讓學生先經過獨立思考、解題，再安排小組內交流討論，最后再進行全班展示、分享或糾錯(比如漏解).筆者以為，一般來說，對于數學對象的定義，經過簡短的情境鋪墊、歸納概括之后，教師可以直接給出教材上定義的內容并板書，然后組織學生理解教材為什么這樣定義，包括對定義中有些限制條件、范圍表述的辨析；此外對于短時間內很難想到的思路(比如證明勾股定理時的拼圖或構圖，本質上是奇妙的輔助線添加)，也可直接給出或向學生推介這種思路，然后帶領學生理解思路或證明方法，這也是弗賴登塔爾所提出的“有指導的再創造”.

2.3 基于變式教學，加強前后關聯

本課教學設計充分體現了變式教學的運用.具體來說，比如角平分線的定義，透明紙折出角平分線，到定義的文字表述和符號語言，體現了角平分線定義的變式呈現、多元表征，有利于學生從不同角度理解和掌握.再比如，本課中的練習題的選編都是以變式題組的方式呈現，而且不同環節的習題背景還做到前后關聯，“打臺球”的問題情境在兩個教學環節中都得到體現.還有，透明紙在開課引出角平分線時使用過，在后來尺規作角時又讓學生使用，以驗證作出的角是否能完全重合，這體現了透明紙在前后不同環節中的關聯呼應.