解析幾何運(yùn)算細(xì)節(jié)的優(yōu)化策略及教學(xué)建議*

趙 剛 (江蘇省徐州市第一中學(xué) 221002)

丁永剛 (江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 221116)

縱觀近幾年高考解析幾何試題可見其主要特點(diǎn)：一是以過特殊點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再進(jìn)一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)“連環(huán)題”；三是判斷曲線和直線位置關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，往往與向量(共線、垂直、數(shù)量積)結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題等，試題運(yùn)算量較大，需要繁雜的討論，不但會影響解題的速度，甚至?xí)?dǎo)致學(xué)生“望題興嘆”“望而卻步”.學(xué)生在求解解析幾何問題時(shí)，往往能夠理解數(shù)學(xué)對象，但在設(shè)計(jì)運(yùn)算程序時(shí)往往會有比較大的偏差.這就導(dǎo)致一部分學(xué)生在解題時(shí)運(yùn)算量偏大，無法算出正確結(jié)果[1].為了提高運(yùn)算效率，筆者通過實(shí)例說明解析幾何中運(yùn)算細(xì)節(jié)的優(yōu)化策略，歸納出解決此類問題的一些方法和技巧.

1 運(yùn)算優(yōu)化策略

1.1 重視定義，揭示本質(zhì)

反思 涉及焦點(diǎn)與拋物線上的點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜的計(jì)算[2].定義是性質(zhì)的“根基”，牢記圓錐曲線的定義，將定量的計(jì)算和定性的分析有機(jī)結(jié)合，可大大降低運(yùn)算量.

1.2 抓住零元，優(yōu)化設(shè)線

解析幾何中經(jīng)常會碰到過定點(diǎn)(a,0)的直線問題，對此學(xué)生往往會分類處理，將直線設(shè)為y=k(x-a)或x=a，筆者建議將直線設(shè)為x=my+a.兩種設(shè)法雖然都很簡潔，但運(yùn)算量卻相差很大.

圖1

解法1①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)(常規(guī)設(shè)法).

②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，易得A,B兩點(diǎn) 坐標(biāo)分別為(2,1)，(2,-1)，故AB=2.此時(shí)S△OAB=2.

解法2由題意可知直線l的斜率不為0，故可設(shè)其方程為x=my+2.

反思 解法2的算法簡潔，運(yùn)算量小.事實(shí)上，解法1中將直線l的方程設(shè)為y=k(x-2)，與橢圓聯(lián)立后所得方程(1+4k2)x2-16k2x+16k2-8=0形式復(fù)雜，參數(shù)k出現(xiàn)頻數(shù)較多，直接導(dǎo)致了后續(xù)運(yùn)算量增大.而解法2將直線l的方程設(shè)為x=my+2，與橢圓聯(lián)立后所得方程(m2+4)y2+4my-4=0形式簡潔，參數(shù)m出現(xiàn)頻數(shù)較少，所以后續(xù)運(yùn)算量也比較小.如果廣義理解直線l斜截式方程y=kx+b的本質(zhì)，抓住其簡潔的特征是因?yàn)橹本€l所過的定點(diǎn)(0,b)恰好在y軸上，那么用對偶的思想去分析就會得到，當(dāng)直線l所過的定點(diǎn)(a,0)在x軸上時(shí)，就應(yīng)該把直線l的方程設(shè)為x=my+a.這種設(shè)法使方程達(dá)到最簡，其根本原因是充分利用了“0”元素.

1.3 巧用不等式，化簡分式

反思 在具體解題中需要關(guān)注分式結(jié)構(gòu)特征，通過調(diào)配系數(shù)，使得分式滿足基本不等式的使用條件，從而實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算.

1.4 借助同構(gòu)，簡化計(jì)算

當(dāng)題目中出現(xiàn)圖形對等，并且圖形滿足的條件相似時(shí)，就具備了同構(gòu)法的使用條件.

例3已知拋物線y2=2x上三點(diǎn)A(2,2),B,C，直線AB,AC是圓M:(x-2)2+y2=1的兩條切線，求直線BC的方程.

圖2

反思 解法1思路清晰，但是計(jì)算量很大且易錯(cuò).如果注意到題目中AB,AC均為圓M的切線，說明AB,AC地位相同，且點(diǎn)B與點(diǎn)C均在拋物線y2=2x上，故只要求出點(diǎn)B的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系，就可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系，從而得到直線BC的方程.解法2利用點(diǎn)B與點(diǎn)C結(jié)構(gòu)相同，通過探求點(diǎn)B滿足的關(guān)系，從而求得點(diǎn)C的關(guān)系，巧妙地規(guī)避了復(fù)雜的運(yùn)算，這種算法充分說明在運(yùn)算中要注重探究運(yùn)算思路，避免單純機(jī)械的計(jì)算.

1.5 利用曲線系，巧求切線

解法1(常規(guī)解法)設(shè)所求切線方程為y-1=k(x-2),

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反思 運(yùn)用這種解法非常簡潔，對于求圓及橢圓這種閉合曲線上一點(diǎn)處的切線方程均可以采用此法來簡化運(yùn)算.需要注意的是，借助這種方法求切線方程，必須先把切點(diǎn)表示成特殊的“曲線”形式，即與所給曲線結(jié)構(gòu)相同才可以，否則令λ=-1就得不到切線方程.

1.6 點(diǎn)代平方差，簡化問題

圖3

解法2通過數(shù)式變形，使得問題可以直接借助韋達(dá)定理解決，算法清晰簡潔，計(jì)算復(fù)雜程度降低.

1.7 通過平幾，化簡轉(zhuǎn)化

解析幾何源于平面幾何，在解題過程中，運(yùn)用相關(guān)的平面幾何性質(zhì)，常常能達(dá)到事半功倍的效果.

在例5的求解過程中，如果注意利用雙曲線的幾何性質(zhì)“雙曲線上任意一點(diǎn)M與關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)A,B的連線MA,MB斜率之積為定值”,則可以大大簡化計(jì)算.

反思 題目中出現(xiàn)多個(gè)點(diǎn)和多條線時(shí)，設(shè)點(diǎn)還是設(shè)線，理清“點(diǎn)變”中不變的本質(zhì)，會減少計(jì)算量[2].不同的選擇往往直接影響后續(xù)的計(jì)算量和難度.從例5的探究中可以發(fā)現(xiàn)，幾何性質(zhì)的運(yùn)用可以在一定程度上簡化運(yùn)算.而學(xué)生在解題時(shí)能否挖掘到一些幾何性質(zhì)，則取決于學(xué)生平時(shí)的積累.這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中，要注重對學(xué)生探究能力的培養(yǎng)，注意結(jié)合幾何圖形開展探究，鼓勵(lì)學(xué)生大膽設(shè)想、推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圓錐曲線定義及圖形對稱等角度進(jìn)行論證，并通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)等方式進(jìn)行研討，從而整體提升學(xué)生的探究能力及教師的教學(xué)水平.

2 解析幾何教學(xué)建議

弗賴登塔爾說過：“老師不該將數(shù)學(xué)定義、規(guī)則、算法灌輸給學(xué)生，應(yīng)該讓學(xué)生體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識.”傳統(tǒng)教育理念下的教師在課堂上一個(gè)人唱獨(dú)角戲，獨(dú)自完成知識傳授，而新教育理念下教師改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生展示自己的思維過程.“舉一反三”是接受學(xué)習(xí)的寫照，學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變關(guān)鍵不在于是“發(fā)現(xiàn)的”還是“接受的”，而在于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的參與程度.在解析幾何的教學(xué)中，筆者使用了上述多種運(yùn)算優(yōu)化策略，一題多解、一題多變、層層遞進(jìn)，解題思路都是在與學(xué)生的互動(dòng)碰撞中產(chǎn)生的，學(xué)生思維的創(chuàng)造性、深刻性得到了真正的訓(xùn)練,真正實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí).

解析幾何教學(xué)要從數(shù)學(xué)基本技能出發(fā)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)體現(xiàn)顯性目標(biāo)(雙基)和隱性目標(biāo)(數(shù)學(xué)能力、理性精神).

2.1 教學(xué)目標(biāo)由“知識中心”向“能力中心”轉(zhuǎn)變

教學(xué)目標(biāo)應(yīng)由“關(guān)注知識傳輸”向“關(guān)注能力提升”轉(zhuǎn)變，解析幾何教學(xué)要關(guān)注學(xué)生計(jì)算的實(shí)際水平，安排合理的計(jì)算程序，使其計(jì)算更高效.課程設(shè)計(jì)由“傳統(tǒng)的知識灌輸”轉(zhuǎn)向“教改后引導(dǎo)活動(dòng)”，讓學(xué)生在簡化計(jì)算的活動(dòng)中獲得自信.培養(yǎng)學(xué)生勤于動(dòng)手的良好學(xué)習(xí)風(fēng)貌.當(dāng)前，“滿堂灌”已被教師摒棄,但是“滿堂問”卻比比皆是.滿堂問實(shí)則為“按教師設(shè)計(jì)程序”的接受式學(xué)習(xí).探究解析幾何計(jì)算優(yōu)化策略的過程中筆者給學(xué)生提供了足夠的機(jī)會，讓學(xué)生依據(jù)自己已有的知識和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)建構(gòu)知識體系，真正培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).

2.2 教學(xué)觀念由“統(tǒng)一規(guī)格”向“差異教育”轉(zhuǎn)變

課程目標(biāo)應(yīng)致力于“打好基礎(chǔ)，促進(jìn)發(fā)展”.“一刀切、統(tǒng)一規(guī)格”是當(dāng)前教育的一個(gè)突出問題，顯而易見，“一刀切”教育不利于人才培養(yǎng).筆者在解析幾何習(xí)題計(jì)算中使用的一題多解都是由學(xué)生獨(dú)立完成，充分尊重了學(xué)生的個(gè)體差異，讓學(xué)有余力的學(xué)生在課堂上有機(jī)會體現(xiàn)自己的價(jià)值，真正實(shí)現(xiàn)了差異性教育.

2.3 認(rèn)知活動(dòng)由“重視結(jié)果”向“重視過程”轉(zhuǎn)變

習(xí)題只給學(xué)生對對答案是當(dāng)前不少解析幾何習(xí)題課的教學(xué)現(xiàn)狀.過程遠(yuǎn)比結(jié)果重要，缺少過程的結(jié)果是無源之水、無本之木.數(shù)學(xué)概念、原理、定理應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過抽象概括得出結(jié)論，過程是不能省略的，解析幾何的運(yùn)算教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生重視每一個(gè)解題過程并思考如何優(yōu)化計(jì)算，在過程訓(xùn)練中逐漸理清解題思路.

總之，教師在教學(xué)中要不斷研究教材、研究學(xué)生、研究教法、研究習(xí)題，在解決復(fù)雜的計(jì)算時(shí)要積極引導(dǎo)學(xué)生，通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、生本互動(dòng)，拓寬解題思路，“從無到有，無中生有”，從各個(gè)角度給出解題探索.讓學(xué)生的解題速度“從慢到快”、解題經(jīng)驗(yàn)“從少到多”、解題能力“從弱到強(qiáng)”，“讓學(xué)習(xí)更加自然，讓備考更加輕松”，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)品格、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)素養(yǎng)同步提升[3].