把握本質重基礎 培育能力提素養
——對一道雙曲線高考題的解法探究與思考

晏 鴻 (新疆教育科學研究院 830049)

符強如 (新疆烏魯木齊市實驗學校 830026)

2022年新高考數學全國I卷理科第21題秉承熟而不俗、俗中有變、變中有新的風格，注重數學本質和通性通法，彰顯了從能力立意向素養導向的過渡，為學生提供了豐富的選擇，是一道內涵豐富、解法多樣的優質題，也為解析幾何教學起到了很好的導向作用，值得一線教師去挖掘和探究.

1 題目呈現

(1)求l的斜率；

此題從問題表述來看，取材平實,表現樸實,題干清晰；從內容上來看，考查直線與雙曲線位置關系、直線和雙曲線平面圖形(三角形)的面積問題.本題看似入手易、解法多，但命題者在多解背后都埋下了“地雷”，讓它起到了壓軸的功能，使不少學生力不從心，不能順利完成解題過程.它考查了學生的邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養，要求考生需要具備較高的思維能力.

2 解法探究

思路1條件直譯——代數法(這是解析幾何教學中最常見的方法)

思路2條件轉化——代數法

解析幾何的攔路虎之一就是繁瑣的代數變換，需要較強的運算能力.我們可以在思路1的基礎上優化解法，將條件kAP+kAQ=0轉化替代.

思路3參數法

運用參數方程能夠快速解決圓錐曲線的弦長、范圍等問題.

對于參數法解決圓錐曲線問題，也可以從以下視角來解決.

評注 參數法比傳統方法具有更大優勢，其核心就是減少了變量或參數.此題借助直線參數方程或雙曲線相關的參數方程，從兩個不同視角解析，利用參數t的意義解題，解法3和解法4視角不同，呈現的解析難度也不同.這也啟示我們，變換解題視角去思考能夠在一定程度上使解題思路“柳暗花明”，從而大大優化運算.

思路4齊次化聯立

圓錐曲線問題中遇到斜率和或積的問題時，可以嘗試齊次化聯立.

評注 齊次化聯立即將直線方程與圓錐曲線方程聯立后，利用“1”的代換實現齊次化，可以將題目中涉及的斜率轉化成一個一元二次方程的兩根，再由一元二次方程的兩根關系獲取斜率和或積的關系.但是此法一般是在解決圓錐曲線中直線斜率和或積的問題時應用，可以避免繁瑣運算，提高解題正確率.

3 啟示與思考

3.1 追溯背景

3.2 啟示

當今的數學教育發展趨勢可以理解為以理解為價值取向、以問題解決為價值取向、以數學探究為價值取向.教師要抓好課堂教學，在重視基礎知識和基本技能教學的同時，更要注重提升學生對數學思想方法和數學本質的理解水平.對于此題，學生面對繁瑣的步驟及復雜的計算往往都束手無策，容易產生畏難心理.其實“快”思維下數學教學更需要“慢” 藝術，不是單純將教師個人認為好的數學思想方法短時間內打包發給學生，教師需要在課堂教學中 敢于等待學生，讓學生獨立思考、自主探索，發揮學生的主觀能動性，陪伴學生重走數學知識的形成之路.

波利亞說過，沒有任何一道題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做,更重要的是解題后的回顧[1].對于思維量較大或者所謂的“難題”，教師教學中應引導學生思考如何恰當利用題目主干條件、如何優化解題過程、怎樣優化代數運算、深入分析和探究；更要積極引導學生進行反思，深度挖掘試題的背景，理清命題者的意圖，深刻揭示試題本質，這樣才有利于學生夯實基礎，將知識系統化、網絡化.關注思維以及問題的本質,對于數學問題的把握、揭示和體驗都是提升課堂有效性的關鍵.對于高考壓軸題，唯有如此才能居高臨下指導學生，培養學生關鍵能力，發展學生核心素養.

一道經典的問題可以引導啟發學生多角度思考.通過不同視角的解題途徑，多方位多角度去思考問題，我們可以領略到解析幾何與其他知識的綜合交匯及其靈活遷移運用.雖然解題方法不同，但核心思想始終圍繞著解析幾何本質和思想,由特殊到一般地尋找規律，探索解題的通性通法.當然，通性通法必須在數學思想的指引下滲透，而不是同類型題目的簡單重復和操練.要積累活動經驗，強化思考能力，真正進入深度學習，發展高階思維，提升數學素養.

高考真題立足基礎，傳承穩定；在穩定的基礎上進行創新，這種創新不是通過一成不變的試題呈現，而是立足教材，對教材中的例題、習題運用穩定的基礎知識、經典的基本方法、深化的基本思想進行包裝.現階段，尤其是復習教學，回歸教材是正道.回歸教材不是簡單地閱讀教材，不是簡單羅列知識、梳理方法，更不是對教學過程的簡單重現，而是對學科知識脈絡的建構、對教材編者意圖的領悟、對教材隱性知識的挖掘、對學科知識本質的把握，在平時教學中指導學生要尋“根”究“本”.唯有如此，學生核心素養方能切實培養.