基于粒子群算法的深溝球軸承優化設計

李敬雍，高飛,2，黃利平，田凌

(1.清華大學 機械工程系，北京 100084；2．洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039)

滾動軸承被稱為“工業的關節”，廣泛應用于電力、化工、航空航天等領域，疲勞壽命和運轉平穩性是評價軸承使用性能的重要指標，兩者可以通過優化軸承結構參數改善。傳統的軸承優化設計需人工查閱機械設計手冊等資料，由于軸承的類型和尺寸參數復雜，往往需要用到大量的公式及圖表，效率低[1]。此外，目前工業界依然廣泛采用CAD軟件人工制圖，耗費了大量人力和物力。實現軸承快速、 精確的尺寸優化設計以及軸承圖紙的自動化生成，可以在提升軸承性能的同時，降低軸承設計工作量。

近年來，國內外學者關于軸承優化設計的研究有：文獻[2]建立了雙列圓錐滾子軸承優化設計 模型，以軸承整體壽命為優化目標，基于ISIGHT軟件對模型的優化變量進行試驗分析，并應用多島遺傳算法進行優化設計；文獻[3]以軸承的體積和壽命為優化目標，采用序列二次規劃法實現了多目標優化；文獻[4]以軸承額定動載荷為優化目標，針對球直徑為離散值的情況，結合數組遍歷法和網格節點法，實現了深溝球軸承的優化設計；文獻[5]開發了圓錐滾子軸承CAD系統，以軸承額定動載荷為優化目標，以隨機方向法為優化方法，結合AutoCAD軟件的二次開發生成軸承三維實體模型，并應用三維實體模型生成剖面圖和輪廓圖。

上述研究說明軸承額定壽命在軸承優化設計中受到廣泛關注，而基于遺傳算法[6-9]、免疫算法[10]等智能優化算法的優化設計已成為機械設計領域的研究熱點：文獻[11]以單位承載量下的總功率損失為優化目標，基于遺傳算法實現了液體動靜壓軸承的優化設計；文獻[12]以疲勞壽命和力矩剛性為優化目標，基于模擬退火算法，采用隨機選取數組序號的方式實現離散變量定義域的隨機取值，進而對轎車輪轂軸承進行多目標優化設計。現有關于軸承CAD系統的研究主要實現了查詢選型、尺寸計算和圖紙生成等功能，盡管相較于人工制圖有明顯改進，但優化設計部分普遍采用確定性搜索的方式，難以得到最優解；而將基于智能優化算法的軸承主參數優化應用到軸承CAD系統上，可以顯著提升軸承數字化設計水平。

粒子群算法是一種收斂速度快、全局優化能力強的智能優化算法，本文以深溝球軸承額定動載荷和額定靜載荷為優化目標，提出了一種基于粒子群算法的軸承優化設計方法，并通過AutoCAD軟件的二次開發實現軸承圖紙的自動生成與保存。

1 基于粒子群算法的深溝球軸承優化設計模型

1.1 目標函數

在正常工況下運行的滾動軸承，其主要失效原因為材料疲勞。根據Lundberg-Palmgren壽命理論，深溝球軸承的疲勞壽命為[13]

(1)

γ=Dw/Dpw，

式中：Cr為軸承額定動載荷；P為軸承當量動載荷；bm為常用優質淬硬軸承鋼和良好加工方法的額定系數，深溝球軸承取1.3；fc為與軸承零件幾何形狀、制造精度及材料有關的系數；Z為球數；Dw為球直徑；fi，fe分別為內、外圈溝曲率半徑系數；λ為降低系數，對于深溝球軸承，λ=0.95；Dpw為球組節圓直徑。

由(1)式可知深溝球軸承的疲勞壽命隨額定動載荷Cr增大顯著提升。

在載荷作用下，深溝球軸承運轉過程中將產生一定的塑性變形，若塑性變形過大，溝道上出現的損傷會增大軸承運轉時的噪聲和振動，同時會降低軸承使用壽命[14]。當軸承靜止時所受的載荷不超過額定靜載荷時，則可充分避免塑性變形對軸承運轉的影響。提高軸承的額定靜載荷有利于提高軸承運行的平穩性及使用壽命。通常情況下，深溝球軸承球與內溝道的接觸應力大于球與外溝道的接觸應力。計算深溝球軸承額定靜載荷時，以球與內溝道的接觸應力為研究對象，軸承額定靜載荷C0為

(2)

軸承額定動載荷和額定靜載荷的提高均有利于提高軸承使用壽命，本文將額定動載荷和額定靜載荷的加權之和C作為優化目標(后文將其稱為額定聯合載荷)，即

C=α1Cr+α2C0，

(3)

式中：α1，α2為加權系數，且α1+α2=1。

在軸承設計時，若更關注軸承疲勞壽命，可增大α1；若更關注軸承運行的平穩性，可增大α2。

1.2 設計變量

由(1)，(2)式可知：Cr和C0由Dw，Dpw，Z，fi，fe決定，將這5個變量作為主參數，即

X=[x1,x2,x3,x4,x5]T=[Dw,Dpw,Z,fi,fe]T。

(4)

1.3 約束條件

Dw，Dpw，Z，fi，fe的約束條件分別為[15]

kmin(D-d)≤Dw≤kmax(D-d),

(5)

0.5(D+d)≤Dpw≤0.515(D+d),

(6)

(7)

0.515≤fi≤0.535,

(8)

0.515≤fe≤0.535,

(9)

式中：kmin，kmax為球直徑系數；d，D分別為軸承內、外徑；βmax為最大填球角。

由(2)式可知：以球與內溝道的接觸應力為研究對象計算軸承額定靜載荷時，額定靜載荷與fe無關。以軸承額定靜載荷為優化目標時，即加權系數α1=0,α2=1時，fe取0.530。

1.4 優化算法和計算流程

粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)[16]源于對鳥群覓食行為的研究，可實現眾多方案的智能尋優，在機械設計領域得到應用[17-18]。利用初始生成的N個隨機粒子，經反復迭代尋找D維問題的最優解。粒子通過追隨自身尋找到的最優解(個體極值pbest)和整個粒子群尋找到的最優解(全局極值gbest)更新自己的位置，速度和位置更新公式為

i=1,2，…，N；d=1,2，…，D，

(10)

(11)

粒子群算法的計算流程(圖1)如下：

1)種群初始化。隨機初始化生成各粒子的位置和速度，計算各粒子的適應度值，并得到每個粒子的個體最優值和全局最優值，設置最大迭代次數。

2)利用(10)，(11)式更新各粒子的位置和速度。后文主要討論球直徑為連續值的情況，當球直徑取標準值時，將球直徑對應的粒子位置在x1方向的取值更新為取值范圍內與當前值最接近的球直徑標準值，將球數對應的粒子位置在x3方向的取值更新為取值范圍內與當前值最接近的整數。

3)利用目標函數計算各粒子的適應度值。引入懲罰函數，當粒子不滿足約束條件時，適應度取0，從而將有約束條件的優化問題轉化為無約束條件的優化問題。

4)對比各粒子的當前適應度值和個體歷史最優值，若當前適應度值高于個體歷史最優值，將個體歷史最優值更新為當前該粒子的適應度值，并將各粒子的個體最優值和全局歷史最優值對比，若個體最優值高于全局歷史最優值，則更新全局最優值。

5)判斷是否滿足終止條件，若不滿足，返回第2步繼續計算。

圖1 粒子群算法的計算流程圖Fig.1 Calculation flow chart of particle swarm optimization

2 優化設計系統實現

2.1 系統架構

本文提出一種基于粒子群算法和AutoCAD二次開發的深溝球軸承優化設計系統，系統架構如圖2所示。該系統是單機應用程序，體系結構主要分為界面層和后臺求解器，兩者均使用C#程序，基于.NET架構實現。界面層主要接收用戶的定義信息和控制指令，具有外形參數輸入、參數修改、圖形顯示等功能；后臺求解器主要負責優化過程的實現及二維圖紙的繪制，具有設計系數計算、主參數優化及圖紙生成功能。

圖2 深溝球軸承優化設計系統架構Fig.2 Framework of optimal design system of deep groove ball bearing

2.2 系統功能模塊

將深溝球軸承優化設計系統的功能分解為文件管理模塊、計算模塊和繪圖模塊，如圖3所示。

圖3 系統功能分解圖Fig.3 Diagram of function breakdown of system

首先通過文件管理模塊加載出空白的軸承圖紙模板，在計算模塊通過外形參數計算kmin，kmax等設計系數；進而基于粒子群算法優化軸承主參數，計算出保持架及鉚釘等零件的設計參數；然后通過繪圖模塊加載軸承所有尺寸參數，并自動繪制軸承二維圖紙；最后調用文件管理模塊實現軸承圖紙文件的自動保存。

2.3 用戶界面設計

Windows Form設計用戶界面如圖4所示，外形參數(內徑d、外徑D、軸承寬度B)、裝配倒角rs、非裝配倒角r8手動輸入，主參數優化可自動得到Dw，Dpw，Z，fi，fe，上述參數均可手動修改。

圖4 深溝球軸承優化設計用戶界面Fig.4 User interface for optimal design of deep groove ball bearing

種群規模N、迭代次數M、慣性因子wmax和wmin、自我學習因子c1及社會學習因子c2等粒子群算法的參數需要提前在代碼中設置，將代碼編譯完成并將封裝后的文件導入AutoCAD軟件后，即可打開用戶界面進行操作。

3 優化結果及驗證

以6214深溝球軸承為例，其外形參數為：d=70 mm，D=125 mm，B=24 mm。此外，kmin=0.24，kmax=0.31，βmax=194°。

3.1 優化結果

設定N=30，M=200，wmax=0.95，wmin=0.45，慣性因子w隨迭代次數線性遞減，c1=2，c2=2。調節α1和α2可以得到不同優化目標下的深溝球軸承優化結果。

優化目標為軸承額定動載荷時，即加權系數α1=1,α2=0時，優化結果隨迭代次數的變化如圖5所示，軸承額定動載荷在起始階段小范圍停留在局部最優解，經更新粒子的速度和位置，額定動載荷逐漸增大，經136次迭代后收斂至70.224 kN，對應的軸承主參數為：Dw=17.600 mm，Dpw=97.5 mm，Z=10，fi=0.515，fe=0.515。

圖5 6214深溝球軸承額定動載荷優化結果Fig.5 Optimal result of dynamic load rating of 6214 deep groove ball bearing

優化目標為軸承額定靜載荷時，即加權系數α1=0,α2=1，優化結果隨迭代次數的變化如圖6所示，額定靜載荷為優化目標時的收斂性比額定動載荷為優化目標時差，額定靜載荷經135次迭代后收斂至56.376 kN，對應的軸承主參數為:Dw=16.921 mm，Dpw=100.4 mm，Z=11，fi=0.515，fe=0.530。

圖6 6214深溝球軸承額定靜載荷優化結果Fig.6 Optimal result of static load rating of 6214 deep groove ball bearing

優化目標為軸承額定聯合載荷時，取加權系數α1=α2=0.5時，優化結果隨迭代次數的變化如圖7所示，軸承額定聯合載荷經162次迭代后收斂至62.952 kN，對應軸承主參數為：Dw=16.921 mm，Dpw=100.4 mm，Z=11，fi=0.515，fe=0.515，除fe外，其他參數與額定靜載荷為優化目標時的優化結果相同。由于以軸承額定聯合載荷為優化目標時的目標函數復雜度高，收斂速度降低。

圖7 6214深溝球軸承額定聯合載荷優化結果Fig.7 Optimal result of combined load rating of 6214 deep groove ball bearing

為進一步分析額定聯合載荷與加權系數的關系，將加權系數α1作為變量，由于目標函數復雜度變高會降低收斂速度，結果易陷入局部最優，故調整粒子群算法的參數，令N=100，M=400，得到額定聯合載荷隨α1的變化如圖8所示：額定聯合載荷隨α1近似呈線性變化，但曲線斜率和截距有所變化。這是由于α1+α2=1，C=α1Cr+(1-α1)C0=(Cr-C0)α1+C0，斜率為Cr-C0，截距為C0，加權系數不同，目標函數不同，得到的軸承主參數不同，額定動載荷Cr和額定靜載荷C0不同，斜率和截距隨加權系數α1變化而變化。當0.5<α1<0.6時，曲線出現一定震蕩，說明此時更容易陷入局部最優，加權系數在該范圍時應繼續增大種群規模N和迭代次數M，以提高收斂效果。

圖8 額定聯合載荷隨加權系數的變化Fig.8 Variation of combined load rating with weighting coefficient

綜上分析可知：本文提出的基于粒子群算法的深溝球軸承優化設計方法收斂速度快，收斂穩定性高，以額定聯合載荷為優化目標時的優化結果更符合理論模型。

3.2 優化效果驗證

為進一步驗證優化設計方法的正確性，與網格節點法進行對比。利用(5)，(6)，(8)，(9)式將Dw，Dpw，fi，fe在取值范圍內劃分為20×20×20×20的網格，利用(7)式計算出對應范圍內的Zmin，Zmax，Z取整數。以軸承額定動載荷為優化目標，通過網格節點法和粒子群算法優化不同型號的深溝球軸承，結果見表1：基于粒子群算法優化得到的軸承額定動載荷比網格節點法高。

表1 軸承額定動載荷優化結果Tab.1 Optimal results of dynamic load rating of bearings

4 結束語

以深溝球軸承的額定動載荷、額定靜載荷及額定聯合載荷為優化目標，以球直徑、球組節圓直徑、球數、內圈溝曲率半徑系數、外圈溝曲率半徑系數為設計變量，基于粒子群算法實現了軸承的主參數優化。6214深溝球軸承的優化結果說明該方法具有較高的收斂性，并通過與網格節點法對比驗證了優化方法的有效性。同時，基于 .NET API對AutoCAD軟件進行二次開發，實現軸承二維圖紙的自動繪制與保存。本文提出的優化設計系統實現了深溝球軸承從尺寸參數的優化到圖紙生成和保存整個流程的自動化，降低了設計工作量，提高了設計效率及軸承設計領域的數字化水平。