基于熵值比-DTW度量奇異值相似度指標的滾動軸承退化歷程辨識

周建清，朱文昌，王恒

(1.常州市高級職業技術學校 電氣工程學院，江蘇 常州 213161； 2.南通大學 機械工程學院，江蘇 南通 226019)

有效監測滾動軸承性能退化歷程，制定針對性的維護計劃，可避免設備損壞造成的財產損失及人員傷亡，具有重要意義[1]。基于數據分析的滾動軸承退化歷程辨識得到了廣泛研究，其關鍵在于如何構造單調性好且能準確刻畫不同狀態的性能退化指標。傳統方法采用軸承振動信號的時域(如峭度、均方根)、頻域(如重心頻率、均方頻率)及時頻域(如小波包分解、經驗模態分解)等特征進行分析[2]。文獻[3]將 Kullback-Leibler散度作為軸承健康退化指標，可有效量化滾動軸承的不同退化階段；文獻[4]改進了卷積神經網絡并用于深層次振動特征提取，結合遷移學習實現了不同工況下軸承運行狀態的識別；文獻[5]使用經驗模態分解算法提取軸承故障特征，對特征向量進行 k-medoids 聚類以構建模型，可更精確地檢測早期退化；文獻[6]利用應用累積并對JRD(Jensen Renyi Divergence)進行改進，提高了退化指標的穩定性及單調性；文獻[7]將排列熵(Permutation Entropy，PE)作為軸承退化特征，通過改進構造出熵能比(Entropy Energy Rate, EER)并作為滾動軸承性能退化指標，其對早期故障更敏感且與軸承故障發展趨勢更加一致。

隨著人工智能、機器學習的發展，以卷積神經網絡(Convolutional Neural Network, CNN)為代表的深度學習算法在軸承特征提取方面也得到了廣泛的應用[8]，與傳統方法相比，其能夠挖掘軸承數據更深層次的信息，但由于池化層、隱含層的層數等超參數需要人為設定，缺乏一定的科學性。近年來，許多學者將矩陣論應用于滾動軸承狀態監測領域，文獻[9]提出一種非負矩陣分解，用于軸承特征提取并實現了軸承故障診斷；文獻[10]基于隨機矩陣理論對軸承特征矩陣進行分解，將矩陣特征值用于軸承退化指標構建與檢測閾值設定，實現了滾動軸承的早期異常檢測。

目前，常利用滾動軸承某個時刻退化指標的數值大小及變化趨勢監測軸承當前時刻的狀態，然而軸承性能退化是一個連續變化的過程，即當前狀態與歷史狀態相關，如何將軸承當前狀態及歷史信息相結合，構建能準確反映軸承當前狀態與正常狀態之間差異的性能指標并提高指標對不同階段的敏感性，避免數據波動干擾軸承退化狀態的判定是值得深入研究的問題。動態時間規整(Dynamic Time Warping,DTW)是一種計算時間序列相似性的算法，將時間規整和距離測度計算相結合，利用對2個時序信號的拉伸、對齊等操作獲得時間校準匹配路徑，通過計算路徑間的最短距離描述時間序列間的相似度與差異性[11]。文獻[12]利用DTW算法計算時間序列間的相似性并進行狀態匹配，與歐幾里得距離相比，其對時間序列相似度的計算更為準確；文獻[13]利用DTW算法分析手語運動軌跡間的相似性并判斷其是否屬于同一類別，提高了手語軌跡識別的準確率。傳統DTW算法假設序列中的各個點有著相同的作用，從而計算序列間的相似度，而在軸承的實際退化過程中，不同時間段采集到的數據結構及組成可能存在較大的變化，因此利用DTW算法計算軸承信號相似度時不能僅考慮數據序列之間的距離，也應考慮不同狀態數據間的差異性。

綜上所述，本文基于奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)算法對軸承數據進行特征提取，結合信息熵和DTW算法計算不同狀態軸承退化數據間的相似度，并用其表征軸承全壽命過程中的不同退化歷程。

1 基于奇異值分解的軸承特征提取

根據滾動軸承健康監測數據的采集特點，在時間T內對軸承進行N次采樣，采樣時間記為ti(i=1,2,…,N)，采樣點數為M，各數據點分別記為x(ti,j)(j=1,2,…,M)，在ti時刻采集的數據可構成向量x(ti)，即

x(ti)=[x(ti,1),x(ti,2),…,x(ti,M)] 。

(1)

向量x(ti)中涵蓋ti時刻軸承不同位置的運行信息，可以看作矩陣x(ti)∈R1×M。對于一個實矩陣B∈RK×K，可引入特征值λ及特征向量y將其替代，λ可用于B中的有用信息，則

By=λy。

(2)

將采集的數據構建矩陣并進行特征分解，將特征值構造退化指標以識別軸承的不同退化階段[14]。在矩陣論中，矩陣奇異值分解與特征值分解的作用較為相似，不同的是奇異值可適用于矩陣不滿秩的情況，具有更大的應用范圍。而在矩陣論中，對于一個實矩陣A∈RH×J，可對其進行奇異值分解，則A可寫為

(3)

Λ=diag(σ1，σ2，…，σl)，

式中：V與VT為正交特征向量矩陣；Λ為對角矩陣；σi為采樣時刻ti對軸承數據進行奇異值分解后所對應的奇異值，且l=min(H,J)。

對ti時刻采集到的軸承數據x(ti)∈R1×M進行分解后，可從對角矩陣Λ中提取到一個奇異值，故在采樣時間T內，對不同時刻的軸承數據進行分解并提取不同時刻的奇異值，可構造出退化時間序列G∈R1×N，即

G=[σ1,σ2,σ3,…,σi,…,σN]。

(4)

2 基于熵值比-動態時間規整構造奇異值相似度指標

滾動軸承由正常運行至完全失效是連續變化的過程，當軸承受到損傷進入退化狀態，其損傷的衍變規律應與前n個歷史狀態有關，單獨取某一時刻的特征去判斷軸承狀態是不合理的，因此本文將相互鄰近的多個特征點構成時間序列，利用DTW算法分析軸承的退化歷程。

確定一段軸承正常狀態信號序列作為參考模版P=[p1,p2,…,pa]，構造其他時間段的退化序列作為測試模板Q=[q1,q2,…,qb]，其中pa和qb分別表示參考模板的第a個和測試模板的第b個特征矢量值。對齊路徑li用于描述P與Q之間數據點的對齊關系，其被定義為包含s個二元組的集合，每個二元組包含2個分別來自時間序列P和Q的數據點，l可表示為

(5)

序列P與Q之間所有對齊路徑的集合記為AP,Q。DTW的目標是最小化兩段時序數據中所有對應數據點的局部距離值之和，其定義為

(6)

d(pa,qb)=∣pa-qb∣2，

(7)

式中：d(pa,qb)為矢量間的距離。

DTW算法采用動態規劃思想，利用遞歸公式將以上問題轉換為對P和Q中特征矢量距離的求解問題，即

(8)

將規整后路徑間的距離作為量化指標，可對不同序列的相似性進行有效度量，規整后的距離越小則序列間相似度越大。在軸承的實際退化過程中，不同狀態對應的數據結構及組成可能產生較大的變化，所蘊含的信息不同，在計算序列間相似性時應考慮不同狀態數據結構間的差異性。熵值可反映信息可靠程度，系統混亂程度越高則熵值越大，本文將信息熵之比引入DTW算法中用于優化奇異值指標，其步驟如下：

1)從退化時間序列G∈R1×N選取a個連續的正常數據點作為參考模板P并保持不變。采用滑動時間窗口從時間序列G中提取不同時刻的數據作為測試模板，設置時間窗長度為b，則ti時刻構造的測試模板Q(ti)為

Q(ti)=[σi-b,…,σi-2,σi-1,σi] ；b≥i≥N，

(9)

從σb開始，滑動時間窗鎖定的第1個測試模板為Q(t1)=[σ1,σ2,σ3,…,σb]，隨后時間窗每次后移1個單位，共移動N-b+1次。利用DTW算法計算2個模板間的相似度，在ti時刻測試模板Q(ti)與參考模板P的距離(即相似度)記為di。

2)分別計算參考模板和測試模版中奇異值對應相似信號的信息熵值及熵值比，即

(10)

(11)

式中：a，b分別為參考模板和測試模板中相似信號對應奇異值的個數；xk(ti,j)為將ti時刻所采集數據x(ti,j)分解k次后相似信號中第j個數據的值；wi為ti時刻測試模板與參考模板距離間的權值。

3)將ti時刻對應的權值wi與DTW相似度距離di點乘得到加權后的相似度dw,i。將不同時間段的相似度通過權熵值進行優化可得到加權后的距離矩陣D=(dw,1,dw,2,…,dw,i,…,dw,N-b+1)，將其歸一化處理后用于對軸承退化歷程進行辨識。

綜上所述，本文所提基于熵值比-DTW度量奇異值相似度指標的構造流程如圖1所示。

圖1 基于熵值比-DTW度量奇異值相似度指標構建流程圖Fig.1 Constructed flowchart of singular value similarity index based on DTW optimized by entropy ratio

3 應用研究

3.1 數據來源

本文采用辛辛那提大學智能維護系統(IMS)中心的滾動軸承全壽命試驗中軸承1的數據進行應用研究，該試驗采用加速度傳感器每 10 min采集一次軸承振動信號，采樣頻率為20 kHz，當軸承1外圈發生故障時結束試驗，整個試驗共經歷9 830 min。取奇異值序列G中正常狀態下的序列段[σ1,σ2,σ3,σ4,σ5]為參考模板，測試模板長度b=5,利用DTW計算其相似度并結合熵值比進行優化，采用優化后的相似度指標辨識軸承1的退化歷程。

3.2 基于SVD算法的軸承奇異值特征提取

利用SVD算法對軸承各個時刻的數據進行分解，提取各個時刻對應的奇異值并進行歸一化處理后，構建的軸承全壽命歷程退化指標如圖2所示，通過3σ準則可在5 370 min檢測出軸承早期異常的發生[15]，與文獻[16-17]分別為5 350，5 330 min的檢測結果比較接近，與峭度指標(圖3)相比可提前1 122 min檢測出軸承早期異常的發生，且奇異值指標在退化時期整體呈單調向上的趨勢，數據曲線波動小，穩定性高。然而，在軸承“自愈現象”發生(7 000～9 000 min)時，奇異值指標存在明顯“上升—下降—再上升”的起伏波動[18]，給軸承狀態判斷帶來了干擾，難以判斷圖3中A，B范圍內具有相同指標值數據點所對應的退化狀態。

圖2 基于奇異值指標軸承全壽命歷程Fig.2 Bearing full life history based on singular value index

圖3 基于峭度指標的軸承全壽命歷程Fig.3 Bearing full life history based on kurtosis index

3.3 基于熵值比-DTW構造奇異值相似度指標

為進一步提高退化指標整體的單調性及對早期異常的敏感性，將動態時間規整算法與熵值法相結合，從時間序列及數據結構兩方面共同對軸承奇異值指標進行處理。以10～50 min軸承正常狀態奇異值序列為參考模版，提取1 210～1 250 min與8 010～8 050 min奇異值序列作為測試模板分別計算相似度，計算過程如圖4、圖5所示。在參考模板不變時，由圖4a可發現測試模板為1 210～1 250 min時，對于2個原始序列變化趨勢不同的曲線，可通過DTW算法對曲線進行伸長、對齊操作后將其轉變為具有相同變化趨勢的曲線，計算對齊后各對應點間的最小距離并最終得到規整后的最短路徑(從數值較小的深色區經過)，如圖4b所示，累積距離大小為0.867，這是由于軸承在1 210～1 250 min期間處于正常狀態，參考模板也處于正常狀態，2個序列的相似度較高，規整得到累積距離較小；當測試模板為8 010～8 050 min 時，序列間的差異較大，DTW算法難以將其規整為相同退化趨勢的曲線，且規劃出的路徑經過淺色區域，累計距離較大(11.415，約正常狀態下相似度的13倍)，如圖5所示。因此， DTW算法可放大不同時間序列間的差異性。

(a) 時間序列規整

(a) 時間序列規整

利用DTW處理軸承數據時只考慮了不同時間段時間序列的相似性，未考慮不同時間段數據結構之間的差異性。因此，本文采用熵值比分析軸承的全壽命歷程，結果如圖6所示：當軸承處于正常狀態，熵值比近似為一條直線；當軸承進入異常狀態，熵值比有明顯的上升趨勢；隨著軸承故障加劇，熵值比不斷增大，表明熵值比表征數據結構間的差異是可行的。

圖6 滾動軸承全壽命歷程的熵值比變化曲線Fig.6 Change curve based on entropy ratio of rolling bearing's full life history

以(10)、(11)式計算測試模板中奇異值所對應相似信號的熵值比作為權值，用其優化動態時間規整算法所測的相似度，最終構造出軸承1的性能退化曲線，結果如圖7所示：利用3σ準則檢測出軸承1的早期異常點在5 330 min，優化后的相似度指標可更早檢測出軸承的早期異常點，且指標的整體單調性及對異常狀態的敏感性均得到了較大的提高。

圖7 基于奇異值相似度指標的軸承退化曲線Fig.7 Bearing degradation curve based on singular value similarity index

3.4 軸承退化歷程辨識

基于奇異值相似度指標對軸承的退化歷程辨識結果如圖8所示：

1)在5 330 min前指標變化平緩，波動較小，可劃分為正常階段。

2)5 330～6 910 min期間退化指標較正常狀態有較為明顯的上升趨勢，可定義為軸承的早期退化階段。

3)7 020～8 640 min期間指標幅值比上一階段更大，但上升并不明顯，可定義為軸承的中期退化階段。這是由于軸承1發生了“自愈現象”，即當前階段軸承表面由于長時間運行出現了裂紋及小的剝落，滾動體不斷運轉將此缺陷撫平使軸承仍可保持較穩定的運行狀態，但軸承的疲勞磨損仍在發生，指標仍有上升趨勢。與處于相同階段的指標相比(圖2、圖3)，基于熵值比-DTW構建的奇異值相似度指標的單調性較好，避免了數據波動對狀態判斷帶來的干擾。

4)軸承的嚴重退化發生在8 640～9 560 min期間，在此之前經歷了“損傷—愈合—再損傷”的階段，在8 640 min后，軸承損傷加劇，運行狀態極不穩定，退化加速；直到9 560 min后，退化曲線上升劇烈，軸承失效并將完全損壞。

經過熵值比-DTW構造的奇異值相似度指標檢測的早期異常點、嚴重故障的檢測結果與文獻[19-20]基本一致，證明了基于相似度退化曲線對軸承退化歷程劃分的有效性。

圖8 基于奇異值相似度指標的軸承全壽命狀態識別Fig.8 Identification of bearing full life state based on singular value similarity index

3.5 不同退化指標性能對比

為進一步研究奇異值相似度指標的有效性，從2個方面對指標進行量化分析：1)單調性，滾動軸承退化具有不可逆性，構建的退化指標是否隨軸承運行時間共同增長；2)魯棒性，構造出的退化指標是否具有抵抗數據頻繁波動干擾的能力。單調性、魯棒性分別定義為

m(D)=

(12)

(13)

提取軸承1 在5 330 min(早期異常點)后的退化序列進行單調性及魯棒性分析，并與基于隨機矩陣理論(RMT)和主成分分析(PCA)結合構造的融合特征指標[14]，基于優化經驗小波變換及卷積神經網絡的EWT-CNN指標[19]，傳統峭度和均方根(RMS)指標進行對比，結果見表1。

表1 不同退化指標的單調性及魯棒性Tab.1 Monotonicity and robustness of different degradation indexes

由表1可知：與其他退化指標相比，基于熵值比-DTW算法的奇異值相似度指標的單調性及魯棒性均有明顯提升；這是由于DTW算法通過計算軸承不同時間序列的相似度放大了時間段的差異，結合信息熵比進一步凸顯了正常與異常狀態數據結構內部的差異性，顯著抑制了軸承全壽命歷程中退化指標的“上升—下降”波動現象，可更準確地表征軸承全壽命歷程中的損傷衍變過程。另外，奇異值相似度指標劃分確定的軸承早期異常點及嚴重故障點與EWT-CNN指標的劃分結果較為接近，可更好地辨識軸承的不同退化階段。

4 結束語

本文借鑒矩陣特征值在軸承健康監測領域中的良好應用效果，對軸承信號進行奇異值分解并構造奇異值退化序列，同時考慮到軸承退化的連續性及所采集軸承數據間的差異性，將DTW及熵值比優化后構建出的奇異值相似度指標用于表征軸承異常的衍變過程，為軸承健康狀態監測的研究提供了一種新思路。

對退化指標單調性及魯棒性的量化分析表明本文奇異值相似度指標可有效克服軸承退化過程中由于數據頻繁波動對不同退化階段識別帶來的干擾，且與其他退化指標相比具有更好的敏感性，整體性能較好；但本文所提優化算法的整體流程較復雜，需進一步研究算法復雜度的降低問題。