“感覺、感知、感悟”視角下概念教學的再思考*

王小青 (江蘇省如皋中學 226500)

1 “感覺、感知、感悟”教學過程的理解

動感：動，合“主動與動態(tài)”之意.感，含“感覺、感知與感悟”之蘊.動感數(shù)學課堂教學是指在數(shù)學課堂教學活動中，教育者有目的地引導學生自覺思維，調(diào)動學生自主性和能動性，使學習者主動協(xié)調(diào)各種感官，通過感受新事物、新概念、新問題，主動獲取知識，并在此基礎(chǔ)上進行反思，實現(xiàn)自我身心從實踐走向思維，實現(xiàn)感性思維與理性思維之合一、感知與感悟之交融的過程[1].

“感覺、感知、感悟”教學觀念認為：教學過程由“初步感覺，到體驗感知，升華為思考感悟”，突出“創(chuàng)設(shè)情境、合作交流、對話展示”.從認識論角度看，即為：創(chuàng)設(shè)情境，初步感覺；啟迪思考，體驗感知；學以致用，思考感悟.

2 “感覺、感知、感悟”教學實錄——以《向量的數(shù)乘》為例

2.1 初步感覺——在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題

師：甲同學從點O出發(fā)向東北方向勻速步行，若經(jīng)過1 s的位移用向量a表示，那么如何表示在同方向上經(jīng)過2 s的位移？經(jīng)過3 s的位移呢？

(學生獨立思考，得出結(jié)論.)

學生2：(方法2)符號表示，a+a，a+a+a.

學生3：(方法3)符號表示，2a，3a.(類比實數(shù)的加法運算a+a+a=3a)

師(追問)：3a是何種運算的結(jié)果？3a又是什么量？依據(jù)剛才研究的問題，你能提出一個類似的問題嗎？(如何表示從點O出發(fā)向西南方向經(jīng)過1 s的位移？)能將該問題推廣為一般情形嗎？接著要繼續(xù)研究什么問題呢？(給一個實數(shù)λ與任意向量a的乘積λa來下定義.)

設(shè)計說明學生在前面的學習中已經(jīng)建構(gòu)了向量的概念，理解了向量的加法與減法運算法則，那么為何要研究向量的數(shù)乘？怎樣研究？通過實際情境的創(chuàng)設(shè)，一是讓學生體會到研究向量數(shù)乘的必要性與合理性，期待建構(gòu)向量數(shù)乘的基本概念；二是啟發(fā)學生聯(lián)想、類比實數(shù)乘法的概念，建構(gòu)數(shù)學模型.

在教學過程中，通過教師追問，學生提出類似的問題；在學生與問題情境、教師與學生、學生與學生的有效互動中，發(fā)展學生的數(shù)學語言表達能力.

2.2 體驗感知：分析問題，建構(gòu)數(shù)學概念

師：聯(lián)想向量加法的定義，給出一個實數(shù)λ與任意一個向量a的乘積λa的定義.

設(shè)計說明學生已經(jīng)建立了研究向量加法、減法運算的定義模型，定義與向量有關(guān)運算的思路：(1)確定一個向量，一般從其方向和長度兩方面，所以定義要從兩個角度入手；(2)對特殊情況的規(guī)定(零向量、相反向量)；(3)表達數(shù)學概念用文字語言、符號語言、圖形語言.

(學生獨立思考，小組討論完善，得出結(jié)論.)

設(shè)計說明數(shù)學概念的建構(gòu)讓學生體驗感知建構(gòu)過程，便于學生理解概念并進行數(shù)學思考，有數(shù)學思考才能解決問題，進一步會產(chǎn)生新的問題，有了新的問題，就會有探究，進一步就會有反思感悟，才能把握數(shù)學概念的本質(zhì)內(nèi)容，在課堂上要變“結(jié)論告知”為“問題思考”，引導學生通過獨立思考、合作交流等方式，提升學生的數(shù)學能力與素養(yǎng).

2.3 思考感悟——應用數(shù)學，解決數(shù)學問題

例1 (1)如果把非零向量a的長度伸長到原來的3.5倍，方向不變得到向量b，向量b該如何表示？

(3)將下列各小題中的向量b表示為實數(shù)與向量a的積.

設(shè)計說明學生建構(gòu)向量的數(shù)乘等數(shù)學模型，應用向量數(shù)乘解決這一問題，簡化向量運算.在應用過程中，發(fā)現(xiàn)運算有一定的規(guī)律性，為研究向量數(shù)乘的運算律作鋪墊.

師：聯(lián)想實數(shù)四則運算律，向量的數(shù)乘運算符合哪些運算律呢？(追問)對于①b=2a，也即6e=2(3e)=(2×3)e.這一運算式有怎樣的實際意義呢？(再追問)既然向量2(3e)與向量(2×3)e相等，能用圖形表示2(3e),(2×3)e嗎？

師：你能將上述結(jié)論進一步推廣嗎？類比實數(shù)乘法的運算，試探究向量數(shù)乘滿足的運算律.

設(shè)計說明教師在追問中提出新問題，建構(gòu)數(shù)學模型讓學生獨自去解決這一問題，可從向量的大小和方向分別去研究，也可以從圖形去研究.

思考 依據(jù)實數(shù)的數(shù)乘運算律，向量數(shù)乘有哪些運算律呢？向量數(shù)乘與實數(shù)乘法有哪些相同點和不同點？

設(shè)計說明向量數(shù)乘建構(gòu)過程表現(xiàn)為學生在教師的引導下，聯(lián)想向量的加法、減法提出問題，解決問題，再提出問題，分析并解決問題，再發(fā)現(xiàn)問題，并解決問題等.讓學生經(jīng)歷數(shù)學建構(gòu)的實踐活動過程，提升學生研究探索、語言表達的能力.

例2 已知向量a和向量b，求作向量-2.5a和向量2a-3b.

例3 計算：(1)3(a-b)-2(a+2b)；

(2)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).

總結(jié)：向量的線性運算的結(jié)果是一個向量，其運算法則與多項式運算類似.

師：繼續(xù)探究例1的前兩個小題并思考——

設(shè)計說明建構(gòu)數(shù)學概念的目的之一就是能夠用建立的數(shù)學模型解決實際問題.通過例3之后的追問、反思，學生可以發(fā)現(xiàn)，向量的數(shù)乘可以解決兩個向量的共線問題，表現(xiàn)在平面圖形中，可以解決三點共線、兩直線平行等問題.學生經(jīng)歷應用數(shù)學知識解決數(shù)學問題的過程，由此積累做數(shù)學、學數(shù)學、用數(shù)學的經(jīng)驗,增強數(shù)學的應用性意識.

數(shù)學概念的教學是使學生經(jīng)歷數(shù)學概念、結(jié)論產(chǎn)生的過程，體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用.其一是對現(xiàn)實問題的數(shù)學抽象；二是用數(shù)學的三種語言(文字語言、符號語言、圖形語言)表達問題；三是用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題.

3 落實“感覺、感知、感悟”教學法的思考

3.1 源于問題情境的初步感覺，提升閱讀理解、信息整理素養(yǎng)

數(shù)學源于生產(chǎn)生活實際，數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程源于解決實際生活問題的過程.在課堂教學過程中，要創(chuàng)設(shè)合適的教學情境，啟發(fā)學生思考.學生在與問題情境的有效互動中，通過對背景材料、實際問題的初步感覺，先初步了解實際背景是什么、其中蘊含了怎樣的數(shù)學問題，學會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.向量是既有大小又有方向的量，日常生活中的位移也是向量，所以“向量的數(shù)乘”這節(jié)課以物理量為背景抽象出向量數(shù)乘的概念，在教學中發(fā)展學生信息獲取、知識整合的能力.

3.2 重在數(shù)學問題的體驗感知，提升實踐探索素養(yǎng)

“實踐探索素養(yǎng)”是指學習者在面對生活實踐或?qū)W習探索問題情境時，組織整合相應的知識與能力、運用不同的技術(shù)方法進行各種操作活動以解決問題的綜合品質(zhì).課堂教學中，教師不是將“結(jié)論性知識和規(guī)律性方法”機械地交給學生，而要引導他們經(jīng)歷實際情境，通過提問、追問等方式，突出問題導向，通過問題驅(qū)動將學生的學習引向深入.學生通過自己的體驗感知，解決問題，再提出新問題，分析問題，解決問題，建構(gòu)數(shù)學模型.本課例類比向量的加法、減法的概念，引導學生運用文字語言、圖形語言、符號語言表達向量數(shù)乘的定義.引導學生從已有的研究向量加法、減法的方法，類比熟悉的數(shù)的乘法運算律，建構(gòu)向量的數(shù)乘運算律，學生通過思考發(fā)現(xiàn)問題，探究反思，解決問題，發(fā)展操作應用和數(shù)學表達的能力.

3.3 貴在對建構(gòu)概念模型的反思感悟，探索思維方法素養(yǎng)

“思維方法素養(yǎng)”是指學習者在面對生活實踐或?qū)W習探索問題情境時，進行獨立思考和探索創(chuàng)新的內(nèi)在認識品質(zhì).在課堂教學中，引領(lǐng)學生感悟知識產(chǎn)生的過程，在應用中積累數(shù)學思維和實踐的經(jīng)驗.“向量的數(shù)乘”強調(diào)引導學生應用向量的數(shù)乘解決物理問題、幾何問題.發(fā)現(xiàn)應用數(shù)乘的有關(guān)概念可以證明平面圖形中的平行關(guān)系、研究平面圖形中段落之間的關(guān)系等等.通過引導學生在多樣化的數(shù)學活動中去思考、探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提升他們的數(shù)學建模與數(shù)學探究的能力.

在數(shù)學課堂上，應用“感覺、感知、感悟”教學法，從實際問題和背景中抽象出新的數(shù)學概念，建構(gòu)新概念，建立新概念的運算，以及在數(shù)學問題、實際模型中應用新運算等.概念的教學過程可以描述為三個階段：創(chuàng)設(shè)恰當?shù)慕虒W情境，提出合適的數(shù)學問題；啟發(fā)學生思考，讓學生理解數(shù)學概念的來龍去脈，建構(gòu)數(shù)學概念，掌握基礎(chǔ)知識，形成基本技能；感悟數(shù)學的思想，領(lǐng)悟知識本質(zhì)，學以致用，在應用中積累數(shù)學思維和實踐活動經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).通過初步感覺、體驗感知、思考感悟，展現(xiàn)教學內(nèi)容的過程性，實現(xiàn)活動的探索性，完成“四基”“四能”的教學，這是改變傳統(tǒng)教學法[2]，是有創(chuàng)新、融能力與素養(yǎng)的高品質(zhì)數(shù)學教學，是落實學科素養(yǎng)的有效教學法.