理性精神引領下的數學課堂教學研究
——以“正弦函數、余弦函數的圖象”為例*

楊 龍 (江蘇省太倉高級中學 215411)

1 學情分析

教學對象是四星級高中的高一普通班學生，基礎良好，有較強的自主學習能力、運算能力和綜合運用知識解決問題的能力.

2 內容解讀

本節(jié)課是人教A版數學必修第一冊第5章“三角函數”中的第4節(jié)“三角函數的圖象與性質”第1課時的內容.之前，學生已經有了學習指數函數、對數函數、冪函數的圖象與性質的經驗，針對一個新函數可以應用對比、類比的方法進行研究，將已有經驗遷移到對三角函數圖象與性質的研究中，形成研究思路.正弦函數、余弦函數是一類基本初等函數，作為函數的下位知識，對于它們的研究基本遵從函數圖象與性質的一般研究思路：繪制函數圖象→觀察圖象、發(fā)現(xiàn)性質→證明性質.

教學目標 (1)經歷繪制正弦函數圖象的過程，掌握描點法，掌握繪制正弦函數圖象的“五點法”；(2)經歷繪制余弦函數圖象的過程，理解其中運用的函數圖象變換的思想；(3)通過三角函數的概念、三角函數誘導公式等知識間的聯(lián)系體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

教學重點 正弦函數、余弦函數的圖象畫法.

教學難點 掌握準確繪制函數圖象一個點的方法，并由此繪制出正弦函數的圖象.

3 過程實錄

3.1 擬定研究思路

問題1前面我們學習了三角函數的定義以及基本運算，延用之前的指數函數、對數函數、冪函數的研究思路，接下來我們應該研究什么問題？怎樣研究？

教師提出問題，學生回憶函數研究的一般思路，師生共同交流、規(guī)劃、完善方案.預設的答案如下.

研究函數的一般思路：函數的定義—函數的定義域、值域—函數的圖象—函數的性質—函數的應用.

鑒于前面已有研究，接下來重點是繪制三角函數的圖象，各個擊破，首先我們從畫正弦函數的圖象開始今天的探究之旅.

設計意圖規(guī)劃研究方案，構建本單元的研究路徑，以便從整體上掌握整個單元的學習過程，形成整體觀念.

3.2 繪制正弦曲線

問題2你打算如何繪制正弦函數y=sinx的圖象？

繪制一個新函數圖象的基本方法是描點法.對于三角函數，單位圓上任意一點在圓周上旋轉一周又回到原來的位置，這一特性體現(xiàn)了周而復始的規(guī)律，所以我們只要先畫出函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖象即可.

追問1 對于正弦函數，在[0,2π]上任取一個值x0，如何精準繪制點T(x0,sinx0)？

圖1

精準繪制一個點的問題解決之后，即可用相同的方法描出其他的點，這里可以借助信息技術工具得到比較精確的函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖象(圖2).

圖2

設計意圖教師引導學生剖析一個點的畫法，深化對正弦函數定義的理解.通過分析點的坐標的幾何意義，準確描點，同時體會信息技術給數學研究帶來的便捷.

追問2 根據函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖象，你能想象函數y=sinx,x∈R的圖象嗎？

根據誘導公式一可知，函數y=sinx,x∈[2kπ,2(k+1)π](k∈Z,k≠0)的圖象與y=sinx,x∈[0,2π]的圖象形狀完全一致.因此將y=sinx,x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個單位長度)，就可以得到正弦函數y=sinx,x∈R的圖象.

正弦函數的圖象叫做正弦曲線(sine curve)，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

設計意圖繪制函數y=sinx,x∈R的圖象，并培養(yǎng)說理的習慣，體會周而復始的特性.

追問3 在確定正弦函數的圖象形狀時，應抓住哪些關鍵點？

為了畫出函數y=sinx,x∈[0,2π]圖象的簡圖，只要描出五個關鍵點，按照正弦函數圖象的走勢，并用光滑的曲線將之連接就可以畫出正弦函數的簡圖，稱為“五點法”.

設計意圖觀察函數圖象，概括其特征，獲得“五點法”畫圖的簡便畫法.

3.3 繪制余弦曲線

問題3如何畫出余弦函數y=cosx的圖象？

學生可能會類比正弦函數圖象的畫法，提出用類似的方法畫余弦函數的圖象.教師可以適時追問，提示正弦函數、余弦函數是一對密切相關的函數.誘導公式表明，余弦函數和正弦函數可以互化.

追問1 你能在兩個函數圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？

教師指出，余弦函數的圖象叫做余弦曲線(cosine curve)，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線.

設計意圖利用誘導公式，通過圖象變換，由正弦函數的圖象獲得余弦函數圖象，增強對兩個函數圖象之間的聯(lián)系性的認識.

追問2 類似于用“五點法”作正弦函數圖象，如何作出余弦函數的簡圖？

讓學生寫出一個周期范圍內余弦函數圖象上的五個關鍵點坐標.

3.4 例題精析

畫出下列函數的圖象：

(1)y=1+sinx，x∈[0,2π]；

(2)y=-cosx，x∈[0,2π]；

(3)y=|sinx|.

設計意圖鞏固學生對正弦函數、余弦函數圖象特征的掌握，熟練“五點法”畫圖，掌握畫圖的基本技能.通過分析圖象變換，深化對函數圖象關系的理解，并為后續(xù)的學習作好鋪墊.

3.5 課堂小結(略)

4 教學感悟

4.1 一般觀念指導數學研究

在《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中，將三角函數內容安排在必修課程主題二“函數”中，把“函數概念與性質”“冪函數、指數函數、對數函數”“三角函數”“函數應用”視為一個整體.三角函數作為一類最典型的周期函數，是學生在高中階段系統(tǒng)學習的最后一個基本初等函數，所以教學中可注重引導學生以前面學到的研究函數的方法來指導學習.本節(jié)課首先通過問題1擬定研究三角函數的路徑，以函數研究的一般觀念為指導，引導學生自主構建三角函數的研究內容、過程和方法，同時還引導學生關注三角函數的特殊性，充分利用周期性簡化研究過程.

4.2 理性精神引領數學探究

本節(jié)課在探究正弦與余弦函數圖象過程中，突出理性精神的引領，對正弦函數圖象的構造和認識過程不斷優(yōu)化.突出正弦函數的周期性(本課時中并未提出周期性的概念，只是讓學生通過圓周運動周而復始的直觀形象和誘導公式的代數特征作感性認識)的特點，將實數集范圍的作圖問題歸結為區(qū)間[0,2π]內的作圖問題；精準畫出正弦函數上的任意一點，構建了函數圖象與三角函數定義之間內在的邏輯聯(lián)系，使得畫出的函數圖象不僅有“形”，還更加有“魂”，有利于知識的整體性與聯(lián)系性.理性精神引領學生深度思考，使得本節(jié)課的教學任務——繪制函數圖象更加優(yōu)化，周期讓圖象繪制由局部到整體，定義讓描點作圖由點到線，五點作圖讓簡圖更方便快捷，為后續(xù)借助圖象直觀分析問題、得到解題思路提供有效方法.

4.3 信息技術輔助數學學習

注重信息技術的使用，加強知識的發(fā)生發(fā)展過程，有助于學生加深對概念的理解與認識.本節(jié)課在利用信息技術通過單位圓畫函數圖象時，將三角函數的定義、三角函數的圖象等內容緊密聯(lián)系在一起，并通過角的變化，將這種聯(lián)系直觀地、動態(tài)地表現(xiàn)出來，突出了信息技術在函數作圖中的優(yōu)勢，有效突破數學學習中的重難點.本節(jié)課借助信息技術從一個點到任意多個點的描點，利用信息技術的連續(xù)動畫功能，可以得到更多的圖象上的點，達到點動成線的直觀效果，使學生進一步理解任意一點與整體圖形之間的關系，理解圖象形成的內在道理.