一種廣義Bodner-Partom黏塑性本構模型

王常宇，徐可君，秦海勤，馬中原，謝靜，謝鎮波

海軍航空大學 青島校區，青島 266041

航空發動機的熱端部件受載情況頗為極端和復雜，因此，作為結構完整性研究的基石，描述高溫合金材料力學行為的本構關系尤為重要。在復雜載荷下，經典彈塑性理論和蠕變理論[1]由于無法預測后繼屈服面、強行區分時間無關的塑性和時間相關的蠕變以及每步計算都須判斷屈服面等問題導致誤差較大。于是，一些基于細觀過程的、唯象的內變量黏塑性統一本構理論逐漸興起，典型代表如帶屈服面的Chaboche模型[2]、Waller模型[3]和無屈服面的Bodner-Partom模型[4]、Miller模型[5]等。其中，被認為是“力學里程碑式”的Bodner-Partom本構理論(B-P模型)直接從位錯動力學出發，繞開了傳統屈服面概念，認為各種力學行為特性耦合于全形變過程，都由基于微觀機理而演化的內部狀態變量控制。該模型在表征能力、微觀機制支持和數值計算便利性等方面具有相當的優勢，故而應用廣泛[6-10]。

幾十年來，相關學者在B-P理論基礎上進行著探索，以追求力學行為的完美表述以及本構方程的簡約。Khen和Rubin[11]假設硬化系數是各向同性和各向異性變量的函數，改進的模型更為滿足復雜循環加載下的響應特征；周益春和段祝平[12]通過引入損傷變量，修正了Mises準則帶來的非彈性體應變率為零的不合理結果；Shi等[8]提出了內變量具有不同硬化趨勢的假設，由此發展出的新內變量演化模型可改善對單調拉伸和循環硬化的模擬精度；Sun等[13]將新的損傷演化方程引入B-P模型，新模型的應變率敏感性、損傷演化以及卸載特性表明應變軟化等動態行為的建模得到了優化。

盡管B-P模型在模擬材料的率相關非彈性功硬化特性方面精度可觀，且能夠模擬某些循環蠕變[14-15]，但尚面臨一些問題[6,16-19]沒有解決：① 在描述循環硬化/軟化等特征時滯回曲線存在“過方”(Oversquare)和飽和過快現象；②以Mises流動法則作為基本假定。這可能限制了對材料黏塑性的描繪能力，比如循環應力松弛、平均應變循環蠕變(又稱棘輪，Ratcheting)等現象。顯然，發展能夠解決上述問題、更全面和精確地反映材料的率相關黏塑性行為而又控制數值計算實現難度的黏塑性本構方程，對于高溫材料壽命與可靠性分析具有重要的應用意義。

基于以上，本文的工作是：以B-P統一黏塑性本構理論為基本框架，利用率相關的屈服勢函數直接由黏塑性應變流動的正交法則導出本構關系；在運動硬化演化方程中引入黏塑性應變率修正項并考慮動態恢復的非線性特征，發展了新的硬化準則，從而構建了一種廣義的B-P本構模型。利用鎳基粉末高溫合金FGH96(航空發動機渦輪盤材料)在使役條件下的試驗數據對廣義B-P模型的有效性和適用性進行了與原始B-P模型的對比驗證。

1 廣義B-P統一黏塑性本構理論

(1)

彈性部分服從廣義Hooke定律：

(2)

1.1 流動法則和運動方程

一般情況下，表達方向性硬化效應的黏塑性形式流動法則為

(3)

式中：λijkl為表達方向性硬化的四階張量乘子；Skl為應力偏量。

B-P模型以Mises材料為基本假定，此時式(3)簡化為Prandtl-Reuss流動理論的各向同性形式[21]：

(4)

將式(4)兩端二次自點積，得

(5)

(6)

(7)

Bodner、Partom等根據位錯動力學理論給出控制塑性應變的運動方程：

(8)

式中：D0為極限剪切應變率；n為材料應變率敏感性常數，與載荷歷史無關；Z為載荷歷史相關的內部狀態變量，體現材料抵抗塑性流動的硬化狀態。

聯立式(6)～式(8)，可得

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

將式(11)代入式(15)，得

(16)

于是，有

(17)

下面可推廣至包含內變量Zi的一般情況。若定義屈服勢函數Φ為

(18)

則由正交法則：

(19)

(20)

流動法則即得到確定。

1.2 內變量演化方程

B-P模型的內變量Z由各向同性分量ZI與運動硬化分量ZD組成：

Z=ZI+ZD

(21)

式中：

ZD(t)=βij(t)uij(t)

(22)

標量ZD是硬化張量βij對表示應力方向的基張量uij的變換結果，所以材料運動硬化的演化特性由βij表達。將演化方程由(原B-P模型)：

(23)

改寫成：

(24)

上述修正的原因和意義在于：

1) 統一黏塑性本構理論一般認為率相關的力學行為由某一個主導的應變率因子表達即可，其他因子影響可忽略，B-P模型的演化方程即是基于硬化速率方向與塑性變形速率相同的假設[21]。而在微觀尺度上，障礙物處位錯的熱激活主導著塑性動力學。由于動態恢復現象，應變硬化在很大程度上取決于進程的溫度和應變速率。當演化方程由多項組成時，內部變量不完全依賴于演化方向[22]，因此拓展不同的硬化/恢復演變方向有利于揭示屈服和飽和應力附近的重要行為，Kocks和Mecking[23-24]的研究也佐證了這一點。

2) 研究[25-26]發現材料在塑性變形過程中，屈服面會改變形狀(沿局部法向)。B-P理論是“無屈服面”的，或從另一個角度可以說它的屈服面是由變量控制而動態變化的。對于原始B-P模型，演化方程的硬化方向即σ方向、恢復方向即β方向。這意味著后繼屈服面在應力空間的相似放縮和平移是被考慮的而翹曲(帶角度)是被忽略的，這是Mises屈服準則帶來的限制。同時，非彈性應變隨循環而不斷累積的行為沒有被考慮，這是現有模型不能很好地描述棘輪現象[27-29]的原因之一。另外，在演化方程中引入塑性變形歷史作為尺度利于描述包辛格效應。

比例加載與非比例加載下，各向同性硬化分量的演化方程分別為

(25)

(26)

(27)

2 計算方法

廣義B-P模型包含18個材料參數：E,D0,Z0,Z1,Z2,Z3,Z4,m1,m2,n,A1,A2,r1,r2,r3,r4,r5,f1，非比例加載時還包括Y1。

一般可取A=A1=A2；r1=r2；Z0=Z2，應變速率小于10 s-1。這些參數可以通過材料的單軸拉伸試驗、控制應變的對稱循環試驗、蠕變試驗和控制應變的非對稱循環試驗，結合一定的優化算法(如Levenberg-Marquadt方法)得到。

統一黏塑性本構方程大多以率形式給出，通常采用徑向回歸法[9,30-31]以恰當的積分運算將率形式轉化為增量形式。計算的核心問題是由微過程的增量應變分別求出彈性和非彈性的增量應變dεe和dεin，進而求出增量應力dσ。在下列推導中，如無特殊說明，所有的量均指t+dt時刻。

將式(2)隱式積分并寫成偏張量形式：

(28)

(29)

在徑向回歸過程中有：

(30)

上標tr表示試探值。將式(29)積分后代入式(28)，可得

(31)

兩邊二次自點積，得

(32)

(33)

對于本文模型，由式(2)、式(19)、式 (20)，有增量方程如下：

圖1 UMAT流程圖

(34)

(35)

dσ=M:(dε-dεp)

(36)

由內外狀態量σ、Z解得dt的增量應變dε后，通過式(36)解出dλ、dεp和dσ。內變量增量由演化方程給出。

3 數值分析與試驗驗證

表1 FGH96合金主要組分

圖2 拉伸、疲勞及疲勞-蠕變試件

見圖3，當變形進入塑性應變率主導階段時，應變率效應逐漸顯著，此時B-P模型響應較為滯后，出現偏離。相較之下，新模型由于對材料的硬化演化趨勢的包容度更高，所以曲線后半段的模擬精度更高。圖4中的對比顯示了新的內變量演化方程在循環累積下的松弛能力，即表達平均應力循環松弛的能力。圖5和圖6表明模型顯著改善了對應力應變滯回曲線的模擬效果，因為“過方”和飽和過快現象消失了。對FGH96合金非彈性變形特征的建模驗證了本文模型的優化效果。

圖3 改進B-P模型對單調拉伸應力-應變曲線的模擬

圖4 平均應力循環松弛曲線模擬

圖5 穩態滯回環模擬(950 MPa)

圖6 穩態滯回環模擬(850 MPa)

4 結 論

針對Bodner-Partom本構模型在模擬循環加載時精度有限、滯回曲線出現“過方”等缺陷，在其基礎上提出了一種廣義B-P黏塑性本構模型：①從塑性流動正交法則出發重塑了流動法則，擺脫了Mises法則的局限；②在運動硬化方程中引入黏塑性應變率修正項，拓展了描繪應變率效應的不同演化方向；③考慮了動態恢復的非線性特征，豐富了硬化準則的表達力。對FGH96材料高溫非彈性變形特征的模擬以及試驗驗證表明，新模型相較B-P模型改善了模擬單調拉伸和循環硬化時的精度，初步獲得了描述高溫非對稱循環載荷下平均應力松弛的能力，且證明了數值計算實踐的可行性。