改進的混沌反控制設計及在圖像加密中的應用

呂恩勝

(河南應用技術職業學院機電工程學院，鄭州 450042)

0 引言

混沌是一種普遍存在的自然現象，研究發現它對一些系統是有益處的，如混沌動力學理論應用于金融穩定[1]、保密通信[2]等領域，取得了顯著效果且有巨大的應用前景。因此，研究人員開始關注混沌的產生，致力于非混沌系統進行混沌反控制的研究，目的是使穩定系統混沌化或混沌系統的動力學行為更加復雜[3-4]。采用的方法有：時延反饋法[5]、反饋控制法[6]、及脈沖控制法[7]等。反饋控制法應用最為廣泛：Chua等[8-9]先后設計出的經典蔡氏電路和憶阻器蔡氏電路，均為典型的三段式反饋控制系統，至今都是非線性電路研究的典范；梅春草等[10]利用相同和不同狀態變量的反饋控制，能對PMSGS系統產生混沌控制和反控制，提高風能利用率；Li等[11]設計了自適應混沌反饋控制(Adaptive Chaos Control，ACC)方法，提高系統的魯棒性和工作效率；劉爽等[12]設計了一個反饋控制器，對心臟起搏器混沌模型進行控制，使心臟從病態恢復到正常生理機能狀態。

為了使非混沌系統產生混沌動力學行為，文獻[13]對式(1)線性系統進行混沌反控制設計，原理如式(2)所示。

(1)

(2)

其中，常向量c∈R3，A是3×3的矩陣，B是3×1的矩陣，狀態變量x=(x,y,z)T∈R3，S(x)為切換平面，控制器u(x)=(Bx+k)，是設計的核心，k∈R3。矩陣A的特征值為：λ1,2=α±iβ，λ3=-γ，為了使系統式(1)混沌化，要求：α>0，γ>0，根據Lyapunov第一法知道系統式(1)是不穩定的，可得原點是式(1)唯一的平衡點。設計一個合適的矩陣B，使得A+B是一個穩定矩陣，A+B的所有特征值實部都是負值；再設計一個合適的參數k，使得(A+B)x+k=0的解位于區域{x∈R3，S(x)>c}中。使得系統在S(x)切換平面兩側之間來回跳躍，可得到一個簡單的控制系統，該系統是分段線性的，是混沌的。

針對文獻[13]提出的混沌反控制系統，文獻[6]也做過研究，設計的sign(z)較為陡峭，工程中難以實現。為了使它在工程領域中更好地發揮其應用價值，有必要做進一步的研究，設計出更合適的混沌反控制方案。設計通用的矩陣A和分段線性狀態反饋切換控制器，得到新的混沌系統，通過調節其系數可以實現不同的混沌反控制，豐富原系統的混沌動力學行為，新的混沌系統具有更豐富的隨機性及初值敏感性，在圖像加密的應用中具有一定的優勢。

1 鏡像混沌吸引子設計

文獻[13]設計的混沌吸引子位于z=0平面上側空間，設計新的u(x)控制器和S(x)切換平面，目的是使生成的混沌吸引子與文獻[13]中的混沌吸引子關于z=0平面鏡像對稱，設計的控制器u(x)為

(3)

設計的切換平面S(x)為

(4)

新的混沌系統為

(5)

2 對稱混沌吸引子設計

文獻[13]研究的只是一個特例，將系統式(1)、(2)中矩陣A通用化，即

(6)

為了將式(3)和文獻[13]的控制器融合，設計的u(x)控制器如式(7)所示。

(7)

研究發現，式(7)控制器u(x)，它的前兩段是分段線性的，但沒有考慮到z=0的情況，為此設計飽和函數sat(z)，其中p>0為增益，實現了變量z的連續性，能將文獻[13]設計的上吸引子和式(5)的下吸引子連接在一起。當m=n>0，e=f>0，d1=d2>0時，式(7)的控制器是關于z=0平面對稱的。

設計的sat(z)函數

(8)

在式(7)的控制器中，當z>0時，負值-pz/τ<0迫使軌道進入z<0空間；當z<0時，正值-pz/τ>0迫使軌道進入z>0空間。τ<1，τ越小sat(z)函數越陡峭，軌道切換速度越快，但是物理實現困難，本文τ=0.01。

再次得到的新混沌系統為

(9)

設a=20，b=20，c=-15，m=n=5，e=f=12，d1=d2=6，p=1，在MATLAB軟件上采用Runge-Kutta方法仿真系統式(9)，得到的對稱混沌吸引子如圖2所示，設a從0到5變化時，其余參數不變，圖3表明，該系統的最大Lyapunov指數(LE)大于零，則此時系統處于混沌狀態。

圖1 鏡像混沌吸引子Fig.1 Mirror chaotic attractor

圖2 對稱混沌吸引子Fig.2 Symmetric chaotic attractor

圖3 最大LEFig.3 Maximum LE

3 混沌動力學行為分析

3.1 定義域

式(7)表示的控制器u(x)，其定義域，可以細分為3個區

(10)

3.2 對稱性

對于任何參數，系統式(9)的x,y坐標做變換，(x，y，z)→(-x，-y，z)，系統的模型保持不變，且關于z=0平面是對稱的。

3.3 耗散性

設定：a>0，c<-2a，m>0，n>0，p>0，在式(10)定義域范圍內，式(9)相空間容積V(t)變化率

(11)

可以求得

(12)

V(0)為初始容積

(13)

根據設定c<-2a，當t→∞時，V(t)=0，系統是耗散且混沌的，系統軌道以指數速率收縮，最終將限制在R3空間中的一個體積為零的集合上，其混沌動力學行為被限制在其吸引子上。

3.4 系統平衡點的特性

系統式(9)在平衡點O2(0，0，0)的Jacobi矩陣為

(14)

該Jacobi矩陣的特征方程為

λ3-(2a+c-p/τ)λ2+(2a(c-p/τ)+a2+b2)λ-(a2+b2)(c-p/τ)=0

(15)

根據Routh-Hurwitz判據[14]，若式(15)：a<0，-(2a+c-p/τ)>0，(c-p/τ)<0時，系統式(9)在平衡點O2(0，0，0)是漸近穩定的，否則是不穩定的，又若a=0，c-p/τ<0時，平衡點是系統式(9)的hopf分岔點[15]。

同理：在平衡點O1，當(a-m)<0，-(2a+c)>0，c<0時平衡點是漸近穩定的，否則是不穩定的，又若(a-m)=0，c<0時平衡點是系統式(9)的hopf分岔點；當(a-n)<0，-(2a+c)>0，c<0時在平衡點是漸近穩定的，否則是不穩定的，又若(a-n)=0，c<0時平衡點是系統式(9)的hopf分岔點。

4 參數變化的動力學分析

4.1 參數a變化

初始值(x0，y0，z0)T=(0.1，0.1，-0.1)T，固定參數b=20，c=-15，m=n=5，e=f=12，d1=-d2=6，p=1時，參數a變化，系統動力學行為變化如圖4所示。

結合修正指數中相關性分析結果和顯著性水平，8個觀測變量中Reason1和Preference1間相關系數達到0.51，p<0.001，說明出于會話內容本身原因使用英漢混雜和偏好混雜名詞和語氣詞間存在顯著相關關系，似乎表明使用者出于表達專業術語、保持英文原汁原味、漢語中無對應詞，避免漢語可能會出現尷尬禁忌，營造氣氛等原因使用英漢語碼混雜，其混雜詞多為名詞和語氣詞，這一發現也較為符合語言交流的實際。

仿真相圖的動力學行為表現為：當a<0時，系統軌道衰減振蕩，收斂于一個穩定的平衡點；當a=0或5時，系統軌道收斂于極限環；當05時，系統軌道發散。系統仿真結果與3.4節理論分析一致，尤其是0

圖4 參數a作用下對稱混沌吸引子的相圖Fig.4 Phase diagram of symmetric chaotic attractor under the action of parameter a

圖5 參數b作用下對稱混沌吸引子的相圖Fig.5 Phase diagram of symmetric chaotic attractor under the action of parameter b

4.2 參數b變化

初始值(x0，y0，z0)T=(0.1，0.1，-0.1)T，固定參數a=2，c=-15，m=n=5，e=f=12，d1=-d2=6，p=1時，參數b變化，系統動力學行為變化如圖5所示。

仿真相圖的動力學行為表現為：當b=0時，系統存在一個環；當b≠0時，系統都處于混沌狀態。

4.3 參數c變化

初始值(x0，y0，z0)T=(0.1，0.1，-0.1)T，固定參數a=2，b=20，m=n=5，e=f=12，d1=-d2=6，p=1時，參數c變化，系統動力學行為變化如圖6所示。

圖6 參數c作用下系統式(9)的相圖Fig.6 Phase diagram of system (9) under the action of parameter c

仿真相圖的動力學行為表現為：當c≥0時，系統發散；當-12≤c<0時，系統軌道衰減振蕩，收斂于一個穩定的平衡點；當c<-12時，系統是混沌的。

4.4 參數m、n變化

初始值(x0，y0，z0)T=(0.1，0.1，-0.1)T，固定參數a=2，b=20，c=-15，e=f=12，d1=-d2=6，p=1，參數m，n變化時，系統動力學行為變化如圖7所示。

圖7 參數m、n作用下對稱混沌吸引子的相圖Fig.7 Phase diagram of symmetric chaotic attractor under the action of parameters m and n

圖8 雙重加密流程圖Fig.8 Flow chart of dual encryption

5 在圖像加密中的應用

1997年Fridrich首次將混沌理論引入圖像加密中，由于效率高、操作速度快，伴隨互聯網技術的快速發展，混沌加密成為近些年研究的熱點問題[15-17]。基于保密安全可靠的要求，本研究采用的是雙重加密，加密流程如圖8所示。

5.1 加密原理

讀入明文圖像P，獲取圖像矩陣的行數M和列數N，將明文圖像展開成一維向量，記為A，大小為M×N，對向量A的任一點坐標位置(1，j)進行如式(17)所示的改進的Arnold變換，得到新的坐標(pj，qj)，對像素點(1，j)和(1，qj)交換位置，該算法僅考慮列坐標，即不考慮pj的作用。{x0,y0,z0}為初始值,作為密鑰1，利用ode45算法計算混沌系統并迭代2×M×N+800次，去除前800點，得到3個序列{xj,yj,zj}，aj和bj為偽隨機變量{xj}變換得到，如式(16)所示，多次實驗表明，將明文圖像展開成一維向量，再將置亂后的一維向量還原成二維矩陣，比起整行整列操作，效果更好，但運算量更大。

x=mod(floor((x+20)×105),10×max(M,N))+1

a=x(1∶M×N)；b=x(M×N+1∶2×M×N)

(16)

(17)

像素位置置亂加密變換：j=1∶M×N，解密逆變換：j=M×N∶-1∶1。

單一的置亂算法，無論多么復雜，無法對抗明文的攻擊，因此在置亂后同步擴散算法，設計的擴散處理為加取模和循環左移的算法，明文圖像被展開為一維向量Pi，Ci、Si為密文向量。C0為自設密鑰2，利用ode45算法再次計算混沌系統并迭代M×N+800次，去除前800點，得到3個序列{xi,yi,zi}，Ci、Si為密文向量偽隨機變量{xi}變換得到,如式(18)所示，加密原理如式(19)所示，解密原理如式(20)所示。

L=mod(floor(x×pow2(16))，256)

S=L(1∶M×N)

(18)

Ci=(Ci-1+Si+Pi)mod256；Ci=Ci?LSB3(Ci-1)

(19)

Pi=Ci?RSB3(Ci-1)；Pi=(2×256+Ci-Ci-1+Si)mod256

(20)

像素值置亂加密變換：i=1∶M×N，解密逆變換：i=M×N∶-1∶1。

5.2 仿真實驗結果

仿真結果表明：圖10a、圖11和表1表明Lena明文圖像在水平、垂直和對角線3個方向上的相關系數接近于1，圖10b、12和表1表明密文圖像的像素均勻分布，其相關系數接近于0，該加密算法破壞了明文圖像的相關特征，表明該加密效果良好。與其他加密方法對比后可知，該加密方案效果更為理想。

圖9 圖像加密解密效果圖Fig.9 Effect drawing of image encryption and decryption

圖10 直方圖Fig.10 Histogram

圖11 明文圖像相鄰像素分布Fig.11 Adjacent pixel distribution of plaintext image

圖12 密文圖像相鄰像素分布Fig.12 Adjacent pixel distribution of ciphertext image

表1 相鄰像素在不同方向上的相關系數Tab.1 Correlation coefficients of adjacent pixels in different directions

6 結論

本文以文獻[13]的混沌系統為研究對象，利用改進的反饋控制器，進一步豐富混沌系統動力學行為，討論了各參數對動力學行為的影響，充分展示了新系統的混沌特性。最后將混沌系統與像素值和像素位置置亂加密算法相結合，極大地增強了系統加密的安全性。在實際中，刻意產生或強化混沌動力學行為是一件有意義的事情，利用混沌的優點可以在生產中取得更加理想的效果。