數(shù)列中探索性問題的類型與破解策略

?江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)

姜興榮

1 引言

數(shù)列中的探索性問題是近年新課標(biāo)高考中比較常見的一類創(chuàng)新性問題，根據(jù)數(shù)列中的定義、通項(xiàng)公式、求和公式以及相關(guān)性質(zhì)等加以變形與應(yīng)用，通過觀察、分析、試驗(yàn)、歸納、運(yùn)算、類比、猜想、論證來剖析與轉(zhuǎn)化，創(chuàng)新成分非常高.

2 數(shù)列中的條件探索性問題

此類問題的基本特征是：結(jié)合確定的結(jié)論，探尋未知條件，或確定條件的增刪情況，或判定條件的正誤等.解決此類數(shù)列問題的基本策略是執(zhí)果索因，首先確定結(jié)論成立的必要條件，再檢驗(yàn)或認(rèn)證結(jié)論成立的充分條件.注意“執(zhí)果索因”中推理過程是否可逆.

例1已知函數(shù)f(x)=logkx(k為常數(shù)，k>0且k≠1).

(1)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)，使{an}是等比數(shù)列，并說明理由：

①{f(an)}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；

②{f(an)}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；

③{f(an)}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列.

分析：對(duì)第(1)問根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合不同條件建立對(duì)應(yīng)的f(an)的關(guān)系式，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算與變形來分析；對(duì)第(2)問，結(jié)合(1)的結(jié)論與對(duì)應(yīng)的條件，確定數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式的裂項(xiàng)相消進(jìn)行數(shù)列求和.

解析：(1)條件①③不能使數(shù)列{an}成等比數(shù)列，條件②可以.

所以

Tn=b1+b2+……+bn

點(diǎn)評(píng)：涉及數(shù)列中的條件探索性問題，根據(jù)不同條件加以合理推理與轉(zhuǎn)化，通過數(shù)列中定義、公式、性質(zhì)等的應(yīng)用來分析與運(yùn)算.此類條件探索類問題，可以通過數(shù)列中的不同條件來分析對(duì)應(yīng)的結(jié)論，也可以通過數(shù)列中的確定結(jié)論來反推滿足題意的條件等.

3 數(shù)列中的結(jié)論探索性問題

此類數(shù)列問題的基本特征是：給出確定的條件，自行確定對(duì)應(yīng)的結(jié)論或判定結(jié)論的正誤等.解決此類數(shù)列問題的基本策略是先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論.注意從特殊情況入手加以觀察，再合理分析，并歸納與猜想，最后論證.

例2已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=4，an+1=3Sn+4(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析：(1)由數(shù)列的遞推關(guān)系式，合理變形，結(jié)合等比數(shù)列的定義確定數(shù)列類型，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式；(2)通過第(1)問的結(jié)論以及條件中關(guān)系式確定bn的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，借助不等式的放縮法來確定大小關(guān)系.

①

②

①式-②式,得

點(diǎn)評(píng)：涉及數(shù)列中的結(jié)論探索性問題，一定要先確定一個(gè)相應(yīng)的結(jié)論，再進(jìn)行合理推理論證.對(duì)比較大小的問題，經(jīng)常可以通過構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的基本性質(zhì)來分析，也可利用放縮法加以變形轉(zhuǎn)化等.

4 數(shù)列中的存在探索性問題

此類數(shù)列問題的基本特征是根據(jù)確定的條件，判斷數(shù)列對(duì)象是否存在或相應(yīng)結(jié)論是否成立.解決此類數(shù)列問題的基本策略是：先假定存在性，再在此條件下加以合理推理，推理正確則肯定結(jié)論，推理矛盾則否定假設(shè).注意反證法的應(yīng)用.

已知{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，______.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析：(1)根據(jù)選擇的條件，從不同角度，結(jié)合不同數(shù)列類型加以變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合第(1)問的結(jié)論與對(duì)應(yīng)的條件來確定bn的表達(dá)式，利用作差比較法進(jìn)行合理變形，通過項(xiàng)數(shù)n的取值情況確定數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)，進(jìn)而確定數(shù)列的存在性問題.

若選③數(shù)列{a2n}的前5項(xiàng)和為65，則a2(n+1)-a2n=[2(n+1)-2n]×2=4，因?yàn)閍2=a1+2，所以{a2n}是首項(xiàng)為a1+2，公差為4的等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)：遇到含多個(gè)變量的數(shù)列存在探索性問題，在假設(shè)存在的情況下，確定滿足條件的關(guān)系再進(jìn)一步尋找相關(guān)的條件，而根據(jù)條件推出矛盾則說明不存在.破解此類問題一般可以利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、重要不等式、函數(shù)的值域或取值范圍等的判斷來確定對(duì)應(yīng)的存在性問題.

5 結(jié)束語

處理數(shù)列中的探索性問題，應(yīng)充分利用已知條件或?qū)?yīng)的結(jié)論，合理根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)的特點(diǎn)透徹分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、猜想條件或結(jié)論的存在性等，綜合不等式的性質(zhì)(包括放縮法等)、函數(shù)的性質(zhì)等加以合理運(yùn)算與推理，從而得以解決探索性問題，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新能力.綜合數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的應(yīng)用，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).