用函數的眼光看方程和不等式

文／段俠

教材中的例題、習題都是經過編者精心設計的，是我們學習知識的橋梁、解題方法的示范。因此，對例題、習題進行深挖和進一步探究就顯得尤為重要。下面，我們先來看看蘇科版數學教材九年級下冊第24頁的“觀察與思考”。

圖1

圖2

圖3

【解析】求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，相當于求使二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的函數值為0時x的值，即函數與x軸交點的橫坐標的值。本題可將判斷方程的根的情況轉化為判斷二次函數與x軸的交點個數，進而完成求解。由圖1可知，函數與x軸有兩個交點，則方程兩個不相等的實數根；由圖2可知，函數y=x2-6x+9與x軸有1個交點，則方程x2-6x+9=0有兩個相等的實數根；由圖3可知，函數y=x2-2x+3與x軸無交點，則方程x2-2x+3=0無實數根。

延伸探究1根據圖1，回答下列問題：

（1）當y＞0時，x的取值范圍是___；

（2）當y＜0時，x的取值范圍是___；

（3）當y＜-6時，x的取值范圍是___；

（4）當-6＜x＜0時，y的取值范圍是___。

【解析】本題可將不等式問題轉化為函數問題求解。

（1）y＞0相當于函數值為正數，從圖1中易得，當-6＜x＜-2時，y＞0；

（2）當x＜-6或x＞-2時，y＜0；

（3）如圖4，作直線y=-6，它與函數y=有兩個交點（交點的橫坐標分別是0和-8），由此可知，當x＜-8或x＞0時，y＜-6；

圖4

（4）如圖5，分別作直線x=0、x=-6，它們分別與函數交于點（0，-6）、（-6，0），易求得函數的頂點坐標為（-4，2），由此可知當-6＜x＜0時，-6＜y≤2。

圖5

延伸探究2根據圖1，討論方程4x-6=a的解的情況。

【解析】方程的解的情況可轉化為求二次函數與直線y=a的交點問題。

（1）當a＞2時，兩函數無交點，方程無實數根；

（2）當a=2時，兩函數有一個公共點，方程有兩個相等的實數根；

（3）當a＜2時，兩函數有兩個公共點，方程有兩個不相等的實數根。

延伸探究3如圖6，一次函數y1=x與二次函數y2=ax2+bx+c的圖像相交于P、Q兩點，則函數y=ax2+（b-1）x+c的圖像可能為（ ）。

圖6

【解析】由圖6可知，一次函數y1=x與二次函數y2=ax2+bx+c圖像在第一象限相交于P、Q兩點，則一元二次方程ax2+bx+c=x有兩個不相等的正根，即關于x的一元二次方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個不相等的正實數根，則函數y=ax2+（b-1）x+c的圖像與x正半軸有兩個交點，故A符合題意。

【點評】“轉化”和“數形結合”是數學中常用的兩種思想方法。我們通過對“思考與觀察”的延伸探究，讓大家感受二次函數與方程、不等式的關系，鞏固和拓寬思維，培養“看圖說話”和解決問題的能力。

拓展變式1已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數y與自變量x的部分對應值如下表所示：

x y……-1-6 0-1 1 2 2 3 3 2……

則當y＞-1時，x的取值范圍是___。

【解析】由表格可知，當x=1和3時，y的值都為2，則二次函數的對稱軸為直線x=2；而當x=0時，y=-1，根據二次函數的對稱性知，當x=4時，y=-1。又因為當x＜2時，y隨x的增大而增大，所以二次函數的開口向下，所以當0＜x＜4時，y＞-1。

拓展變式2已知二次函數y=x2-4mx+3m2（m≠0）。

（1）求證：該二次函數的圖像與x軸總有兩個公共點；

（2）設該二次函數與x軸的兩個交點分別為A、B，若m＞0，且A、B兩點間的距離為2，求m的值并直接寫出y＞3時，x的取值范圍。

【解析】（1）證明：令y=0，則x2-4mx+3m2=0（m≠0）。

∵b2-4ac=（-4m）2-4×1×3m2=4m2＞0，

∴方程x2-4mx+3m2=0有兩個不相等的實數根。

∴該二次函數圖像與x軸總有兩個公共點。

（2）解：∵y=x2-4mx+3m2=（x-m）（x-3m），

∴A（m，0），B（3m，0）。

∵兩交點間距離為2，且m＞0，

∴3m-m=2。

∴m=1，即m的值為1。

當m=1時，y=x2-4x+3。

把y=3代入y=x2-4x+3，

得3=x2-4x+3，解得x=0或x=4。

∵拋物線開口向上，

∴當y＞3時，x的取值范圍是x＜0或x＞4。

【點評】這兩道“拓展變式”雖然和前面三道“延伸探究”在形式上不同，但本質上依舊考查函數與方程、不等式的關系。我們在解答這類題時，既要學會識圖，還要清楚函數圖像背后的本質，以不變應萬變，會一題通一類，方可做到對知識的懂、透、化。