以“式”定法，巧妙解題

文／郭永勝

我們經常會遇到“判斷二次函數的圖像與坐標軸公共點的個數”這類問題。本文梳理了解決這類問題的一些方法，希望對同學們有所幫助。

一、基于一般式，關注通法

例1已知二次函數y=x2+（m-3）x+1-2m。試問此二次函數的圖像與x軸有兩個交點嗎？為什么？

【解析】解決二次函數圖像與x軸的交點問題，最直接的方法是根據二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）與對應的一元二次方程ax2+bx+c=0之間的關系，將證明二次函數圖像與x軸有兩個交點轉化為證明Δ=b2-4ac＞0，將“形”的問題轉化為“數”的問題來解決。

令y=0，則x2+（m-3）x+1-2m=0，

∴b2-4ac=（m-3）2-4（1-2m）=m2+2m+5=（m+1）2+4。

∵（m+1）2≥0，

∴（m+1）2+4＞0。

∴該方程有兩個不相等的實數根。

∴不論m為何值，該二次函數圖像與x軸有兩個交點。

【反思】利用一元二次方程根的判別式判斷二次函數圖像與x軸的交點個數，是解決這類問題的通法。該方法的關鍵是要將二次函數表達式寫成一般式y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0），再準確地表示出根的判別式b2-4ac，有時需利用配方法，方便判斷b2-4ac的符號。

二、基于交點式，精確計算

例2已知二次函數y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數）。試問不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點嗎？為什么？

【解析】剛接觸此題時，多數同學會想到用根的判別式進行判斷，將二次函數整理為一般式y=2x2-2（m+4）x+2（m+3），再計算b2-4ac=4（m+2）2≥0，問題雖然得到解決，但計算過程過于煩瑣。仔細觀察不難發現，題目中給出的是二次函數的交點式，可以直接求出二次函數圖像與x軸的交點坐標，從而解決問題。

令y=0，則2（x-1）（x-m-3）=0。

解得x1=1，x2=m+3。

當m+3=1，即m=-2時，方程有兩個相等的實數根；

當m+3≠1，即m≠-2時，方程有兩個不相等的實數根。

∴該方程總有實數根。

∴不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點。

【反思】一般地，若二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）的圖像與x軸的交點橫坐標為x1、x2，可把函數寫成交點式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。判斷二次函數圖像與x軸的交點個數，雖然沒有要求計算點坐標，但題目中給出的是二次函數的交點式，容易求出交點坐標，借助分類討論使交點個數一目了然。對比用根的判別式，計算得到了極大的簡化。

變式1已知二次函數y=a（x-m）2-a（x-m）（a、m為常數，且a≠0）。試問不論a與m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點嗎？為什么？

【解析】受到例2方法的啟發，仔細觀察式子，我們發現存在公因式a（x-m），故可將函數表達式進行因式分解，轉化為交點式，從而得到與x軸的交點坐標。

令y=0，則a（x-m）（x-m-1）=0。

∵a≠0，∴解得x1=m，x2=m+1。

∵m≠m+1，

∴方程有兩個不相等的實數根。

∴不論a與m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。

三、基于頂點式，運用圖像與性質

例3已知二次函數y=x2+2mx+m2-1（m為常數）。試問不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點嗎？為什么？

【解析】該函數表達式中存在完全平方式，故可以將表達式轉化為頂點式y=a（x-h）2+k（a≠0），明確了開口方向和頂點縱坐標，借助函數圖像和性質，畫出草圖，即可得證。

y=x2+2mx+m2-1=（x+m）2-1，則頂點坐標為（-m，-1），故頂點在x軸的下方。

∵a=1＞0，

∴函數圖像開口向上。

依據性質，畫出草圖，可以直接看出函數圖像與x軸總有兩個交點。

【反思】一般地，二次函數y=a（x-h）2+k（a≠0）的頂點坐標為（h，k），根據函數圖像的開口方向和頂點縱坐標k的正負（當k＞0，頂點位于x軸的上方；當k=0，頂點在x軸上；當k＜0，頂點位于x軸的下方），畫出大致圖像，即可確定函數圖像與x軸的交點個數（如表1）。

表1

變式2把二次函數y=x2+4x+m的圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么m應滿足條件___。

【解析】本題涉及二次函數圖像的平移，可先將函數轉化為頂點式，由平移規律寫出新函數表達式。新函數圖像與坐標軸只有一個公共點，一定在y軸上，且與x軸沒有公共點，結合上表可得新函數的頂點縱坐標一定大于0。

y=x2+4x+m=（x+2）2+m-4，將圖像向上平移1個單位長度，再向右平移3個單位長度，得新函數y=（x+2-3）2+m-4+1=（x-1）2+m-3。

由函數的性質可知，拋物線開口向上，且對稱軸為直線x=1。

∵平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，

∴m-3＞0。

∴m＞3。

二次函數既有數的抽象，又有形的直觀，是滲透數形結合思想方法的重要載體。我們既要會從數的角度計算，建立與方程、不等式的聯系；又要會從形的角度分析，抓住函數圖像的性質特征。希望同學們在學習二次函數時，深入理解三種表達式的特征和優點，并能熟練地相互轉化，找到解決問題的最優形式，使解答過程更加順暢。